【笔记】方法精讲-数量 41

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1、方法精讲-数量 4 1 方法精讲-数量 4（笔记）方法精讲-数量 4（笔记） 【知识点】 插板法： n 个物品分给 m 个人， 每个人至少分 1 个， 总共有 C （n-1， m-1）种情况。 1.例子：6 个苹果分给 3 个人，每个人至少分一个，共有多少种情况？ 答：正面情况复杂，反面考虑，用两块木板代替三个人，中间有 5 个空隙， 边上有 2 个空隙，若木板插在边上，则有人没有苹果，故木板只能插在中间的 5 个空隙，故共有 C（5 空隙，2 木板）种情况。 2.结论：将 n 个相同的物品看为 n-1 个空隙，m 个人看为 m-1 个木板，故共 有 C（n-1，m-1）种情况。 3.注意：若

2、给每个人分多个物品，则先分一部分。 第八节容斥原理 两集合公式：A+B-AB=全部-都不满足 三集合标准公式：A+B+C-AB-BC-CA+ABC=全部-都不满足 三集合非标准公式：A+B+C-满足两项的-满足三项的*2=全部-都不满足 容斥原理（容于什么，斥于什么） 两集合： 1.例子：小学期末考试统计，语文及格 35 人，数学及格 32 人，全班 总共 40 人，都不及格为 2 人，问都及格的为多少人？若小龙只属于语文的 圆圈，则小龙容于语文，斥于数学的圆圈。 答：语文+数学-都及格人数=全-都不及格，代入数字为 35+32-（） =40-2，则（）=29 人，即都及格的为 29 人。 2

3、.公式：A+B-都满足=全-都不。 2 例1（2015天津）某高校大学生数学建模竞赛协会共有240名会员，今欲调查 参加过国家级竞赛和省级竞赛会员的人数， 发现每个会员至少参加过一个级别的 竞赛。调查结果显示：有 ? ?t的会员参加过国家级竞赛，有 ? ?的会员两个级别的竞 赛都参加过。问参加过省级竞赛的会员人数是多少？（） A.160B.120 C.100D.140 【解析】例1.“每个会员至少参加过一个级别的竞赛”，则没有都不参加的 会员，出现两种情况有交叉，故判定为容斥原理问题。列式：7/12*240+（） -1/4*240=240-0， 即140+ （） -60=240， 尾数都为0，

4、 正常计算即可， 解得： （） =160。【选A】 例2（2014国考）工厂组织职工参加周末公益活动，有80%的职工报名参加， 报名参加周六活动的人数与报名参加周日活动的人数比为21，两天的活动都报 名参加的为只报名参加周日活动的人数的50%。则未报名参加活动的人数是只报 名参加周六活动的人数的（）。 A.20%B.30% C.40%D.50% 【解析】例2.“80%的职工报名参加”，则没参加的职工为20%。两种情况有 交叉， 判定为容斥原理问题。 设参加周六为A， 参加周日为B， 求只报周六的人数， 但公式中没有只报B，需要画图。 （1）画图分析：画方框表示工厂的总人数，在方框里面画两个相交

5、的圆圈 分别表示报周六与报周日的人，其中周六的圆圈为周日的2倍，表示人数为2：1， 故中间的相交部分为都报名的人，左边表示只报周六的人数，右边表示只报周日 3 的人，圆圈外面的部分表示未报名的职工。 （2）代数字，没有具体数值，用赋值法，赋值都报的为1人，则只报周日为 2人，故报周日=只报周日+都报的人=3人，则报周六的人=报周日的人数*2=6人， 只报周六=报周六-都报的人=5人，总人数=（5+2+1）/80%=10人，则未报名/只报 周六=2/5=40%。【选C】 【注意】不用一步一步写出步骤，直接在图上标出数字即可。 【知识点】三集合标准型 1.公式：A+B+C-（AB+BC+AC）+A

