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1、2019届黑龙江省哈尔滨市第六中学高三上学期期末考试数学（理）试题一、单选题1已知集合为实数，且，为实数，且，则中的元素的个数为（ ）A0 B1 C2 D3【答案】B【解析】：集合M与集合N表示的集合都是点集，所以可以把两个方程联立，通过求方程的判别式来判定交点的个数【详解】：联立方程组 所以 判别式 ，所以 的解集只有一个故选B【点睛】：本题考查了两个集合的交点个数问题，主要注意两个集合都为点集，所以交集的个数也就是两个方程的解的个数，因此可以通过方程思想来解，属于简单题2“”是“复数为纯虚数”的（ ）A充分但不必要条件 B必要但不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】
2、由纯虚数的概念可得：，即m2或m2，又“m2”是“m2或m2”的充分不必要条件，即可得解【详解】“复数zm24+mi为纯虚数”的充要条件为：，即m2或m2，又“m2”是“m2或m2”的充分不必要条件，即“m2”是“复数zm24+mi为纯虚数”的充分不必要条件，故选：A【点睛】本题考查了复数的概念及充分、必要条件，属于简单题3我国古代名著九章算术中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤,中间三尺重几何”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤？”（ ）A6斤 B7斤 C8斤 D9斤
3、【答案】D【解析】将原问题转化为等差数列的问题，然后利用等差数列的性质求解即可.【详解】原问题等价于等差数列中，已知，求的值.由等差数列的性质可知：，则，即中间三尺共重斤.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查等差数列的实际应用，等差数列的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则此双曲线的实轴长为（ ）A2 B4 C18 D36【答案】C【解析】分析：由双曲线的方程，求解其中一条渐近线方程，利用题设垂直，求得，即可得到双曲线的实轴长详解：由双曲线的方程，可得一条渐近线的方程为，所以，解得，所以双曲线的实轴长为，故选C点睛：本题主要考查了双曲线
4、的标准方程及其几何性质的应用，其中熟记双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力5袋中有大小完全相同的2个白球和3个黄球，逐个不放回的摸出两球，设“第一次摸得白球”为事件，“摸得的两球同色”为事件，则（ ）A B C D【答案】C【解析】= ,选C.6已知平面向量的夹角为且，在中，为中点，则( )A B C6 D12【答案】A【解析】运用平行四边形法则和向量模长的计算可得结果【详解】根据题意得，（）322，2（22）2428424842248+1612，2，故选：A【点睛】本题考查平行四边形法则，向量模长的运算，属于基础题7如图，半径为的圆内有四个半径相等的小圆，其圆心分别为
5、，这四个小圆都与圆内切，且相邻两小圆外切，则在圆内任取一点，该点恰好取自阴影部分的概率为（ ）A B C D【答案】D【解析】如图，易知四点在以为圆心，为半径的圆上，连接.设这四个小圆的半径为，则，.因为圆O内的这四个小圆都与圆内切，且相邻两小圆外切，所以，所以，即，解得，故所求事件的概率为.故选D.8已知将函数向右平移个单位长度后,所得图象关于轴对称，且,则当取最小值时，函数的解析式为( )A BC D【答案】C【解析】利用三角函数图象变换规律，三角函数的图象的对称性，可得k，kZ，求得的值，可得函数f（x）的解析式【详解】将函数向右平移个单位长度后，可得ycos（x）的图象，根据所得图象关
6、于y轴对称，可得k，kZ再根据，可得cos，k，12k+3，则当3取最小值时，函数f（x）的解析式为f（x）cos（3x），故选：C【点睛】本题主要考查函数yAsin（x+）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于中档题9在正方体中，分别为棱的中点，用过点的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧视图为( ) A BC D【答案】C【解析】取的中点连，则为过点，的平面与正方体的面的交线延长，交的延长线与点，连，交于，则为过点，的平面与正方体的面的交线同理，延长，交的延长线于，连，交于点，则为过点，的平面与正方体的面的交线所以过点，的平面截正方体所得的截面为图中的六边形故可得位于截面以下
7、部分的几何体的侧（左）视图为选项C所示选C 10若函数的图象在处的切线与圆相切，则的最大值是（ ）A4 B C2 D【答案】B【解析】先利用导数求出函数yf（x）的图象在x0处的切线方程，利用该直线与圆相切，得出a2+b21，然后再利用基本不等式可求出a+b的最大值【详解】函数f（x）求导得，所以，函数的图象在x0处的切线方程为，即bx+ay+10，该直线与圆x2+y21相切，则有，化简得a2+b21，由基本不等式可得（a+b）2a2+b2+2ab2（a2+b2）2，所以，当且仅当ab时等号成立，所以，a+b的最大值为故选：B【点睛】本题考查圆的切线方程，解决本题的关键在于转化直线与圆相切的问
