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1、不等式选讲自主测试卷一、选择题（本大题共20小题）1. 若定义在区间D上的函数f(x)满足对任意的x1,x2D(x1x2),|f(x1)f(x2)|x1x2|,则称为低调函数.给出下列命题：是低调函数；若奇函数f(x)是区间1,1上的低调函数,则|f(x)|1；若f(x)是区间1,1上的低调函数,且f(1)=f(1)=0,则对任意的x1,x21,1,|f(x1)f(x2)|1.其中命题正确的是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性,导数的几何意义,不等式和绝对值不等式,是新定义题,属于综合题,解题关键是读懂新定义,再根据有关知识解答即可【解答】解：|f(x1)f
2、(x2)|x1x2|等价于|f(x1)f(x2)|x1x2|1,即f(x)图象上任意两点的连线的斜率绝对值不大于1,等价于恒成立对于,f(x)=sinx,对任意x1x2R,|sinx1sinx2|x1x2|成立,故f(x)=sinx是低调函数,故正确,对于,若奇函数f(x)是区间1,1上的低调函数,取x10,1,x2=x1,则|f(x1)f(x1)|x1+x1|,则2|f(x1)|2|x1|,|f(x1)|x1|1,即|f(x)|1,故正确,对于,若f(x)是区间1,1上的低调函数,且f(1)=f(1)=0,则对任意的x1,x21,1,当x1x21时,显然|f(x1)f(x2)|x1x21,若
3、x1x21时,则|f(x1)f(x2)|=f(x1)f(1)+f(1)f(x2)f(x1)f(1)+f(1)f(x2)x1(1)+x21=x1+1+1x2=2x1x21,故正确,综上,命题正确的是故选D2. 设a1,a2,anR,nN*且n3.若p：a1,a2,an成等比数列；q：(a12+a22+an12)(a22+a32+an2)=(a1a2+a2a3+an1an)2,则()A. p是q的充分条件,但不是q的必要条件B. p是q的必要条件,但不是q的充分条件C. p是q的充分必要条件D. p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件【答案】A【解析】【分析】本题考查了等比数列的性质,柯西不等式
4、与排序不等式和必要条件、充分条件和充要条件的判断.运用柯西不等式,可得：(a12+a22+an12)(a22+a32+an2)(a1a2+a2a3+an1an)2,讨论等号成立的条件,结合等比数列的性质和必要条件、充分条件和充要条件的判断得结论【解答】解：由a1,a2,anR,n3运用柯西不等式,可得：(a12+a22+an12)(a22+a32+an2)(a1a2+a2a3+an1an)2,若a1,a2,an成等比数列,即有a2a1=a3a2=anan1,则(a12+a22+an12)(a22+a32+an2)=(a1a2+a2a3+an1an)2,即由p推得q,但由q推不到p,比如a1=a
5、2=a3=an=0,则a1,a2,an不成等比数列故p是q的充分不必要条件故选A3. 若f(x)=x1x+2且f(x)a,则a的取值范围A. 3,+)B. (,3C. (3,+)D. (,3)【答案】B【解析】【分析】【解答】解：f(x)=x1x+2=3,x22x3,2x0或x0x+30,解得x0或x3把两集合的解集表示在数轴上,如图可得AB=(,3)52,+)故选D5. 用数学归纳法证明“1+12+13+12n11)”时,由n=k(k1)不等式成立,推证n=k+1时,左边应增加的项数是()A. 2k1B. 2k1C. 2kD. 2k+1【答案】C【解析】【分析】本题是基础题,考查数学归纳法证
6、明问题的第二步,项数增加多少问题,注意表达式的形式特点,找出规律是关键.考查不等式左侧的特点,分母数字逐渐增加1,末项为12n1,然后判断n=k+1时增加的项数即可【解答】解：左边的特点：分母逐渐增加1,末项为12n1；由n=k,末项为12k1到n=k+1,末项为12k+11=12k1+2k,应增加的项数为2k故选C6. 若00B. F0C. F0D. F0【答案】A【解析】【分析】本题主要考查对不等式选讲中的排序不等式的灵活运用【解答】解：02,且y=sinx在(0,2)上为增函数,y=cosx在(0,2)上为减函数,0sinsincoscos0,根据排序不等式：乱序和反序和,则sincos