6、BC=总数-都不满足。 2.原理： （1）各加：将3个集合各加一次（A+B+C） 。 （2）去重：相交的部分重复相加，故需要去重复（AB+BC+AC） 。 （3）补齐：红色阴影部分在各加中含3个ABC，去重中去掉了3个AB C，故需要补一次ABC。 例3（2015陕西）针对100名旅游爱好者进行调查发现，28人喜欢泰山，30 人喜欢华山，42人喜欢黄山，8人既喜欢黄山又喜欢华山，10人既喜欢泰山又喜 欢黄山，5人既喜欢华山又喜欢泰山，3人喜欢这三个景点。则不喜欢这三个景点 中任何一个的有（）人。 4 A.20B.18 C.17D.15 E.14F.13 G.12H.10 【解析】例3.喜欢泰山

7、的人看为A，喜欢华山的人看为B，喜欢黄山的人看为 C，则根据三集合容斥原理标准型公式可得：28+30+42-8-10-5+3=100-（）， 尾数法，等式左边的尾数为0-3+3=0，则（）的尾数为0，剩下A项、H项；需要 计算，原式=100-23+3=100-（），故-20=-（），则（）=20。【选A】 【拓展】 （2017陕西）在一项课题研究中，数据搜集方式有问卷调研、当面 访谈与电话访谈三种。参加问卷调研的有27人，参加电话访谈的有21人。参加了 三种数据搜集方式的有5人，既参加问卷调研又参加当面访谈的有9人，既参加问 卷调研又参加电话访谈的有12人，既参加当面访谈又参加电话访谈的有7人

8、。已 知只参加当面访谈的人数占数据搜集人数总数的20%，则数据搜集人员共有（） 人。 A.45B.50 C.55D.60 E.65F.70 G.75H.80 【解析】拓展.出现“只参加” ，故不能直接用三集合标准型公式，需画图分 析。在图上标出相应的数字（只参加当面访谈与问卷调查为4人，只参加当面访 谈与电话访谈为2人，只参加问卷调查与电话访谈为7人） ，设只参加当面访谈的 为x人，则总人数为5x人，列式：总人数=x+27+21-（5+7）=5x，化简为4x=36， 解得：x=9，则总人数5x=45人。 【选A】 5 【知识点】三集合非标准型 1.公式：A+B+C-只满足两条件-ABC*2=总

9、数-都不满足。 2.注意： （1）理解记忆公式。 （2）掌握区分方法。 3.原理： （1）只满足两条件为x、y、z部分，A+B+C含有2倍的（x+y+z） ，所 以要去重，去一倍的（x+y+z） ，即A+B+C-只满足两项的。 （2）A+B+C含有3个ABC，需去重2个，即A+B+C-ABC*2。 （3）合并在一起为A+B+C-满足两项-满足三项*2=总数-都不。 例4（2014广东）为丰富职工业余文化生活，某单位组织了合唱、象棋、羽 毛球三项活动。在该单位的所有职工中，参加合唱活动的有189人，参加象棋活 动的有152人，参加羽毛球活动的有135人，参加两种活动的有130人，参加三种 活动的

10、有69人， 不参加任何一种活动的有44人。 则该单位的职工人数为 （） 人。 A.233B.252 C.321D.520 6 【解析】例4.若参加合唱为A，参加象棋为B，参加羽毛球为C，无法找到A B 、 A C 、 B C 的 条 件 ， 则 用 非 标 准 型 公 式 ， 代 入 数 字 可 得 ： 189+152+135-130-69*2=（）-44，选项尾数不同，用尾数法，等式左边的尾数 为6-0-8，借位可算得尾数为16-8=8，（）-4的尾数为8，故（）的尾数为2。 或不借位，保持平衡，尾数为6-8=（）-4，6=（）-4+8=（）+4，则（） 的尾数为2。【选B】 【注意】1.两

11、项的数据： （1）用3个数写，用标准型公式。 （2）用1个数写，用非标准型公式。 2.参加两种活动=只参加两种活动；参加两项及以上=参加两项+参加三项。 例 5（2015 黑龙江）工厂组织工人参加技能培训，参加车工培训的有17人， 参加钳工培训的有16人，参加铸工培训的有14人，参加两项及两项以上培训的人 占参加培训总人数的，三项培训都参加的有2人 问总共有多少人参加了培训？ （） A.24B.27 C.30D.33 【解析】例5.三集合容斥原理问题， “参加两项及两项以上培训的人占参加 培训总人数的2/3”，参加两项及以上的用一句话表述，因此为非标准型。总人 数为3的倍数，设总人数为3x，则

