《高等数学_同济第六版_[上册]课后习题全解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学_同济第六版_[上册]课后习题全解（543页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、word格式习题 1-11. 设 A=(-, -5)(5, +), B=-10, 3), 写出 AB, AB, AB 及 A(AB)的表达式.解 AB=(-, 3)(5, +), AB=-10, -5), AB=(-, -10)(5, +),A(AB)=-10, -5).2. 设A、B是任意两个集合, 证明对偶律: (AB)C=AC B C .证明 因为x(AB)CxAB xA或xB xAC或xB C xAC B C,所以(AB)C=AC B C .3. 设映射 f : X Y, AX, BX . 证明(1)f(AB)=f(A)f(B);(2)f(AB)f(A)f(B).证明 因为yf(AB)
2、$xAB, 使 f(x)=y(因为 xA 或 xB) yf(A)或 yf(B) y f(A)f(B),所以f(AB)=f(A)f(B). (2)因为yf(AB) $xAB, 使 f(x)=y(因为 xA 且 xB) yf(A)且 yf(B) y f(A)f(B),所以f(AB)f(A)f(B). .4. 设映射f : XY, 若存在一个映射g: YX, 使 g o f = I X ,f o g = IY , 其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射, 即对于每一个xX, 有IX x=x; 对于每一个yY, 有IY y=y. 证明: f是双射, 且g 是f的逆映射: g=f -1.证明 因为对于任
3、意的yY, 有x=g(y)X, 且f(x)=fg(y)=I y y=y, 即Y中任意元素都是X中某 元素的像, 所以f为X到Y的满射.又因为对于任意的x1x2, 必有f(x1)f(x2), 否则若f(x1)=f(x2) g f(x1)=gf(x2) x1=x2.因此 f 既是单射, 又是满射, 即 f 是双射.对于映射g: YX, 因为对每个yY, 有g(y)=xX, 且满足f(x)=fg(y)=I y y=y, 按逆映射的 定义, g是f的逆映射.5. 设映射 f : XY, AX . 证明: (1)f -1(f(A)A;(2)当f是单射时, 有f -1(f(A)=A .证明 (1)因为xA
4、 f(x)=yf(A) f -1(y)=xf -1(f(A),所以f -1(f(A)A. (2)由(1)知f -1(f(A)A.另一方面, 对于任意的xf -1(f(A)存在yf(A), 使f -1(y)=xf(x)=y . 因为yf(A)且f是单 射, 所以xA. 这就证明了f -1(f(A)A. 因此f -1(f(A)=A .6. 求下列函数的自然定义域:(1) y =3x+ 2 ;解 由 3x+20 得 x - 2 . 函数的定义域为- 2 , +) .(2) y =331;1- x2解 由 1-x20 得x1. 函数的定义域为(-, -1)(-1, 1)(1, +).(3) y = 1
5、 -x1- x2 ;解 由x0 且 1-x20 得函数的定义域D=-1, 0)(0, 1.(4) y =1;4- x2解 由 4-x20 得 |x|0 得函数的定义域 D=(-1, +).1(10) y =e x .解 由 x0 得函数的定义域 D=(-, 0)(0, +).7. 下列各题中, 函数 f(x)和 g(x)是否相同？为什么？(1)f(x)=lg x2, g(x)=2lg x;(2) f(x)=x, g(x)=x2 ;(3) f (x) = 3 x4 - x3 , g(x) = x3 x -1 .(4)f(x)=1, g(x)=sec2x-tan2x .解 (1)不同. 因为定义域
6、不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x0 时, g(x)=-x. (3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同. (4)不同. 因为定义域不同.|sin x|8. 设 j(x) =| x|0, 1-x 20. 因为当x1x2时,y1 - y2 =x11- x1- x21- x2=x1 - x20 ,(1- x1 )(1- x2 )所以函数 y =x1- x在区间(-, 1)内是单调增加的.(2)对于任意的x1, x2(0, +), 当x1x2时, 有y1 - y2=(x1+ln x1 ) -(x2+ln x2) =(x1- x2x) +ln 1 0 ,x2所以函数 y=x+ln x 在区间(