7、+sincos+sincossincos+sincos+sincos=12(sin2+sin2+sin2),故选A7. “求证：2+35.证明：欲证明2+35,只需证明2+3252,即需证明5+265,即260,此式显然成立,所以不等式2+35成立.”证明过程应用了( )A. 分析法B. 综合法C. 综合法、分析法配合使用D. 间接证法【答案】A【解析】【分析】本题考查推理与证明中的分析法,属于基础题.解决本题的关键是对分析法的概念要熟悉,搞清分析法证题的理论依据,掌握分析法的证题原理分析法是执果索因,基本步骤：要证只需证,只需证,分析法是从求证的不等式出发,找到使不等式成立的充分条件,把证明
8、不等式的问题转化为判定这些充分条件是否具有的问题【解答】解：分析法是执果索因,基本步骤：要证只需证,只需证结合证明过程,证明过程应用了分析法故选A8. 用数学归纳法证明“1+12+13+12n11)”时,由n=k(k1)不等式成立,推证当n=k+1时,左边应增加的项数是()A. 2k1B. 2k1C. 2kD. 2k+1【答案】C【解析】【分析】本题是基础题,考查数学归纳法证明问题的第二步,项数增加多少问题注意表达式的形式特点,找出规律是关键【解答】解：左边的特点：分母逐渐增加1,末项为12n1,由n=k,末项为12k1,到n=k+1,末项为12k+11=12k1+2k,应增加的项数为2k故选
9、C9. 对任意x,yR,|x1|+|x|+|y1|+|y+1|的最小值为 ()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】|x1|+|x|+|y1|+|y+1|x1x|+|y1(y+1)|=1+2=3.故选C10. 给出以下四个命题：若1a1b2；若ab,则am2bm2；在ABC中,若sinA=sinB,则A=B；任意xR,都有ax2ax+10,则0a4其中是真命题的有()A. B. C. D. 【答案】C【解析】解：若1a1b0,则ba0,则ba+ab2baab=2,当且仅当ba=ab,即a=b取等号,ab,等号取不到,则ba+ab2,故正确,若ab,则当m=0时,不等式am2bm2不
10、成立,故错误,在ABC中,若sinA=sinB,由正弦定理asinA=bsinB得a=b,则A=B；故正确,任意xR,都有ax2ax+10,则当a=0时,不等式等价为10,即a=0也成立,故错误,故选：C根据不等式的性质,结合基本不等式成立的条件进行判断,当m=0时,不等式不成立,根据正弦定理进行判断,当a=0时,满足条件,但结论不成立本题主要考查命题的真假判断,涉及不等式的性质,正弦定理以及不等式恒成立问题,综合性较强,但难度不大11. 设a、b、c是互不相等的正数,则下列等式中不恒成立的是()A. |ab|ac|+|bc|B. a2+1a2a+1aC. |ab|+1ab2D. a+3a+1
11、a+2a【答案】C【解析】解：A.由于绝对值不等式性质得等式恒成立；B.作差可得,(a1)2(a2+a+1)a20,故恒成立；C.举例a=2,b=3不恒成立,故C错；D.即为a+3+aa+1+a+2,两边平方得到a2+3aa2+3a+2,恒成立故选：C本题主要考查不等式恒成立的条件,由于给出的是不完全题干,必须结合选择支,才能得出正确的结论.可运用排除法要灵活运用公式,牢记公式a2+b22ab成立的条件12. 不等式x2|x|20(xR)的解集是()A. x|2x2B. x|x2C. x|1x1D. x|x1【答案】A【解析】【分析】本题考查一元二次不等式的解法,解题的突破点是把原不等式中的x2变为|x|2,是一道中档题【解答】解：原不等式化为|x|2|x|20,因式分解得(|x|2)(|x|+1)0,所以|x|20即|x|2, 解得：2xn),都成立的是()A. |anam|mn2C. |anam|12n【答案】C【解析】解：am=sin12+sin222+sinm2m, an=sin12+sin222+sinn2n, 所以|anam| =|sin(n+1)2n+1+sin(n+2)2n+2+sinm2m| |sin(n+1)2n+1|+|sinm2m| 12n+1+12m =12n1(12)mn 12n, 所以：|anam|1
