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1、第1页 2323 个函数与导函数类型专题个函数与导函数类型专题 1 1、函数第函数第 1 1 题题已知函数已知函数 ln ( ) x1 f x x1x ，若若x0 ，且且x1 ， ln ( ) xk f x x1x ，求求k的的 取值范围取值范围. . 解析解析： 将不等式化成将不等式化成()(*)k 模式模式 由由 ln ( ) xk f x x1x 得：得： lnlnx1xk x1xx1x ，化简得：，化简得： ln 2 2xx k1 x1 构建含变量的新函数构建含变量的新函数( )g x 构建函数：构建函数： ln ( ) 2 2xx g x x1 （x0 ，且，且x1 ） 其导函数由其
2、导函数由 2 uu vuv v v 求得：求得：( )(lnln) () 22 22 2 gxxxxx1 x1 即：即：( )()()ln () 22 22 2 gxx1x1x x1 () ln () 22 222 2 x1x1 x x1x1 确定确定( )g x的增减性的增减性 先求先求( )g x的极值点，由的极值点，由() 0 gx0 得：得：ln 2 0 0 2 0 x1 x0 x1 即：即：ln 2 0 0 2 0 x1 x x1 由基本不等式由基本不等式ln xx1 代入上式得：代入上式得： 2 0 0 2 0 x1 x1 x1 故：故： 2 0 0 2 0 x1 x10 x1 即
3、：即：()() 0 2 0 1 x1 10 x1 由于由于 2 0 1 1 x1 ，即，即 2 0 1 10 x1 ，故：，故： 0 x10，即，即 0 x1 即：即：( )g x的极值点的极值点 0 x1 在在 0 xx1时，由于时，由于 2 2 x1 1 x1 有界，而有界，而ln x0 无界无界 第2页 故：故：ln 2 2 x1 x0 x1 即：在即：在 0 xx1时，时，( )gx0 ，( )g x单调递减；单调递减； 那么，在那么，在 0 0 xx时，时，( )g x单调递增单调递增. . 满足满足式得式得 0 x恰好是恰好是 0 x1 在在( ,)x1由增减性化成不等式由增减性化
4、成不等式 在在( ,)x1区间，由于区间，由于( )h x为单调递减函数，为单调递减函数， 故：故：( )lim( ) x1 g xg x ln lim 2 x1 2xx x1 应用不等式：应用不等式：ln xx1 得：得： ln() limlimlim 22 x1x1x1 2xx2x x12x 1 x1 x1x1 即：即：( )( )g xg 11，即：，即：( )g x的最大值是的最大值是( )g 1 代入代入式得：式得：( )k1g x，即：，即：( )k1g 1，即：，即：k0 在在( , )x0 1 由增减性化成不等式由增减性化成不等式 在在( , )x0 1 区间，区间，由于由于(
5、 )g x为单调递增函数，为单调递增函数， 故：故：( )lim( ) x0 g xg x ln lim 2 x0 2xx x1 由于极限由于极限 limln x0 xx0 ，故：故：( )g x0 ，代入代入式得：式得：k1 总结结论总结结论 综合综合和和式得：式得：k0 . . 故：故：k的取值范围是的取值范围是(, k0 本题的要点：求出本题的要点：求出 ln 2 2xx 1 x1 的最小值或最小极限值的最小值或最小极限值. . 特刊：特刊：数值解析数值解析 由由式式 ln 2 2xx k1 x1 ，设函数，设函数 ln ( ) 2 2xx K x1 x1 当当x1时，用洛必达法则得：时
6、，用洛必达法则得： 第3页 ln(ln )(ln) limlimlim () 22 x1x1x1 2xx2xx2x1 1 2x x1x1 ，则，则( )K 10 用数值解如下：用数值解如下： x 0.30.30.40.40.50.50.60.60.70.70.80.80.90.91.01.0 ( )K x 0.20620.20620.12730.12730.07580.07580.04220.04220.02090.02090.00830.00830.00180.00180.00000.0000 x 1.11.11.21.21.31.31.41.41.51.51.61.61.71.71.81.
