期末复习资料线代习题

《期末复习资料线代习题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《期末复习资料线代习题（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、线代习题一， 填空题（每小题3分，共30分）1，在五阶行列式中，符号为正的项共有 项。2，行列式D中，元素的余子式=8，则的代数余子式= 。3，已知阶矩阵、和满足，其中为阶单位矩阵，则 。4，A是n阶方阵， ，则，=_。5，是三阶矩阵（其中代表A的第列），则 。6，三阶方阵，其中，则与A等价的标准形矩阵是 。7，则 。8，向量组线性 （填相关或无关）。9，已知单位矩阵的列向量组是的一个基，则在这组基下的坐标是 。10，是一个三阶正交矩阵，则 。二， 单选题（每小题2分，共10分）1，非齐次线性方程组的系数行列式为0，则此方程组（ ） A ,有唯一解 B, 无解 C, 有无穷解 D , B和C都

2、有可能2，A,B,C是三个n阶方阵，则下列等式不一定成立的是（ ）A , B, C, D, 3，V是一个3维向量空间，则（ ） A, V中元素的维数一定大于等于3B, V中元素的维数一定等于3 C, V中元素的维数一定小于等于3D, A,B,C都错4，都由n维向量组成的两个向量组A和B的向量个数相同，且秩都是4，则（ ）A，A和B一定等价B，分别以A和B的向量为列向量组成矩阵，则这两个矩阵一定等价C，A和B的向量个数一定大于4D，n一定大于45，A是一个不可逆的四阶矩阵，已知它的三个特征值分别是1，2，3，则第四个特征值是（ ）A，0 B，1C，2D，3三， 计算题（每小题9分，共36分）1，

3、 计算行列式.2， A=，B=.求（1）ABT；（2）BAT.3， 设矩阵A=，求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.4， 设1，2，3和1，2，3都是R3的基，且1=41，2=2，3=33，=6123. 求（1）基1，2，3到基1，2，3的过渡矩阵；（2）在基1，2，3下的坐标。四， 综合题（每小题9分，共18分）1，设矩阵A=.求：（1）A的列向量组的一个最大线性无关组；（2）把列向量组中的其余向量用这个最大线性无关组线性表示。2，设矩阵A=的全部特征值为1，1和-8，求正交矩阵T和对角矩阵D，使T-1AT=D.五， 证明题（6分）已知是矩阵的一个特征值，证明：如果，则也是矩阵BA的一个

4、特征值。六， 填空题（每小题3分，共30分）1，60； 2，-8；3，；4，； 5，0；6，；7，3； 8, 相关； 9，； 10， 9七， 单选题（每小题2分，共10分）1、 D； 2、 C； 3 、A ； 4、B； 5、A；八， 计算题（每小题9分，共36分）1，解：=（3分）（6分）（9分）2，解：(1) ABT=.（5分）(2) BAT =(ABT)T=（9分）3，解：AB=A+2B即（A-2E）B=A（2分）而（A-2E）-1=（7分）所以 B=(A-2E)-1A=（9分）4，解：（1）记B=（1，2，3）,A=（1，2，3）,K=则B到A的过渡矩阵P=B-1A= B-1BK=K（4

5、分）（2）在A下的坐标是：P-1（6，-1，-1）T=（6，-1，-1）T =（3/2，-1，-1/3）T（9分）九， 综合题（每小题9分，共18分）1解：（1）A选A的第1、2、4列作为A的列向量组的一个最大线性无关组（5分）（2）第3、5列线性表示式为： （9分）2，解：A的属于特征值=1的2个线性无关的特征向量为 1=（2，-1，0）T， 2=（2，0，1）T.经正交标准化，得1=，2=.=-8的一个特征向量为3=，经单位化得3=（8分）所求正交矩阵为 T=.对角矩阵 D=（9分）十， 证明题（6分）证：设的对应于的一个特征向量为p，则有，由于，所以，则（3分）用B左乘，得到即是BA的一

6、个特征值，且对应的一个特征向量是Bp。（6分）十一， 填空题（每小题3分，共30分）1，若，则 。2，在五阶行列式中的符号为 (填正或负)。3，已知，则 = 。4，A是3阶方阵， ，则，= 。5，是三阶矩阵（其中代表A的第列），且，则 。6，三阶方阵A的秩为2，则与A等价的标准形矩阵是 。7，已知向量组A包含零向量，则A线性 （填相关或无关）。8，已知的列向量组是的一个基，则在这组基下的坐标是 。9，向量 =(1,-2,2)的长度 。10，若Q为正交矩阵，则 。十二， 单选题（每小题2分，共10分）1，齐次线性方程组的系数行列式为0，则此方程组（ ）A ,仅有零解； B, 无零解； C, 有无

