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1、应用题的本质是数学建应用题的本质是数学建 模模 问：浙江杭州现代小学数学教育研究中心 唐彩斌 答：华东师范大学数学系 张奠宙 教授 tangcaibin . 引言与现状 二 三 四 五 六 一 “船长的年龄问题”：“在一条船上，有75头牛，32 只羊，请问船长几岁？” 有多少学生把两个数直接相加减？ 20年前，90； 20年后，？ 62 背景说明 10道应用题的测试结果 问 题通过率 1 水果店运来苹果和梨共650千克，苹果10箱，每箱20千克， 梨15箱，梨每箱多少千克？ 94 2 一张凳子售价25元，桌子的售价比一条凳子售价的4倍少1元 ，一张桌子售价多少元? 94 3 一个工程队用同样的
2、速度修两条水泥路，第一条长256米， 第二条长448米，修完第一条路用了4天。照这样的速度，修 第2条路用的时间比修第一条路用的时间多多少天？ 81 4 有一个煤矿，原来计划上半年660万吨，实际每个月比计划 多产22万吨，实际多少月完成？ 67 5 工厂食堂有4吨大米，7天用了1120千克，照这样计算，这些 大米还可以用多少天？ 66 10道应用题的测试结果 问 题通过率 6 电视机厂原计划20天生产一批电视机，实际每天生产25 台，提前4天完成了任务。原计划平均每天生产多少台 ？ 66 7 600元钱去买玩具，买了24个玩具后还剩120元，照这样 计算，一共可以买多少个玩具？ 65 8 某
3、煤厂原计划每天运煤498吨，15天可运完。实际运了 18天才运完，求每天比原计划少运多少吨煤？ 58 9 甲乙两人同时从相距168千米的公路两端相向而行，甲 骑车每小时行20千米，乙行4小时后两人相遇，求乙每 小时比甲多行多少千米？ 50 10 一条公路长2400米，AB两支施工队同时从公路的两端往 中间铺柏油路，A队的施工速度是B队的2倍，4天后这条 公路全部铺完。A,B两队每天铺路多少米？ 41 应用题的教学现状 “中国数学教育在实践上肯定比美国好” 数学大家陈省身。 张奠宙，王善平著 报告提纲 1 2 3 3 引言与现状 什么是数学应用题 数学应用题的本质是什么 “问题解决”与应用题教学
4、什么关 系 应用题要不要讲类型 应用题教学与学生生活什么关系 小学数学中的模型有哪些 4 3 5 6 3 7 三 四 五 六 七 二 什么是小学数学应用 题 文字题问题解决 数学应用 综合应用 解决问题 习题 应用题 应用题的渊源 应用题的出现渊远流长。 古埃及的纸草书、中国的算数书等古代数学典 籍， 都是应用题的汇编。 数学的发展有两个原动力， 一是要解决大自然和 社会现实提出的数学问题，二是要解决数学内部生 成的数学问题。 前者的研究成果是应用数学， 后者的研究成果成 为纯粹数学。 数学分为 纯粹数学和应用数学 哥德巴赫猜想 汉字排版技术 陈景润作出“1+2”的领先成果 王选将数学和计算机
5、结合引发印刷革命 小学数学中的纯数学问题和应用数学问题 小学的纯粹数学问题： 数与运算规则。交换律、分配律， 通分 质数与合数； 无限循环小数； 平行线； 小学应用性数学问题: 现实的应用：买卖中的货币计算 科学的应用：路程、速度、时间的关系 模拟的应用： 鸡兔同笼 纯数学问题与应用问题之间的联系 小学数学中，数的扩展以及相应的运算规 则， 属于纯粹数学范围， 将这些规则和现 实相联系， 并应用于现实， 则是小学应用 数学的范围。 数学是由问题驱动的。小学数学应用题教 学， 体现小学数学的应用，培养学生与此 相关的数学思维模式。 应用数学是永存的 如果说，应用数学是永存的， 那么数学应用题教