8、题，考查计算能力与转化能力，属于中档题11已知数列为正项的递增等比数列，记数列的前n项和为，则使不等式2018成立的最大正整数n的值为（ ）A5 B6 C7 D8【答案】B【解析】设正项的递增等比数列an的公比为q1，由a1+a582，a2a481a1a5，联立解得a1，a5解得q可得an利用等比数列的求和公式可得数列的前n项和为Tn代入不等式，即可得出结果【详解】设正项的递增等比数列an的公比为q1，a1+a582，a2a481a1a5，联立解得a11，a581q481，解得q3an3n1数列的前n项和为Tn2223（1）则不等式化为：20181，即3n201836729，372187使不等
9、式成立的最大正整数的值为6故选：B【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，求和公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12已知函数在定义域上单调递增，且对于任意，方程有且只有一个实数解，则函数在区间上的所有零点的和为（ ）A B C D【答案】B【解析】数在定义域上单调递增，且对于任意，方程有且只有一个实数解，则是连续函数,可得 ,画出 与 的图象,图象交点横坐标就是函数的零点,由图知, 在区间（）上的所有零点的和为 ,故选B.【方法点睛】本题主要考查函数零点与图象交点之间的关系及分段函数的解析式及图象，属于难题.函数零点个数的三种判断方法:(1)直接求零点：令f(x)0，如果能
10、求出解，则有几个解就有几个零点;(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点;(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点二、填空题13的展开式中，的系数为_.【答案】160【解析】展开式的通项为：，令，所以系数为：故答案为：16014若实数x,y满足不等式组，则的最大值为_.【答案】log210【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可【详解】由ux2y+6得yx3，作出不
11、等式组对应的平面区域如图（阴影部分）平移直线yx3，由图象可知当直线过点A时，直线的截距最小，此时z最大，由 ，得 A（4，0），代入目标函数ux2y+6，得z10，目标函数ux2y+6的最大值是10，则zlog2（x2y+6）的最大值为：log210故答案为：log210【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法，属于基础题15由1，2,3,4,5,6组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且4不在第四位，则这样的六位数共有_个.【答案】120【解析】试题分析：先排3个偶数，从左到右有4个空，如排1,2,3个空，由于4不
12、在第四位，共有种，若排1，2,4个空，共有，若排1,3,4则4不会在第四位，共有种，若排2,3,4个空，则4不会在第四位，共有，因此共有24+24+36+36=120种，故答案为120种.【考点】排列组合的综合应用.16如图，直三棱柱中,， ，外接球的球心为，点是侧棱上的一个动点.有下列判断： 直线与直线是异面直线；一定不垂直； 三棱锥的体积为定值； 的最小值为.其中正确的序号序号是_.【答案】【解析】由题意画出图形，由异面直线的概念判断；利用线面垂直的判定与性质判断；找出球心，由棱锥底面积与高为定值判断；设BEx，列出AE+EC1关于x的函数式，结合其几何意义求出最小值判断【详解】如图，直线
13、AC经过平面BCC1B1内的点C，而直线C1E在平面BCC1B1内不过C，直线AC与直线C1E是异面直线，故正确；当E与B重合时，AB1A1B，而C1B1A1B，A1B平面AB1C1，则A1E垂直AC1，故错误；由题意知，直三棱柱ABCA1B1C1的外接球的球心为O是AC1 与A1C 的交点，则AA1O的面积为定值，由BB1平面AA1C1C，E到平面AA1O的距离为定值，三棱锥EAA1O的体积为定值，故正确；设BEx，则B1E2x，AE+EC1由其几何意义，即平面内动点（x，1）与两定点（0，0），（2，0）距离和的最小值知，其最小值为2，故正确故答案为：【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查空间想象能力和思维能力，属于中档题三、解答题17在中,角的对边分别为,边上的中线,且满足.(1)求的大小；(2)若，求的周长的取值范围【答案】(1) ;(2) 周长的取值范围是.【解析】试题分析：在,中分别利用余弦定理,写出的表达式,化简后可求得的值,代入已知条件可化简得到的余弦值,进而求得角的大小.(2)利用正弦定理将边转化为角的形式,即,根据可求得周长的取值范围.试题解析:（1）在中，由余弦定理得：， 在中，由余弦定理得：， 因为，所以，+得：， 即， 代入已知条件，得，即， ，又，所以.（2）在中由正弦定理得，又，所以， ， 为锐角三角形， ，周长的取值范围为18如图，在棱长为2的
