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1、72习题一1设0相对误差为2%，求，的相对误差。解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：得（1）时；（2）时2设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。（1）；（2）；（3）。解：由教材关于型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，53用十进制四位浮点数计算（1）31.97+2.456+0.1352；（2）31.97+（2.456+0.1352）哪个较精确？解：（1）31.97+2.456+0.1352=0.3457（2）31.97+（2.456+0.1352） = =0.3456易见31.97+2.456+0
2、.1352=0.345612，故（2）的计算结果较精确。4计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？解：设该正方形的边长为，面积为，由解得=0.5%5下面计算的公式哪个算得准确些？为什么？（1）已知，（A），（B）；（2）已知，（A），（B）；（3）已知，（A），（B）；（4）（A），（B）解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。故在设计算法时应尽量避免上述情况发生。（1）（A）中两个相近数相减，而（B）中避免了这种情况。故（B）算得准确些。
3、（2）（B）中两个相近数相减，而（A）中避免了这种情况。故（A）算得准确些。（3）（A）中使得误差增大，而（B）中避免了这种情况发生。故（B）算得准确些。（4）（A）中两个相近数相减，而（B）中避免了这种情况。故（B）算得准确些。6用消元法求解线性代数方程组假定使用十进制三位浮点数计算，问结果是否可靠？ 解：使用十进制三位浮点数计算该方程则方程组变为（1）-（2）得，即，把的值代入（1）得；把的值代入（2）得解不满足（2）式，解不满足（1）式，故在十进制三位浮点数解该方程用消元法计算结果不可靠。7计算函数和处的函数值（采用十进制三位浮点数计算）。哪个结果较正确？解： = =即，而当时的精确值为
4、1.6852，故的算法较正确。8按照公式计算下面的和值（取十进制三位浮点数计算）：（1）；(2)。解：（1）= （2）= 9已知三角形面积，其中。证明：。证明：由自变量的误差对函数值的影响公式：。 得=（当时，），命题得证。习题二1找出下列方程在附近的含根区间。（1）；（2）；（3）；（4）；解：（1）设，则，由的连续性知在内，=0有根。同题（1）的方法可得：（2），（3），（4）的零点附近的含根区间分别为；2用二分法求方程在内的根的近似值并分析误差。解：令，则有，所以函数在上严格单调增且有唯一实根。本题中求根使得误差不超过，则由误差估计式，所需迭代次数满足，即取便可，因此取。用二分法计算结果
5、列表如下：0021-0.15851121.50.4962211.51.250.1862311.251.1250.015051411.1251.0625-0.071851.06251.1251.09375-0.0283561.093751.1251.109375-0.0066471.1093751.1251.11718750.00420881.1093751.11718751.11328125-0.00121691.113281251.11718751.1152343750.001496101.113281251.1152343751.11425781250.001398111.11328125
6、1.11425781251.11376953125-0.000538121.113769531251.11425781251.114013671875-0.000199131.1140136718751.11425781251.1141357421875-0.0000297141.11413574218751.11425781251.114196777343750.000055由上表可知原方程的根该问题得精确解为，故实际误差为3判断用等价方程建立的求解的非线性方程在1.5附近的根的简单迭代法的收敛性，其中（A）；（B）；（C）解：取1.5附近区间来考察。（A），显然当时，单调递减，而，因此，当
7、时， 。又当时，由迭代法收敛定理，对任意初值，迭代格式， 收敛。（B），则，所以当时，。又当时，由迭代法收敛定理，对任意初值，迭代格式，收敛。（C），由于当时，有，所以对任意初值（原方程的根除外），迭代格式 发散。4确定的简单迭代法的收敛区间。如果收敛，试估计使精度达到时所需的迭代次数并进行计算。（A）；（B）；（C）解：（A）方程为，设，则，故有根区间为，题中，故迭代公式在含根区间内收敛。（B）方程为，设，则，故有根区间为，题中，故迭代公式在含根区间内收敛。（C）方程为，设，则，故有含根区间，题中，5对下点列用埃特金方法加速。解：由埃特金加速公式计算，结果列下表：00.5403000.961
8、7812834383110.8775810.9821175178448120.9449620.9898077326036030.9689140.9800750.9861460.989816令初值，分别用牛顿迭代法，双点弦割法和单点弦割法求解方程的解。解：牛顿迭代法，满足，由牛顿迭代法的收敛条件知当取初值为时迭代法收敛。牛顿迭代格式为：0113.522.6071428571428632.4542563600782842.4494943716069752.4494897427875562.4494897427831872.44948974278318在第6部迭代后，迭代点得小数点后14位已无变化，
9、故可取双点弦割法双点弦割法迭代格式为：0113.522.1111111111111132.3861386138613942.4542563600782852.4494273572571262.4494896821414472.4494897427839582.4494897427831892.44948974278318在第8部迭代后，迭代点得小数点后14位已无变化。双点弦割法双点弦割法迭代格式为：0113.522.1111111111111132.6071428571428642.3861386138613952.4766081871345062.4381833473507272.45425
10、63600782882.4474895545641292.45033071771908102.44913644779691112.44963821399228122.44942735725712132.44951595791130142.44947872716250152.44949437160696162.44948779773504172.44949056010085182.44948939934302192.44948988709816202.44948968214143212.44948976826509222.44948973207557232.44948974728256242.4
11、4948974089252252.44948974357764262.44948974244934272.44948974292346282.44948974272423292.44948974280795302.44948974277277312.44948974278755322.44948974278134以后，迭代点得小数点后11位已无变化，因收敛速度较慢，故只精确到小数点后11位7建立利用方程求的Newton迭代格式，并讨论算法的收敛性。解：牛顿迭代格式为：令，因为当时，故对于任何满足，即的初值，上述Newton迭代产生的迭代序列收敛于。8建立利用方程求的Newton迭代格式，并讨论
12、算法的收敛性。解：牛顿迭代格式为：令，因为当时，故对于任何满足，即的初值，上述Newton迭代产生的迭代序列收敛于。9判断用Newton迭代求解方程的收敛性。解：由 ，当时，要使Newton迭代法收敛对于初值，需满足，显然这样得初值是不存在的，故当时，Newton迭代法不收敛。当时，同上的分析方法可得，初值也不存在的，故当时，Newton迭代法也不收敛。所以用Newton迭代求解方程不收敛。10写出求解方程的Newton迭代格式并判断以下情形的收敛性。（1）；（2）；（3）。解：牛顿迭代格式为：解之得：（1）当时，故迭代序列不收敛；（2）当时，迭代序列收敛，但不收敛于方程的解；（3）当时，从而，迭代序列收敛，且收敛于方程的解。11求分别用下列迭代格式求解方程时的收敛阶。（1）Newton迭代格式；（2）迭代格式。解：显然，否则没意义。易知Newton迭代格式收敛于，又（1）Newton迭代格式的收敛阶为（2）迭代格式迭代格式的收敛阶为12当初值取为下列各值时，用下山Newton迭代求解方程组是否收敛？若收敛，收敛于哪一个根？（1）（2）解：由下山Newton迭代格式习题三11分别用高斯消元法和列选主元法解方程组（精确到小数点后四位）：解：高斯消元法：=高斯列选主元消元法 2分别用高斯消元法和列选主元法解方程组解：