6、学也是永存的。 只不过要“与时俱进”， 不断改革 而已。 “谁用的好， 谁就赢了”（姜伯驹语）。 20世纪下半叶以来，数学最大的进步是应用，计 算机技术出现之后，应用数学的一个进展， 是对 一个个的具体问题建立一个个的数学模型。 因此，用建立数学模型的观点加以诠释，是改革 小学应用题教学的参照基点 什么是小学数学应用题？ 1. 算术方法求解（包括一些简易代数的思考）； 解小学数学应用题主要是用算术方法，目前也使 用一些简易的代数思想。 2. 用自然语言表达， 即用文字叙述的问题。西方 有时把小学应用题称作“文字题 （word problem ）”， 即用自然语言表达的数学问题。 文字题需 要将
7、自然语言文字翻译为“数学符号构成的算式” ， 然后再用数学方法求解。 什么是小学数学应用题？ 3. 具有比较复杂的情景。 应用题必须表达一种具体“情景”，无论是体现生 活实际的，或者合理地虚拟编制的，都必须反映 一种生动的具体情境，不能是纯粹的数学问题。 情境往往有一些特定的常识性规律，在解题时需 要加以剖析和运用。作为一种具有较高思维价值 的问题，“应用题”所呈现的情境，应当具有挑战 性，不同于课本引进新内容时所呈现的简单情景 。 四 五 六 七 三 数学应用题的本质是什 么 什么是数学模型 ？ 数学建模是 20世纪下半叶， 随着计算机技术的 发展而形成的数学思想方法。 目前已经成为数学 应
8、用的基本模式。 数学模型，一般地说， 乃是针对或参照某种事物 系统的实际特征或数量相依关系，采用形式化的 数学符号和语言，概括地或近似地表述出来的一 种数学结构。 数学内容本身就是一种数学模型 自然数是表述有限集合“数数”过程的 数学模型 。 加法是“合并”、“添加”等活动的数学模型 分数是平均分派物品的数学模型； 元角分的计算模型是小数的运算。 鸡兔同笼问题的数学模型是二元一次整数方程； 模式应用 ： 问：你们学校每个年级几个班？ 答：2个班； 问：每个班大约多少学生？ 答：40人 问：你们学校一共有多少人？ 答：400多人； 问：你们学校有没有两个人是同一天生日的？ 答：我们班里好像没有的
9、，我要到其他班问一问 。 数学老师：有，一定有。 应用数学的数学建模， 是在狭义的意义下进行的 。 数学建模，专指对一个个比较复杂的具体情境， 建立一个特定的专用数学模型， 并用模型来解决 非常具体问题。 应用题对应的数学建模 应用题求解与数学模型比较 应用题求解：对于一种相对比较复杂的情境， 采 用形式化的符号语言， 概括地或近似地表述出来 的一种数学结构。 建立数学模型的步骤： 了解情境 分析数量关系 形式化符号化的结构 用数学方法求解结构中的未知数 验证。 实际情景实际情景 实际问题实际问题 数学问题（模型）数学问题（模型） 数学结果数学结果 检验数学结果检验数学结果 实际结果实际结果
10、观察、加工、整理 分析抽象，作数学化处理 求解数学问题 结合实际 （5）数学结果合乎实际 数学结果不合 乎实际，修正 、改进、重建 数学模型。 审题 列式 解答 检验 应用题与数学建模的步骤对照 数学建模步骤解应用题步骤以行程问题为例 背景考察： 搜集必需的各种信息 ，尽量弄清对象的特 征 审题。 对问题设置的情景仔细 揣摩体察。 弄清问题的目标。知道速 度， 路程，时间的关系； 适度简化 ：如假定为匀速 行驶在直线 型的道路上， 等。 构作模型 根据所作的假设分析 对象的因果关系，利 用对象的内在规律和 适当的数学工具，构 造各个量间的等式关 系或其它数学结构。 列式 将问题中用自然语言表
