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1、现代信号处理大作业姓名：潘晓丹学号：0140349045班级：A1403492作业1LD算法实现AR过程估计1.1 AR模型 p阶AR模型的差分方程为：，其中是均值为0的白噪声。AR过程的线性预测方法为：先求得观测数据的自相关函数，然后利用Yule-Walker方程递推求得模型参数，再根据公式求得功率谱的估计。Yule-Walker方程可写成矩阵形式：1.2 LD算法介绍Levinson-Durbin算法可求解上述问题，其一般步骤为：1) 计算观测值各自相关系数；i=1；2) 利用以下递推公式运算：3) i=i+1，若ip，则算法结束；否则，返回(2)。1.3 matlab编程实现以AR模型：
2、xn=12xn-1-12xn-2+w(n)为例，Matlab 程序代码如下：clear; clc;var = 1;noise = var*randn(1,10000);p = 2;coefficient = 1 -0.5 0.5;x = filter(1,coefficient,noise);divide = linspace(-pi,pi,200);for ii = 1:200 w = divide(ii); S1(ii) = var/(abs(1+coefficient(2:3)*exp(-j*w*(1:2)2;enda_p var_p=Levinson_Durbin(x,p);for i
3、i = 1:200 w = divide(ii); Sxx(ii) = var_p/(abs(1+a_p(2:p+1)*exp(-j*w*(1:p)2;endfigure;subplot(2,2,1); plot(divide,S1,b);grid onxlabel(w); ylabel(功率); title(AR 功率谱);subplot(2,2,2); plot(divide,Sxx,r-);grid onxlabel(w); ylabel(功率); title(L-D算法估计);subplot(2,2,3); plot(divide,S1,b);hold onplot(divide,Sx
4、x,r-);hold offgrid onxlabel(w); ylabel(功率); title(AR功率谱和算法比较);子函数：Levinson_Durbin.mfunction a_p var_p = Levinson_Durbin(x,p)N = length(x);for ii=1:N Rxx(ii) = x(1:N-ii+1)*(x(ii:N)/N; enda(1)=1; a(2)=-Rxx(2)/Rxx(1);for k=1:p-1 % Levinson-Durbin algorithm var(k+1) = Rxx(0+1)+a(1+1:k+1)*Rxx(1+1:k+1); r
5、eflect_coefficient(k+1+1) = -a(0+1:k+1)*(fliplr(Rxx(2:k+1+1)/var(k+1); var(k+1+1) = (1-(reflect_coefficient(k+1+1)2)*var(k+1); a_temp(1) = 1; for kk=1:k a_temp(kk+1) = a(kk+1)+reflect_coefficient(k+1+1)*a(k+1-kk+1); end a_temp(k+1+1) = reflect_coefficient(k+1+1); a = a_temp;enda_p = a; % prediction
6、coeffecientsvar_p = var(p+1); % prediction error power1.4 仿真结果1）p=2时，仿真结果图如下预测系数：a20,a21,a22=1,-0.5068,0.5031误差功率：var_p=1.01942）p=20时，仿真结果图如下预测系数：a20,a21,a22,a23,a24,=1,-0.5098,0.4999,-0.0066,0.0060,-0.0179,0.0193,误差功率：var_p=0.99983）p=50时，仿真结果图如下预测系数：a20,a21,a22,a23,a24,=1,-0.4951,0.5178,-0.0145,0.0
7、117,-0.0169,0.0141,误差功率：var_p=0.99551.5 结果分析由不同阶数（P值）得到的仿真结果可得：当P的阶数较低时，L-D算法估计AR模型对功率谱估计的分辨率较低，有平滑的效果，从P=2的仿真结果可以看出估计得到的功率谱与原始功率谱基本吻合，且曲线平滑没有毛刺；随着阶数增大，采用L-D算法进行估计后，得到的功率谱会产生振荡，从仿真可以看到，当阶数P较高为50时，估计得到的功率谱与原始功率谱基本吻合，但估计得到的功率谱曲线不平滑，有急剧的振荡。从LD算法得到的预测系数可得，不论阶数P(2)取何值，通过该算法得到的预测参数与原始目标函数中的一致，其余各个参数均接近0。因