7、8 ( )K x 0.00150.00150.00550.00550.01140.01140.01860.01860.02690.02690.03590.03590.04540.04540.05530.0553 其中，其中，( )K x的最小值是的最小值是( )K 10 ，即，即( )( )K xK 1 ，所以本题结果是，所以本题结果是k0 . . 2 2、函数第函数第 2 2 题题已知函数已知函数( )ln 2 f xxax，a0 ，x0 ，( )f x连续连续，若存在均属于区若存在均属于区 间间 , 1 3的的, ，且，且1，使，使( )( )ff ，证明：，证明： lnlnln322 a
8、 53 解析解析： 求出函数求出函数( )f x的的导函数导函数 函数：函数：( )ln 2 f xxax 其导函数：其导函数：( ) 2 112ax fx2ax xx ()()12ax 12ax x 给出函数给出函数( )f x的单调区间的单调区间 由于由于x0 ，由，由式知：式知：( )fx的符号由的符号由()12ax 的符号决定的符号决定. . 当当12ax0，即：，即： 1 x 2a 时，时，( )fx0 ，函数，函数( )f x单调递增；单调递增； 当当12ax0，即：，即： 1 x 2a 时，时，( )fx0 ，函数，函数( )f x单调递减；单调递减； 当当12ax0，即：，即：
9、 1 x 2a 时，时，( )fx0 ，函数，函数( )f x达到极大值达到极大值. . 由区间的增减性给出不等式由区间的增减性给出不等式 由由, 均属于区间均属于区间 , 1 3，且，且1，得到：，得到： , 1 2 ， , 2 3 若若( )( )ff ，则，则, 分属于峰值点分属于峰值点 1 x 2a 的两侧的两侧 第4页 即：即： 1 2a ， 1 2a . . 所以：所以： 所在的区间为单调递增区间，所在的区间为单调递增区间， 所在的区间为单调递减区间所在的区间为单调递减区间. . 故，依据函数单调性，在单调递增区间有：故，依据函数单调性，在单调递增区间有：( )( )( )f 1f
10、f 2 在单调递减区间有：在单调递减区间有：( )( )( )f 2ff 3 将数据代入不等式将数据代入不等式 由由式得：式得：( )f 1a ；( )lnf 224a；( )lnf 339a 代入代入得：得：( )lnaf24a ，即：，即：lna24a ，即：，即： ln2 a 3 代入代入式得：式得：ln( )ln24af39a ，即：，即：lnln24a39a ， 即：即： lnln32 a 5 总结结论总结结论 结合结合和和式得：式得： lnlnln322 a 53 . .证毕证毕. . 本题的要点：用导数来确定函数的单调区间，利用单调性来证明本题本题的要点：用导数来确定函数的单调区
11、间，利用单调性来证明本题. . 特刊：特刊：特值解析特值解析 由由已得：已得： , 1 2 ， , 2 3 ，且：且：( )ln 2 fa，( )ln 2 fa 若：若：( )( )ff ，则：则：lnln 22 aa 即：即：()lnln 22 a，故：故： lnln 22 a 当：当：2 ，1 时，时， ln2 a 3 当：当：3 ，2 时，时， lnln32 a 5 故：故：a处于这两个特值之间，即：处于这两个特值之间，即： lnlnln322 a 53 第5页 3 3、函数第、函数第 3 3 题题已知函数已知函数( )ln() 2 f xxax2a x. .若函数若函数( )yf x
12、的图像与的图像与x轴交于轴交于 ,A B两点，线段两点，线段AB中点的横坐标为中点的横坐标为 0 x，试证明：，试证明： 0 1 x a . . 解析解析： 求出函数求出函数( )f x导函数导函数 函数函数( )f x的定义域由的定义域由ln x可得：可得：x0 . . 导函数为：导函数为：( )() 1 fx2ax2a x ()() 1 12xa x 确定函数的单调区间确定函数的单调区间 当当 1 a0 x ，即，即( ,) 1 x0 a 时，时，( )fx0 ，函数，函数( )f x单调递增；单调递增； 当当 1 a0 x ，即，即(,) 1 x a 时，时，( )fx0 ，函数，函数( )f x单调递减；单调递减； 当当 1 a0 x ，即，即 1 x a 时，时，( )fx0 ，函数，函数( )f x达到极大值达到极大值( ) 1 f a . . ( )ln( )() 2 1111 fa2a aaaa ln 11 1 aa 分析图像与分析图像与x轴的交点，求出轴的交点，求出a区间区间 由于由于lim( ) x f x0 ，lim( ) x0 f x0 若若( )f x与与x轴交于轴交于,A B