7、穷个非零解； D 只有一个非零解。2，A是n阶方阵，则（ ）A , 与A的行列式相等； B, 与A的伴随矩阵相同；C, 如果可逆，则与A的逆矩阵相同； D, 与A相等。3，四元齐次线性方程组系数矩阵的秩为2，则其基础解系的向量个数为（ ）A, 1；B, 2； C, 3；D, 4。4，如果向量组A线性无关，则（ ）A，A没有最大线性无关组B，A有一个最大线性无关组C，A有多于1个的有限个最大线性无关组D，A有无穷个最大线性无关组5，则A的特征值为（ ）A，1，2，3 B，-3，3，3 C，3，-3，-3D，3，2，2十三， 计算题（每小题9分，共36分）5， 计算行列式.6， A=，B=.求（1

8、）ABT；（2）BAT.7， 判断矩阵是否可逆，如果可逆，用初等变换求其逆矩阵。8， 求向量组的一个极大无关组，并把其余向量用此极大无关组线性表示。十四， 综合题（每小题9分，共18分）1， 设四元非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵A的秩为3，已知它的三个解向量为，其中，求该方程组的通解。2，求可逆矩阵P，使得为对角矩阵。十五， 证明题（6分）设方阵A满足A3=0，证明E-A可逆，且(E-A)-1=E+A+A2.十六， 填空题（每小题3分，共30分）1，6； 2，正；3，E；4，54； 5，12；6，；7，相关； 8, ； 9，3； 10，1十七， 单选题（每小题2分，共10分）1、 C； 2

9、、 A； 3 、B ； 4、B； 5、C；十八， 计算题（每小题9分，共36分）1，解：.（5分）.（9分）2，解：(1) ABT=.（5分）(2) BAT =(ABT)T=（9分）3，解：所以A可逆（3分）A= （9分）4，解： 所以其极大无关组之一为（7分）（9分） 十九， 综合题（每小题9分，共18分）1解：Ax=b的基础解系含4-3=1个向量， （2分）， （7分）所以通解为，c为任意常数（9分）2，解：，A的特征值 （3分）对于, （E-A）X=0 即的基础解系为， ，(-E-A)X=0，的基础解系为 ,（8分）因为线性无关， 所以 （9分）二十， 证明题（6分）证：由于（E-A）（

10、E+A+A2）=E-A3=E，所以E-A可逆，且（E-A）-1= E+A+A2 .（6分） 二十一， 填空题（每小题3分，共30分）1， 在五阶行列式中，项a13a25a31a44a52的符号为_。(填正或负)。2， 行列式= 。3，B为3阶矩阵，且满足，则= _。4，A是方阵， ，则，=_。5，该行列式中x的系数 _。6，向量，则满足的=_。7，向量组线性_。8，是线性方程组的解，则一定是方程_的解。9，已知齐次线性方程组只有0解，则应满足的条件_。10，若向量组与向量组可以相互线性表示，且向量组线性相关， 都线性无关，则r与s应满足关系式_。二十二， 单选题（每小题3分，共15分）1, 1

11、、若，则的值为（）A ,12 ； B, -12； C, 18； D , 0。2、矩阵A在（）时可能改变秩。A ,转置 ； B,初等变换； C,乘以奇异矩阵； D, 乘以非奇异矩阵。3、A,B均为可逆矩阵，则下列式子成立的是（）A, ； B, ； C , ； D, 。4，向量组的秩为r，则下面不正确的是（）A，中至少有一个r个向量的部分组线性无关B，中任何r个向量的线性无关部分组与可互相线性表示C，中r个向量的部分组皆线性无关D，中r+1个向量的部分组皆线性相关5，则A的特征值为（）A，1，2，3 B，-3，3，3 C，3，-3，-3D，3，2，2二十三， 计算题（每小题8分，共32分）9， 时，计算行列式 ；10， 判断矩阵是否可逆，如果可逆，用初等变换求其逆矩阵；11， 判断是否为向量组,的线性组合，若是，写出表达式。4，求可逆矩阵P，使得为对角矩阵。二十四， 综合题（每小题9分，共18分）1, 设，(1) 试求A的特征值；(2) 利用(1)的结果，求矩阵E+A-1+2A的特征值，其中E为三阶单位矩阵。2，设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知是它的3个解向量，且，求方程组的通解。二十五， 证明题（5分）若向量组线性无关，证明任一向量必可由线性表示. 二十六， 填空题（每小题3分，共30分