8、此，L-D算法得到可计算得到较为精确的预测值或估计值。作业二非平稳信号由两个高斯信号叠加而成，为其中，分别求出的WV分布及其模糊函数，画出二者的波形图，指出并分析其信号项和交叉项。2.1 WV分布由WV分布的定义知：若记,则 ,其中,由此，我们计算得到：信号项：交叉项：其中，2.2 模糊函数由模糊函数的定义知：若记,则 ,其中，由此，我们计算得到：信号项：交叉项：其中，2.3 Matlab 编程实现取，进行matlab编程如下clear all;format long;alpha1=20; t1=10;t2=4;w1=8;w2=4;a=alpha1/2; td=t1-t2; omegad=w1
9、-w2;tm=0.5*(t1+t2); omegam=0.5*(w1+w2); m=1;n=1;for t=0:0.1:8for omega=-6:0.1:12W_auto(m,n)=2*(exp(-a*(t-t1)2-1/a*(omega-w1)2)+exp(-a*(t-t2)2-1/a*(omega-w2)2); W_cross(m,n)=4*exp(-a*(t-tm)2-1/a*(omega-omegam)2)*cos(omega-omegam)*td+omegad*t)W(m,n)=W_auto(m,n)+W_cross(m,n); n=n+1;end m=m+1; n=1;endfi
10、gure; mesh(-6:0.1:12,0:0.1:8,W);xlabel(time);ylabel(frequency);title(WV分布);figure; mesh(-6:0.1:12,0:0.1:8,W_auto);xlabel(time);ylabel(frequency);title(WV分布信号项);figure;mesh(-6:0.1:12,0:0.1:8,W_cross);xlabel(time);ylabel(frequency);title(WV分布交叉项);format long; %模糊函数a=10; t1=6;t2=2;w1=6;w2=2;td=t1-t2; w
11、d=w1-w2;tm=0.5*(t1+t2); wm=0.5*(w1+w2);m=1;n=1;for t=-10:0.1:10for w=-10:0.1:10 A_auto(m,n)=abs(exp(-a/4*t2-1/(4*a)*w2)*(exp(i*w1*t-i*t1*w)+exp(i*w2*t-i*t2*w); A_cross(m,n)=abs(exp(i*wm*t+i*w*tm+i*wd*tm)*(exp(-1/(4*a)*(w+wd)2-a/4*(t-td)2)+exp(-1/(4*a)*(w-wd)2-a/4*(t+td)2);A(m,n)=A_auto(m,n)+A_cross(
12、m,n); n=n+1;end m=m+1; n=1;endfigure; mesh(-10:0.1:10,-10:0.1:10,A);xlabel(time);ylabel(frequency);title(模糊函数);figure; mesh(-10:0.1:10,-10:0.1:10,A_auto);xlabel(time);ylabel(frequency);title(模糊函数信号项);figure;mesh(-10:0.1:10,-10:0.1:10,A_cross);xlabel(time);ylabel(frequency);title(模糊函数交叉项);2.4 仿真结果及分析
13、1）Z(t)函数的WV分布波形图如下2）WV分布信号项波形图如下3）WV分布交叉项波形图如下根据结果可以看到，WV分布的两个信号项是分开的，分别以为中心；WV分布的交叉项则耦合在一起，以为中心。4）模糊函数波形图5) 模糊函数信号项6) 模糊函数交叉项由结果可以看出，模糊函数的两个信号项耦合在一起，以原点（0,0）为中心；而交叉项是分开的，分别以为中心。作业三信号zt=0.25e-t2/2ejt2/2ejt是由xt=0.25e-t2/2与yt=ejt2/2ejt相乘得到。分别求出三者的WV分布，并画出三维分布图。该计算过程和作业二类似，在此不再赘述。3.1 Matlab编程实现syms x t
14、a=10; b=2; o=2;zt=(a/pi)0.25*exp(-a*t2/2+1i*b*t2/2+1i*o*t);xt=(a/pi)0.25*exp(-a*t2/2);yt=exp(1i*b*t2/2+1i*o*t);x1=(a/pi)0.25*exp(-a*(t+x/2)2/2);x2=(a/pi)0.25*exp(-a*(t-x/2)2/2);x12=(a/pi)0.5*exp(-a*(t-x/2)2/2-a*(t-x/2)2/2);y1=exp(1i*b*(t+x/2)2/2+1i*o*(t+x/2);y2=exp(-1i*b*(t-x/2)2/2-1i*o*(t-x/2);z1=(a/pi)0.25*exp(-a*(t+x/2)2/2+1