7、0, +)内是单调增加的.10. 设 f(x)为定义在(-l, l)内的奇函数, 若 f(x)在(0, l)内单调增加, 证明 f(x)在(-l, 0)内也单 调增加.证明 对于x1, x2(-l, 0)且x1-x2.因为 f(x)在(0, l)内单调增加且为奇函数, 所以f(-x2)f(-x1), - f(x2)f(x1),这就证明了对于x1, x2(-l, 0), 有f(x1) f(x2), 所以f(x)在(-l, 0)内也单调增加.11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l, l)上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数; (2)两个偶函数的乘积是偶函
8、数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明 (1)设 F(x)=f(x)+g(x). 如果 f(x)和 g(x)都是偶函数, 则F(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=F(x),所以 F(x)为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数. 如果 f(x)和 g(x)都是奇函数, 则F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-F(x),所以 F(x)为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.(2)设 F(x)=f(x)g(x). 如果 f(x)和 g(x)都是偶函数, 则F(-x)=f(-x)g(-x)=f(x)g(x)=F(x),所以 F(x)为偶
9、函数, 即两个偶函数的积是偶函数. 如果 f(x)和 g(x)都是奇函数, 则F(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)-g(x)=f(x)g(x)=F(x),所以 F(x)为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数. 如果 f(x)是偶函数, 而 g(x)是奇函数, 则F(-x)=f(-x)g(-x)=f(x)-g(x)=-f(x)g(x)=-F(x),所以 F(x)为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y=x2(1-x2); (2)y=3x2-x3;(3) y = 1- x2 ;1+ x2(4)y=x(x-1
10、)(x+1); (5)y=sin x-cos x+1;(6) y = ax +a-x .2解 (1)因为f(-x)=(-x)21-(-x)2=x2(1-x2)=f(x), 所以f(x)是偶函数. (2)由f(-x)=3(-x)2-(-x)3=3x2+x3可见f(x)既非奇函数又非偶函数.(3)因为 f (-x) = 1-(-x)2 = 1- x2 = f (x) , 所以 f(x)是偶函数.1+(- x)21+ x2(4)因为 f(-x)=(-x)(-x-1)(-x+1)=-x(x+1)(x-1)=-f(x), 所以 f(x)是奇函数.(5)由 f(-x)=sin(-x)-cos(-x)+1=
11、-sin x-cos x+1 可见 f(x)既非奇函数又非偶函数.(6)因为 f (-x) = a(-x)+ a-(-x)2= -x + axa2= f (x) , 所以 f(x)是偶函数.13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期:(1)y=cos(x-2); (2)y=cos 4x; (3)y=1+sin px; (4)y=x cos x; (5)y=sin2 x.解 (1)是周期函数, 周期为 l=2p.(2)是周期函数, 周期为 l = p .2(3)是周期函数, 周期为 l=2. (4)不是周期函数. (5)是周期函数, 周期为 l=p. 14. 求下列函数的反函
12、数:(1) y = 3 x+1 ;(2) y = 1- x ;1+ x(3) y = ax +b (ad-bc0);cx+ d(4) y=2sin3x; (5) y=1+ln(x+2);x(6) y =2.2 x +1解 (1)由 y = 3 x+1 得x=y3-1, 所以 y = 3 x+1 的反函数为y=x3-1.(2)由 y = 1- x 得 x =1- y , 所以 y = 1- x 的反函数为 y = 1- x .1+ x1+ y1+ x1+ x(3)由 y = ax +b 得 x = -dy +b , 所以 y = ax +b 的反函数为 y = -dx +b .cx+ dcy - acx+ dcx- a(4)由 y=2sin 3x 得 x