11、述的情景，翻译成数学 语言，借助数学符号、 图象、逻辑等手段， 构 成可以反映问题本质的 算式。根据情景，寻找 数量规律。 例如找出一 些不变量，借以构成数 学等式。 根据行程问题的不同情景 进行思考。例如，相互距 离为c的甲乙二者同时启动 ，分别以速度a、b相对而 行，由于二者相遇时所用 的时间x相同，据此列出等 式ax+bx=c，或者算术地说 明各量间的相等关系。 应用题与数学建模的步骤对照 模型求解： 采用各种数学方法， 求得满足模型的解答 。 求解： 对算式进行变换和计算 ，求得结果。 x=c/（a+b），或算术地 求解。 答案分析 检验模型是否正确， 解答是否符合实际。 验证： 验证
12、解答是否正确， 能 否符合题意。 将x 代入原式进行验算。 模型改进 对模型解答进行 数学上的分析， 反思 考察解题过程中使用的 数学思想方法 总结本题的思考方法，对 行程问题的 关节点进行 反思，尤其是弄清在行驶 变化过程中，哪些是变化 的，那些是不变的。 数学建模步骤解应用题步骤以行程问题为例 应用题学习是数学建模的基础 每一道小学数学应用题的教育价值， 在于能将情 境“数学化”； 将文字的表述， 转换为数学符号或图像的表示； 将蕴藏在情景内的数量关系列为算式； 用数学演算求得算式的答案，最终通过检验肯定“ 解答”的适切性。 这些数学活动， 为日后学习更复杂的 “数学建模” ，做好必要的准
13、备 五 六 七 四 “问题解决”与应用题 教学 成功需要基础 问题解决 回到基础 新数运动 2008 1980 1970 1960 美国式的折腾 ： 美国数学教育界提出的所谓“问题解决”，专指解 决“非常规问题”。 目的是为了培养学生的探究意 识和创新精神。在学生的认知水平上，要解决非 常规问题，没有现成数学问题求解模式可以模仿 ，需要独立思考， 通过自己的探索获得解决问题 的途径。这是具有一定创新意义的数学思维过程 。 是一个时期数学教育的导向性口号，并非针对应 用题改革而提出。 “问题解决”的提出 我国在常规应用题的教学上，成绩很好。例如用 分数求解一些现实生活中“平均分配物品”的问题 ，
14、加减乘除四则运算的一步或两步应用题，掌握 得也很不错。 但是，在提出问题，分析发展问题，灵活地处理 应用性问题上面，比起欧美诸国的教学，有一些 弱点。 在非常规的应用问题教学上，我国积累了一些按 照问题情景分类的教学。例如行程问题、工程问 题等等，有专门的训练，基本面也是好的。但是 ，总体上较窄、较难，较偏。 “问题解决”的借鉴与启示 问题解决教学是应用题教学的上位概念。彼此是 包含关系。 “用问题”的共性， 取代了“应用题”的特性 问题解决是数学教学全局性理念； 应用题教学是数学教学的部分课题。 问题解决应用题教学 问题解决不能代替应用题教学 问题解决是针对“回到基础”提出来的口号。意思 是
15、强调“探究”、“发现”、“创新”。 美国又提出“成功需要基础”， 又强调其基础了。 所以，应用题教学， 不能只强调“探究创新”， 还 要注意“打好基础”。 没有基础怎么创新？ 问题解决不能代替应用题教学 五 六 七 四 应用题要不要讲类型？ 小学数学应用题可以有三种分类。 1. 按数学模型分类； 随机模型， 统计模型；四 则运算模型； 分数、小数模型，一元一次方程模 型；二元一次整数方程等等。 2. 按情景熟悉程度分类。 如日常生活情景模型， 模拟现实情景模型，科学技术模型等等 3. 按特定情境的数量关系分类。如行程问题， 工 程问题， 流水问题，折扣问题等等， 应用题的分类 是否少了图形与几 何的内容？ 微积分课程里要讨论瞬时速度问题， 切线问题， 曲边梯形问题； 微分方程课程里有热传导方程， 电磁波方程； 中学数学也要研究抛物问题、单摆问题、等周问题 ，投影问题，掷骰子问题等 ； 小学数学应用按照情境内容分类，也是情理之中。 按情境内容分类 不