12、参加两项及以上的为2x，参加两项及以上=参加 两项+参加三项，参加三项的有2人，则参加两项的有2x-2人，都不参加的为0人。 根据公式得：17+16+14-（2x-2）-2*2=3x-0，47-2x+2-4=3x，5x=45，解得x=9， 总人数=3x=27。【选B】 【注意】参加两项及两项以上培训的人画图不好标出来，题目数据越全，画 图标数的时候才会越清晰。 【答案汇总】1-5：ACABB 7 【小结】容斥原理（国考的难度只考三集合，两集合考的比较少） 1.公式： （1）两集合：A+B-AB=总数-都不。 （2）三集合标准（满足两个条件的给出3个数据） ： A+B+C-AB-AC-BC+AB

13、C=总数-都不。 （3）三集合非标准（满足两个条件的给出1个数据） ： A+B+C-满足两个-满足三个*2=总数-都不。 2.画图： （1）画圆圈，标数据，去重复。 （2）交叉部分重点标注（从内往外标） 。 3.例5中两项的只有一句话，因此是非标公式；例4中两项的只有一句话，因 此是非标公式；拓展题中两项的有三句话，看起来是标准公式，但是题目出现了 “只参加” ，在标准公式当中不存在，因此用画图法；例3中两项的有三句话，因 此是标准公式。 第九节最值问题 【注意】最值问题是数学课的最后一个部分，还有周期问题和几何问题 是专项课，以后会给大家添加。 【知识点】最值问题 考场上分为4种考法，分别是

14、“至少保证” （例1例4） 、 “某个主 体最” （例5例9） 、 “都至少” （例10例11） “最值思维” （例12） ，前 两个题型比较重要，其中第二类题型最重要，后面两个是知识点的补充。 8 【知识点】至少保证 1.识别：题目出现“至少才能保证”的问法。 2.方法：要保证同种情况至少n个，应每种情况各取（n-1）个， （如果有 不够n-1的有多少取多少） ，最后再加1。 3.例： 【引例】袋子中装有5个红球，8个白球，10个黄球。问：至少取出 （）个，才能保证至少有2个同色的球？ 【解析】引例.题目出现“保证” ，强调的是“最不利” 、 “最倒霉”的情 况。最不利的情况（手气最差） ：

15、先摸红、白、黄（三个颜色都不相同） ，再 摸下一个，红、白、黄随便摸一个，就可以保证至少有2个同色的球。即先摸 3个，再摸1个，共3+1=4个。 4.问：至少取出（）个，才能保证至少有8个同色的球？ 答： “至少有8个同色的球，最倒霉的情况（个数最多的情况）是：连续 摸了7个黄球，接下来又摸了7个白球，红球的个数很特殊（注意陷阱） ，红球 只有5个，所以红球最多摸5个，因此共需要7+7+5+1=20个。 例 1（2015 河北）有软件设计专业学生 90 人，市场营销专业学生 80 人，财 务管理专业学生 20 人及人力资源管理专业学生 16 人参加求职招聘会。 问至少有 多少人找到工作就一定保

16、证有 30 名找到工作的人专业相同？（） A.59B.75 C.79D.95 【解析】例1. 出现“至少保证”，最不利构造问题，用最不利+1。要 保证30名专业相同，就让每种专业取30-1=29人，软件设计取29人，市场营销取 29人、财务最多只能取20人，人力资源最多只能取16人，再从软件设计或市场营 销取1人即可，因此共需要（29+29+20+16）+1=95人。【选D】 【注意】选项要么是9，要么是5，尾数法不好用，所以直接加和算即可。 例 2（2014 山东）在 2011 年世界产权组织公布的公司全球专利申请排名中， 中国中兴公司提交了 2826 项专利申请，日本松下公司申请了 2463 项，中国华为 9 公司申请了 1831 项，分别排名前 3 位。问从这三个公司申请的专利中至少拿出 多少项专利，才能保证拿出的专利一定有 2110 项是同一公司申请的专利？（） A.6049B.6050 C.6327D.6328 【解析】例2.出现“至