《衡水独家秘籍之2019高中期末复习 高考英语 专题三 函数单调性的判断与证明》由会员分享，可在线阅读，更多相关《衡水独家秘籍之2019高中期末复习 高考英语 专题三 函数单调性的判断与证明（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、衡水独家秘籍之2019高中期末复习专题三函数单调性的判断与证明【方法综述】1函数的单调性（1）.增函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数；（2）减函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数.2.复合函数单调性的结论：yf(t)递增递减tg(x)递增递减递增递减yfg(x)递增递减递减递增以上规律可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”不过要注意：单调区间必须注意定义域；要确定tg(x)(常称内层函数)的值域，否则无法确定f(t)(常称外层函数)的单调性3.用定义证明函数单调性中的变形策
2、略由定义证明函数f(x)在区间D上的单调性，其步骤为：取值作差变形定号其中变形是最关键的一步，合理变形是准确判断f(x1)f(x2)的符号的关键所在常见变形方法有因式分解、配方、同分、有理化等，下面举例说明.例1.求证：函数f(x)x24x在(，2上是减函数证明：设x1，x2是(，2上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)f(x2)(x4x1)(x4x2)(x1x2)(x1x24)因为x1x22，所以x1x20，x1x240.所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)故函数f(x)在(，2上是减函数评注因式分解是变形的常用策略，但必须注意，分解时一定要彻底，这样才利于判断f(x1)f
3、(x2)的符号例2.求证：函数f(x)x31在R上是增函数证明：设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)f(x2)x1x1xx(x1x2)(xx1x2x)(x1x2).因为x1x2，所以x1x20，2x0.所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)故函数f(x)在R上是增函数评注本题极易在(x1x2)(xx1x2x)处“止步”而致误而实际上当我们不能直接判断xx1x2x的符号，又不能因式分解时，采用配方则会“柳暗花明”例3.已知函数f(x)x，求证：函数f(x)在区间(0,1上是减函数证明：设x1，x2是区间(0,1上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)f(x2)
4、x1x2(x1x2)(x1x2)(x1x2)(x1x2).因为x1x2，且x1，x2(0, 1，所以x1x20,0x1x21.所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)故函数f(x)在(0,1上是减函数评注同样，我们可以证明f(x)x在区间1，)上是增函数例4.已知函数f(x)，求证：函数f(x)在区间1，)上是增函数证明：设x1，x2是区间1，)上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)f(x2) .因为x1x2，且x1，x21，)，所以x1x20，0.所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)故函数f(x)在1，)上是增函数评注对于根式函数常采用分子或分母有理化变形手段以达
5、到判断f(x1)f(x2)符号的目的.例5.求函数y的单调区间解：函数y的定义域为(，1)(1，)，设t(x1)2，则y(t0)当x(，1)时，t是x的减函数，y是t的减函数，所以(，1)是y的递增区间；当x(1，)时，t是x的增函数，y是t的减函数，所以(1，)是y的递减区间综上知，函数y的递增区间为(，1)，递减区间为(1，)例6. 求y的单调区间解：由x22x30，得x1或x3，令tx22x3(t0)，则y，因为y在(，0)，(0，)上为减函数，而tx22x3在(，1)，(1,1)上为减函数，在(1,3)，(3，)上是增函数，所以函数y的递增区间为(，1)，(1,1)，递减区间为(1,3
6、)，(3，).【针对训练】1下列四个函数中，在-,0上为减函数的是（ ）A fx=x2-2x B fx=-x2C fx=x+1D fx=1x【答案】A【解析】对于选项A,函数的图像的对称轴为x=1,开口向上，所以函数在-,0上为减函数.所以选项A是正确的.对于选项B,fx=-x2在在-,0上为增函数，所以选项B是错误的. 对于选项C,fx=x+1在在-,0上为增函数，所以选项C是错误的.对于选项D,fx=1x,当x=0时，没有意义，所以选项D是错误的.故答案为：A.2.下列四个函数中，在(0，)上为增函数的是()Af(x)3x Bf(x)x23xCf(x)Df(x)|x|【答案】C【解析】当x
