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1、. . . .基本初等函数【整体感知】： 基本初等函数 幂函数一次函数二次函数第1讲 指数函数【基础梳理】1.根式（1）根式的概念 如果一个数的n次方等于a（n1且nN*），那么这个数叫做a的n次方根.也就是，若xn=a，则x叫做_a的n次方根_,其中n1且nN*.式子叫做_根式_, 这里n叫做_根指数_，a叫做_被开方数_. （2）根式的性质 当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号_ 表示. 当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数,这时，正数的正的n次方根用符号_表示, 负的n次方根用符号_表示.正负两个n次方根可以合写为_（a
2、0）. =_a_. 当n为奇数时， =_a_;当n为偶数时， =_.负数没有偶次方根. 2.有理数指数幂(1)幂的有关概念正整数指数幂：（nN*）；零指数幂：a0=_1_（a0）；负整数指数幂：a-p=_（a0，pN*）；正分数指数幂：=_（a0，m、nN*， 且n1）；负分数指数幂： = = (a0,m、nN*,且n1).0的正分数指数幂等于_0_，0的负分数指数幂_没有意义_.（2）有理数指数幂的性质 aras= ar+s(a0,r、sQ); (ar)s= ars(a0,r、sQ); (ab)r= arbr(a0,b0,rQ). 3.指数函数的图象与性质 y=ax(a0且a1)图象来源:Z
3、+xx+k.Com来源:学&科&网来源:学科网来源:学#科#网来源:Z&xx&k.Coma1来源:学科网ZXXK0a1定义域R值 域(0,+)性质(1)过定点_(0,1)_(2)当x0时,_ y1_;x0时,_ 0y0时,_ 0y1_;x1_(3)在(-，+)上是_增函数_(3)在(-，+)上是_减函数_【要点解读】要点一 指数运算【例1】【标准解析】根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式，然后利用分数指数幂的运算性质求解，对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留。 【误区警示】一般的进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时兼顾运算的顺序，否
4、则容易发生运算的错误。【答案】【变式训练】（3）已知，求的值。【标准解析】（2）原式=。（3），又，。【技巧点拨】根式运算或根式与指数式混合运算时,将根式化为指数式计算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根据要求写出结果.但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 要点二 指数函数的概念与性质【例2】已知函数f(x)4xm2x1有且仅有一个零点，求m的取值范围【例3】设函数=为奇函数. 求：（1）实数a的值；（2）用定义法判断在其定义域上的单调性.【标准解析】解决含指数式的各种问题，要熟练运用指数运算法则及运算性质，更关键是熟练运用指数的
5、性质，其中单调性是使用率比较高的知识。【误区警示】证明函数的性质都需要借助指数函数的性质来处理。【答案】(1)方法一 依题意，函数的定义域为R， 是奇函数，=-，2分2(a-1)(2x+1)=0，a=1. 6分方法二 f(x)是R上的奇函数，f(0)=0，即 a=1. 6分（2）由(1)知设且R， 8分,在R上是增函数.【变式训练】设 是定义在R上的函数.（1）可能是奇函数吗？（2）若是偶函数，试研究其单调性.【标准解析】(1)方法一 假设是奇函数,由于定义域为R, =-，,即 整理得 即即+1=0,显然无解. 不可能是奇函数. 方法二 若是R上的奇函数，则f(0)=0,即不可能是奇函数.(2
6、)因为是偶函数，所以=,即整理得 又对任意xR都成立，有得a=1.当a=1时，=,以下讨论其单调性，任取R且, 当 ,为增函数,此时需要，即增区间为0,+),反之(-,0为减区间.当a=-1时，同理可得在（-，0上是增函数，在0，+）上是减函数. 【技巧点拨】解决含指数式的各种问题，关键是熟练运用指数的性质，其中单调性是使用率比较高的知识。要点三 指数函数的图像与应用【例4】若函数y=g(x)的图象与函数f(x)=(x1)2(x1)的图象关于直线y=x对称,则g(x)的表达式是 （ ）【命题立意】函数的图象经常和函数的性质联系在一起，把握函数图象之间的特点和联系。在解题的过程中也常常需要结合指
