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1、 习题习题 1 1.1 解：由题意95. 01 uxp可得： 95. 0 n n ux p 而1 , 0 N uxn 这可通过查 N(0,1)分布表，975. 0)95. 01 ( 2 1 95. 0 n n ux p 那么96. 1 n 22 96. 1n 1.2 解：(1)至 800 小时，没有一个元件失效，则说明所有元件的寿命800 小时。 2 . 10015. 0 800 0015. 0 0 800 |e0015. 0800 eedxxp xx 那么有 6 个元件，则所求的概率 2 . 7 6 2 . 1 eep (2)至 300 小时，所有元件失效，则说明所有元件的寿命3000 小时
2、 5 . 43000 0 0015. 0 3000 0 0015. 0 0 1|e0015. 03000 eedxxp x 那么有 6 个元件，则所求的概率 6 5 . 4 1 ep 1.3 解: (1) 123 ( ,)|0,1,2,1,2,3 k x x xxk 因为( ) i XP ,所以 112233 ,P Xx Xx Xx 112233 P Xx P Xx P Xx 123 3 123 ! xxx e x xx 其中,0,1,2,1,2,3 k xk (2) 123 ( ,)|0;1,2,3 k x x xxk 因为( ) i XExp ,其概率密度为 ,0 ( ) 0,0 x ex
3、 f x x 所以, 123 (,)3 123 ( ,) x xx f x x xe,其中0;1,2,3 k xk (3) 123 ( ,)|;1,2,3 k x x xaxb k 因为( , ) i XU a b,其概率密度为 1 , ( ) 0,| axb f xba xa xb 所以, 123 3 1 ( ,) () f x x x ba ,其中;1,2,3 k axb k (4) 123 ( ,)|;1,2,3 k x x xxk 因为( ,1) i XN ,其概率密度为 ( 2 1 ( ),() 2 x f xex 所以, 3 1 1 ( 2 123 3 2 1 ( ,) (2 )
4、k k x f x x xe ,其中;1,2,3 k xk 1.4 解：由题意可得： ，其它0 0 , 2 1 )( i 2 ln i i 2 2 i xe x xf ux 则 n i xfxxf 1 ini )(),.( ，其它0 ,.1,0 , 1 n)2( )(ln 2 1 2 n 1 2 i 2 ix x e i n i i ux n i 1.5 证: 令 2 1 ( )() n i i F aXa 则 1 ( )2() n i i F aXa , ( ) 20F an 令 1 ( )2()0 n i i F aXa ,则可解得 1 1 n i i aXX n 由于这是唯一解,又因为
5、( ) 20F an, 因此,当 1 1 n i i aXX n 时,( )F a取得最小值 1.6 证: (1)等式左边 11 ( nn ii ii XXXX 111 (2 ()()( nnn ii iii XXXXXX 2 1 () n i i XXn X 左边=右边,所以得证. (2) 等式左边 22 111 (2 nnn iii iii XXXXXnX 222 1 2 n i i Xn Xn X 22 1 n i i XnX 左边=右边,所以得证. 1.7 证：(1) n i in x n x 1 1 1 1 1 1 1 n i in x n x 那么)( 1 1 _ 1 _ nnn
6、xx n x n i in n i i x nn x n x n 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 n n i i x n x n n i i x n 1 1 1 _ 1n x 原命题得证 (2) 2 1 2 2 1 n n i in xx n s 2 1 1 1 2 2 1 1 1 n n i in xx n s 那么 2 1 2 )( 1 1 1 nnn xx n s n n = n i i x n 1 2 1 1 - 2 1 n x n n + 2 1 2 ) 1( n x n n - nn xx n n 1 2 ) 1( 2 + 2 2 ) 1( n x n n
7、 = n i i x n 1 2 1 1 - 2 2 2 ) 1( n x n n + 2 1 1 1 n x n - 2 1 2 ) 1( 1 n x n - nn xx n n 1 2 ) 1( 2 = 1 1 2 1 1 n i i x n -( 1 1 1 n x n + n x n n 1 ) 2 由(1)可得： 1 1 1 n x n n x n n 1 = 1n x 则上式 n i i x n 1 2 1 1 2 1 n x 2 1n s 原命题得证 1.10 解: 因为 2222 111 111 ,() nnn iii iii XX SXXXX nnn 所以 (1) 二项分布(
8、 , )B m p 1 1 ()()() n ii i E XEXE Xmp n 2 11 11(1) ()()() nn ii ii mpp D XDXDX nnn 2222 11 111 ()() )()()(1) nn ii ii n E SEXXEXE Xmpp nnn (2) 泊松分布( )P ()E X , ()D X n , 2 1 () n E S n (3) 均匀分布( , )U a b () 2 ba E X , 2 ) () 12 ba D X n , 22 1 ()() 12 n E Sba n (4) 指数分布( )Exp 1 ()E X , 1 ()D X n ,
9、2 1 () n E S n (5) 正态分布 2 ( ,)N ()E X , 2 1 ()D X n , 22 1 () n E S n 1.11 解：(1)是统计量 (2)不是统计量，因为未知 (3)统计量 (4)统计量 (5)统计量，顺序统计量 (6)统计量 (7)统计量 (8)不是统计量，因为未知 1.14. 解: 因为 i X独立同分布,并且( , i Xa, 1 1 n i i XX n 所以 1 (, n i i Xna ; 令 1 n i i YX ,则 1 XY n ,由求解随机变量函数的概率密度公式可得 1 ( )(),0 ) na nanx X fxnxen x na 1
10、.15 解：(1) ）（m x的概率密度为： )()(1)( )!()!1( ! )( 1 )( xfxFxF mnm n xf mnm m 又 F(x)= 2 x且 f(x)=2x，0x1 则有xxx mnm n xf mnm m 2)1 ( )!()!1( ! )( 2)1(2 )( ，0x1 (2) ）（1 x与 ）（n x的联合概率密度为： )()()(1)()( ) 11( ! ),( 011 )(1( yfxfyFxFyF n n yxf n n yxxynn n 22)(1( 222 = 222 )() 1(4 n xyxynn 0xy1 对于其他 x,y，有0),( )(1(
11、yxf n 1.19 证：现在要求 Y=)X1/(X m n m n 的概率密度。 令 g(x)= )1/(x m n x m n 可得当 0y1 有 g(x)= 2 )1 ( 1 x m n 0 求 g(x)的反函数 h(y) 得 h(y)=) 1 1 1( xn m 又 h(y)= 2 )1 ( 1 xn m 这样可得 Y 的概率密度： )( )()(yhyhfyf xY (yg(R) = 2 2 1 2 )1 ( 1 ) 1 1 () 1 1 1 )( ) 2 , 2 ( 1 xn m xxm n mn B mnn = ) 2 , 2 ( )1 ( 1 2 1 2 mn B xx mn (0y1) 对于其他的 Y 有 0)(yfY 原命题得证 1.20 证明: 令 Y X Z n ,其中(0,1)YN, 2 ( )Zn,则 ( )Xt n 因为 2 2 Y X Z n ,而 22 (1)Y, 2 ( )Zn 所以 2 2 (1, ) Y XFn Z n 1.21 解：(1)由题意可得：=8,4 2 ,n=25 对于2 . 88 . 7 x 5 . 0