7、0时，f(x)3x为减函数；当x时，f(x)x23x为减函数；当x时，f(x)x23x为增函数；当x(0，)时，f(x)为增函数；当x(0，)时，f(x)|x|为减函数3若函数与在上都是减函数，则在上是（ ）A增函数 B减函数 C先增后减 D先减后增【答案】B【解析】由函数与在上都是减函数,可得.则一元二次函数在上为减函数.故选B.4.定义在上的函数对任意两个不相等实数，总有成立， 则必有（ ）A.在上是增函数 B.在上是减函数C.函数是先增加后减少 D.函数是先减少后增加【答案】A【解析】若则由题意知，一定有成立，由增函数的定义知，该函数在上是增函数；同理若，则一定有成立，即该函数在上是增函
8、数.所以函数在上是增函数.故应选A.5.已知fx=1+2x-x2，那么gx=ffx( )A. 在区间-2,1上单调递增 B. 在0,2上单调递增C. 在-1,1上单调递增 D. 在1,2上单调递增【答案】D【解析】fx=1+2x-x2=-x-12+2，在记t=fx，则gx= ft当x-2,1时，fx单调递增，且t=fx-7,2）而y= ft在-7,2）不具有单调性，故A错误；当x0,2时，fx不具有单调性，故B错误；当x-1,1时，fx单调递增，且t=fx-3,2）而y= ft在-3,2）不具有单调性，故C错误；当x1，2时，fx单调递减，且t=fx1,2）而y= ft在1,2）单调递减，根据
9、“同增异减”知，D正确.故选：D6.试讨论函数f(x)(a0)在(1,1)上的单调性【答案】见解析【解析】设1x1x21，f(x)aa，f(x1)f(x2)aa.由于1x1x20，x110，x210时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1,1)上递减；当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)0时，f(x)在(1,1)上单调递减；当a0，函数f(x)x(x0)，证明：函数f(x)在(0，上是减函数，在，)上是增函数【答案】见解析.【解析】任意取x1x20，则f(x1)f(x2)(x1x2)(x1x2)(x1x2).当x1x20时，x1x20,10，有f(x1)
10、f(x2)0，即f(x1)0)在(0，上为减函数；当x1x2时，x1x20,10，有f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，此时，函数f(x)x(a0)在，)上为增函数；综上可知，函数f(x)x(a0)在(0，上为减函数，在，)上为增函数8.已知函数f(x)=ax+bx的图象经过点A（1，1），B（2，-1）（1）求函数f(x)的解析式；（2）判断函数f(x)在（0，+）上的单调性并用定义证明；【答案】（1）f(x)=-x+2x(x0).（2）见解析.【解析】（1）由 f(x)的图象过A、B，则，解得 （x0） （2）证明：设任意x1，x2，且x10，x1x2+20由x10，f(1)=
11、2.（1）求f(0)，f(3)的值；（2）判断f(x)的单调性并证明；【答案】(1)f0=0,f3=6；(2)fx单调递增，证明见解析；(3)a3.【解析】（1）令x=0,y=0，即可得到f0=0，再令x=y=1，可得f2=4，令x=2,y=1即可求得f3=6；（2）fx单调递增，证明：任取x1,x2R且x10，fx2-fx1=fx2-x1+x1-fx1=fx2-x1+fx1-fx1=fx2-x1，因为x2-x10，所以fx2-x10，所以fx在R上单调递增.10.已知定义在区间(0,+)上的函数fx满足f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，且当x1时，fx0.（1）求f1的值； （2）证明
12、：fx为单调增函数； （3）若f(15)=-1，求fx在125,125上的最值.【答案】（1）f（1）=0（2）见解析（3）最小值为2，最大值为3【解析】试题分析：（1）利用赋值法进行求f（1）的值；（2）根据函数的单调性的定义判断f（x）在（0，+）上的单调性，并证明（3）根据函数单调性的性质，并利用赋值法可得函数的最值试题解析：（1）函数f（x）满足f（x1x2）=f（x1）+f（x2），令x1=x2=1，则f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0（2）证明：（2）设x1，x2（0，+），且x1x2，则1，f（）0，f（x1）f（x2）=f（x2）f（x2）=f（x2）+f（）f（x2）=f（）0，即f（x1）f（x2），f（x）在（0，+）上的是增函数（3）f（x）在（0，+）上的是增函数若，则f（）+f（）=f（）=2，即f（5）=f（1）=f（）+f（5）=0，即f（5）=1，则f（5）+f（5）=f（25）=2，f（5）+f（25）=f（125）=3，即f（x）在上的最小值为2，最大值为38