7、数函数的图象。【标准解析】利用函数的图象关于直线y=x对称的实质是求函数的反函数【误区警示】此题还要特别注意反函数的定义域，不要忘记书写，也不要出现表达错误的情况。【答案】因为，所以在x1时，f(x)的反函数为（x0），故答案为g(x)=1(x0)【变式训练】下图是指数函数（1）y=ax，（2）y=bx，（3）y=cx，（4）y=dx的图象，则a、b、c、d与1的大小关系是（ ）A.ab1cdB.ba1dcC.1abcdD.ab1dc【标准解析】可先分两类，即（3）（4）的底数一定大于1，（1）（2）的底数小于1，然后再从（3）（4）中比较c、d的大小，从（1）（2）中比较a、b的大小.【技巧
8、点拨】 x=1称为指数函数特征线。熟练运用特征线比较底数大小带来极大方便。【答案】解法一：当指数函数底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近于y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近于x轴.得ba1dc.解法二：令x=1，由图知c1d1a1b1，ba1dc.答案：B【例5】已知函数 (1)作出图象； (2)由图象指出其单调区间； (3)由图象指出当x取什么值时函数有最值.【标准解析】第(1)由=-恒成立可解得a的值; 第(2)问按定义法判断单调性的步骤进行求解即可.【误区警示】在作函数图象时,首先要研究函数与某一基本函数的关系.然后通过平移或伸缩来完成. 【答
9、案】 （1）由已知可得其图象由两部分组成：一部分是亦由向左平移1个单位得到另一部分是由向左平移1个单位得到图象如图：(2)由图象知函数在（-，-1上是增函数，在（-1，+）上是减函数.(3)由图象知当x=-1时,函数有最大值1,无最小值.【变式训练】若直线y=2a与函数y=|-1| (a0,且a1)的图象有两个公共点,则a的取值范围是_.解析当a1时，如图,只有一个公共点，不符合题意. 当0a1时，如图,由图象知02a0且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数,记作_,其中_a_叫做对数的底数,_N_ 叫做真数. （2）几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为a(a0且a1)_常用对数底数为_
10、10_自然对数底数为_e_2.对数的性质与运算法则（1）对数的性质 =_N_;=_N_(a0且a1). （2）对数的重要公式 换底公式: (a,b均大于零且不等 于1)； 推广=_ _. (3)对数的运算法则 如果a0且a1,M0,N0,那么 =_; =_;= _(nR); 3.对数函数的图象与性质：a10a1图像性质（1）定义域：（0，+）（2）值域：R（3）过点（1，0），即x1时，y0(4)当x1时,_ y0_当0x1时,_ y1时,_ y0_当0x0_5)在（0，+）上是增函数（4）在（0，+）上是减函数4.反函数 指数函数y=ax与对数函数互为反函数，它们的图象关于直线_y=x_对称
11、. 【要点解读】要点一 对数运算【例1】计算（1）；（2）；（3）【标准解析】这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧。【误区警示】公式和法则运用不熟练导致错误较多，要注意一些简单的技巧和方法。【答案】（1）原式 ；（2）原式 ；（3）分子=；分母=；原式=。【变式训练】设、为正数，且满足 若，求、的值。【标准解析】由得，由得由得由得，代入得， 由、解得，从而。【技巧点拨】对于含对数因式的证明和求值问题，还是以对数运算法则为主，将代数式化简到最见形式再来处理即可。【答案
12、】，要点二 对数方程【例2】方程的解为 。【标准解析】关于含对数式等式的形式，解题思路是转化为不含对数因式的普通等式或方程的形式，再来求解。【误区警示】变形不是等价变形，要注意严重解的合理性。【答案】原方程变形为，即，得。且有。从而结果为。【变式训练】方程lgx+lg（x+3）=1的解x=_.【标准解析】由lgx+lg（x+3）=1，得x（x+3）=10，x2+3x10=0.x=5或x=2.x0，x=2.【技巧点拨】利用对数的运算法则进行化简和计算时，在去掉对数符号时，特别要注意“真数必须大于零”这个条件。【答案】2要点三 对数函数的概念与性质【例3】若函数的图象过两点(-1，0)和(0，1)，则（ ）Aa=2,b=2 Ba=,b=2 Ca=2,b=1 Da=,b= 【标准解析】利用函数和图象的性质解题。【误区警示】没有讨论对数函数的底数a的范围。【答案】依题意可知且，因此-1+b=1且a=b,解得a=b=2.选择A【变式训练】已知函数y=log2x的反函数是y=f1(x)，则函数y= f1(1x)的图象是（ ）【标准解析】可以利用图象的特点和函数的性质，如图象上的特殊点，对应函数的坐标。另外也可以直接求出，画出图象进行比较。【技巧点拨】要正确识别函数图像，一是熟悉各种基本函数的图像，二是把握图像的性质，根据图像
