《电大《经济数学基础》作业3（线性代数部分第一章行列式--第二章矩阵）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《电大《经济数学基础》作业3（线性代数部分第一章行列式--第二章矩阵）（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、经济数学基础作业3（线性代数部分第1章行列式第二章矩阵）知识要点：1行列式的概念和性质掌握二阶和三阶行列式的计算。了解行列式的性质：特别是性质1、性质3、性质5。2了解矩阵和几类特殊矩阵的概念3理解矩阵可逆与逆矩阵概念，知道矩阵可逆的条件；4知道方阵的行列式性质：设是阶方阵，是数，则（1）；（2）；（3）；（4）若可逆，则5.了解矩阵秩的概念；6.理解矩阵初等行变换的概念：（1）将矩阵的某两行对换位置；（2）将某一行遍乘一个非零常数；（3）将矩阵的某一行遍乘一个非零常数加到另一行。7熟练掌握矩阵的加法、数乘、乘法和转置等运算。掌握这几种运算的有关性质，注意：（1）矩阵的乘法一般不满足交换律，即
2、=不一定成立；（2）在矩阵的乘法中存在有；（3）矩阵乘法的消去律不成立，即且，不能导出。8熟练掌握用矩阵的初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵、行简化阶梯形矩阵，熟练掌握用矩阵的初等行变换求矩阵的秩、逆矩阵。一）填空题1.设矩阵，则的元素.解：的元素表示矩阵中第2行与第3列交叉的元素，即=3。2.设均为3阶矩阵，且，则=. 解：因为 若是阶方阵，是数，则， ， 因此=3. 设均为阶矩阵，则等式成立的充分必要条件是 .解：因为 的充分必要条件是=4. 设均为阶矩阵，可逆，则矩阵的解.解：因为： ，则，5. 设矩阵，则.求逆矩阵的初等行变化法：（二）单项选择题1. 以下结论或等式正确的是（ ） A若均为
3、零矩阵，则有B若，且，则 C对角矩阵是对称矩阵D若，则解：A不正确。零矩阵：所有的元素均为零的矩阵。例如：，B不正确。矩阵乘法的消去律不成立。例如：设， 有，但C正确. 对称矩阵：若矩阵，有，则称矩阵为对称矩阵。 设n阶对角矩阵，显然有，因此矩阵为对称矩阵。D不正确. 例如：设，,有 该题正确的选项为C.2. 设为矩阵，为矩阵，且乘积矩阵有意义，则为（ ）矩阵 A B C D解：矩阵乘法定义：,要求左边矩阵的列数与右边矩阵的行数相等，而且结果AB仍然是一个矩阵，其行数等于左边矩阵A的行数，其列数等于右边矩阵B的列数。 为,要有意义，则矩阵 的行数=矩阵A的列数4；为矩阵，则为矩阵，要有意义，则
4、矩阵 的列数=矩阵的行数2,故 是一个矩阵，是一个矩阵。该题正确的选项为A.3. 设均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ ） A， B C D解：A都是错误的。 例如：设，容易验证矩阵均可逆，但不可逆，显然是错误的。B是错误的。逆矩阵的性质：C是正确的。 =D是错误的。矩阵的乘法一般不满足交换律。该题正确的选项为C.4. 下列矩阵可逆的是（ ） A B C D 解：矩阵A可逆的方法：（1）； （2）矩阵A是满秩矩阵。A是正确的。因为矩阵是阶梯形矩阵且为满秩矩阵。或B是错误的。，矩阵的秩为2，不是满秩矩阵，故不可逆。C,D都是错误的。矩阵的秩都为1，不是满秩矩阵，故不可逆。该题正确的选项为A.5
5、. 矩阵的秩是（ ） A0 B1 C2 D3解：该题正确的选项为C.三、解答题1计算（1）解：原式=（2）解：原式=（3）解：原式=2计算解：原式= =3设矩阵，求。二阶行列式n阶行列式的计算方法：1 降阶法：2 化三角形矩阵解： 所以 =04设矩阵，确定的值，使最小。求矩阵A的秩的方法：阶梯行矩阵，则=的非零行的行数。解：当时，=2为最小求矩阵A的秩的方法：阶梯行矩阵，则=的非零行的行数5求矩阵的秩。解：=26求下列矩阵的逆矩阵：（1）解：求矩阵的逆的方法：方法1：方法2： （2）A =求解：下面利用初等行变化法求的逆：=7设矩阵，求解矩阵方程1解矩阵方程：（1）若A可逆，则。（2）若A可逆，则。2利用伴随矩阵法求二阶可逆矩阵的逆：，其中伴随矩阵解：因为则， ，=四、证明题1试证：若都与可交换，则，也与可交换。若有，则称与可交换。证明：因为，则结合矩阵运算的分配律有：又利用矩阵运算的结合律有：因此，都与可交换。2试证：对于任意方阵，是对称矩阵。若，则称为对称矩阵。转置矩阵的运算性质：证明： 3设均为阶对称矩阵，则是对称矩阵的充分必要条件是：。证明：必要性：若A则B,则称 A是B的充分条件；B是A的必要条件。 因为，为对称矩阵，则。 充分性：因为，则，即是对称矩阵。 4设为阶对称矩阵，为阶可逆矩阵，且，证明是对称矩阵。若为可逆矩阵，则证明：因为，为阶可逆矩阵，且，则 。
