《7.关于积分中“不可积”问题探究-1(1)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《7.关于积分中“不可积”问题探究-1(1)（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、关于积分中“不可积”问题探究 提到积分，首先要明确不定积分是用来求原函数，定积分是用来求无穷项加和，莱布尼 兹公式把它们神奇的联系起来。 从高等数学里面，我们学习到被积函数只要连续，其必定存在原函数。但是为什么会出 现“不可积”的问题呢？ 首先我们来看几个“不可积”积分的例子。 222 sincostan 1.,tan (), (), (), sincostan sin, cos, tan( co cos( sin )(, n nnn nnn xxx dxdxdxxxdx xxx xxx dxdxdx xxx x dxx dxx dx xx dx 三角积分类. 菲涅尔积分类型） 贝塞尔积分）
2、22 2 i i 0 s ( 1 , 3.,.E ( ) 1 ln 4., lnsin, lncos, lntan.( ) ln1ln axbx cnaxbx c axaxnt x nx x n xdx x edxx edx eexe dxdxdxxdt xaxet dxxdxdt xdxxdxxdxx xxt 拉普拉斯积分） 2.高斯积分类. 指数积分类型.，其中 对数积分类型.其中L 22 22 ln(sin ), ln(cos ), ln(tan ) lnlnsin, lnlncos, lnlntan, 11 5.,1-sin,1(3 1-sin1 n n abx dxabx dxabx
3、 dx xdxxdxxdx dxkxdxdxx dx n kxx 椭圆积分类：） 它们”不可积”主要是因为它们的原函数不能表示成初等函数的形式，现阶段只能表示成 级数的形式。现在就出现一个问题，到底它们能不能积分呢？答案是确定的，由于一些特殊 函数以及复数的出现，使得基本所有的积分都成为了可能。下面列举了几个“不可积”积分的 积分算法。 第一个例子是一个指数积分 2 2 11 2 1 2 2 1 2 2 2 lnlnln1 lnlnln(1) 1(1)12 1ln(1) lnln ln(1) 2 1( 1) lnln ln(1) 2 1() lnln ln(1) 2 1 lnln ln(1)(
4、) 2 ln 2 x t e x kk k k k xtdttt dxdtdxttdt et ttt t tttdt t t tttdt k t ttt k tttLit x x 2 (1)() xx eLieC 第二个例子是一个欧拉积分 2 2 2222 2 2 cos 2 lnsinlnsinlnsin sin 2 lnsin 2 (1)2 21 ()22ln(1) 22 ( 2 ixix ixix ixix ixix ixixix ixixixixix ixix ee x xdx xxxdx xxxdx eex i ee xxixdx ee eeeix ixdxi xdxxidx eee
5、ee ii xLi exixe i Li e 222 222 2 22 00 )ln(1) 2 lnsinlnsincotlnsin()ln(1) 2 lnsinlncosln2 2 ixix ixix i xxe i xdx xxxxdx xxLi exxeC xdxxdx 特别的, 第三个例子狄拉克雷积分 2 22 22 0 + 2 00 sin1sin2sin cos )sin( ) sinsin2sin 2(2 ) 2 sin ( ) sinsin +=) 22 x xxxx dxxddx xxxx xxx d xSixC xxx t Si xdt t tx Sidtdx tx （ 其
6、中 特别的 （）， （ 第四个例子是高斯积分 22 2 2 () 0 0 1 ()() 2 1 () 2 2 ( ),( )1( ) 1 ( ) 2 1,( ) 222 axax x x x edxedaxerfax aa erfaxC a erf xedx erfc xerf x aedxerf 其中 特别的当 从上面例子看出，虽然这些积分“不可积”，但我们依旧可以通过一般的方法将它们表示 出来，显然这样也就出现了许多特殊函数。 从这个角度来看，基本所有的连续函数都是可积的，都可以通过初等或者特殊函数来表示。 说了这么多特殊函数，下面来介绍几个简单的特殊函数。 2 1 1 11 00 1 0
7、 0 1 1 1 ( ) ( ) 1.BetaB(a,b)(1)(a,b0) (1)() 2.Gamma( ),0) 2 3.( ) 1 4.zeta(s) 1 5.eta(s)=( 1) a ab a b t a x x s k k s k xab xxdxdx xab ae tdta erf xedx k k 几个简单的特殊函数 函数 =， 其中都 函数 (其中 误差函数 函数 狄拉克雷函数 1 1 (1 2) (s) 6.Polylog) Li ( ) s k n n k x x k 多重对数函数( 其他还有一些像椭圆函数，超几何分布函数，贝塞尔函数这里不做介绍了。 最后留几个问题 1
8、0 2 4 4 0 2 2 0 2 0 1 1.lnln 2.lnlntan 3.lnsin 4.() sin 5.sin cos lnsin lncos dx x xdx xdx x dx x xxxxxdx 问题的解答： 1 ln1 00 2 lntan 2 2 00 4 (21) 2 000 0 1 1 (21) 1 1.lnlnln *(1) ln *ln 2.lnlntan 1 * ( 1) 1 ( 1) t t x t tx ttt aax kkxa xxx k kt a tkx dxt e dtC x t et xdxdtdt eee xxe Let Idxdxex dx eee
9、 e t ( 11 0 00 11 0 0 0 0 00 (1) ( 1) 21)(21 ln1(1)ln(2k 1) (1)* (21(21 ln1(1)ln(2k 1) (0) (1)* 2121 1 (1)*, 214 k aa kk a xxaa k xx k kk a dt kk xxa Idxa eekk x Idx eekk C k ） ） 其中 4 4 2 4 (1)ln(2k 1) ( 1)ln() 3 2144 ( ) 4 3 ( ) 4 lnlntanln() 4 k C k xdx 4 0 444 000 2 24 00 44 00 44 00 4 0 3.lnsin
10、G C=lncotlncoslnsin K=lnsin2lnsin 2lncoslnsinln2 4 2(lncoslnsin)ln2ln2 22 lnc (a) os xt xdx xdxxdxxdx xdxtdt xdxxdx xdxxdx xdx 我们知道卡特兰常数 有一个定义 令 得到 4 0 4 0 4 0 lnsin=ln2 2 1 ablnsin=-ln2+ ) 22 1 lnco (b s=ln2+ ) 22 )xdx xdxC xdxC 结合 ， 得到（ （- 2 2 222 2 000 22 00 4.cot2cot sin 2sin2lnsin sin ln2 x dxx
11、 dxxxdx x x dxxdx x 22 00 22 00 2 0 2121 2 0 2 5.lnsin lncos sin cos()lnsin lncos sin cos 2 lnsin lncos sin coslnsin lncos sin cos 4 =lnsin lncos sin cos (sin )(cos ) B 8( aa xxxxxdxxxxxxdx xxxxxdxxxxxdx xxxxdx xxdx a b 得到 令a 我们知道：B(a,b)=2 则有 2121 2 0 1 2 2 0 sin )(cos )lnsin lncos =B(a,b)(a)-(a+b)(b)-(a+b)(a+b) 1B a=1b=1lnsin lncos sin cos=*1,1 48 =(1)-( 32 aa xxxxdx xxxxxdx a b 带入，得到（ ） 3 2 1 2 1 2 0 2)(2)= 16192 11 (s+1)-(s)=,(2)=(2) 11 (2)6 n sn 其中 Written by Rolle 2014.12.8
