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1、. . . . .初中数学知识点梳理（沪教市北综合版）导 言初中数学知识点梳理沪教市北综合版为编者依据沪教版初中数学和市北初级中学资优生培训教材初中数学的内容综合编撰而成，既吸取了沪教版初中数学侧重基础、知识全面的特点，也吸取了市北版初中数学拓展广度、延伸深度的特点，实现了两者内容的有机融合，保证了初中数学知识点梳理的基础性、系统性、全面性、拓展性和概括性，能为初中数学的学习提供较好的知识帮助。文中带“（）”部分为市北版的加深内容，练习带“（）”部分也为市北版内容。 第一章 数的整除 学习参考一、 知识结构二、 重点和难点重点：会正确地分解素因数，并会求两个正整数的最大公因数和最小公倍数。难点
2、：求两个正整数的最小公倍数。第一节 整数和整除1.1 整数和整除的意义 正整数：用来表示物体个数的数1，2，3，4，5叫做正整数。 负整数：在正整数1，2，3，4，5之前添上“-”，得到的数-1，-2，-3，-4，-5叫做负整数。 零既不是正整数，也不是负整数。 自然数：零和正整数统称为自然数。 整数：正整数、零、负整数统称为整数。正整数 自然数整数 零负整数 整除：设a、b是两个整数，且ba，若存在整数q，使abq，则称b整除a，或a被b整除，记作ba。（）或者说，如果整数a除以整数b(b 0）所得的商是整数，那么叫做a被b整除，或b能整除a 。整数a除以整数b整数a被整数b整除 a b整数
3、b整除整数a例1：下列哪一个算式的被除数能被除数整除？287 103 54解：因为2874 ， 10331 ， 541.25 ，所以被除数能被除数整除的是287。 注意整除的条件： 除数、被除数都是整数； 被除数除以除数，商是整数而且余数为零。 整除的主要性质：（） cb、ba，则ca； 若ma、mb，则m（ab）; 若ma、mb，则m（ab）; 若ma，则mab（b为自然数）; n个连续正整数的积能被n！整除。（n的阶乘：n！123n）（）例如：a为整数时，2a(a+1) 6a(a+1)(a+2)24a(a+1)(a+2)(a+3)（）解：由于4个连续的整数中必有 1个数为4的倍数，还有另一
4、个数为2的倍数，有1个是3的倍数，因为a、a+1、a+2、a+3为4个连续的整数，所以，a、a+1、a+2、a+3中必有一个数为4的倍数，另有一个数为2的倍数，有一个数为3的倍数，即为234=24的倍数。4d 整除与除尽的区别：整除：它只在整数氛围内讨论，被除数、除数、商都是整数，余数为零；除尽：未限制数域范围，只是除完后没有余数。练习 是否有最小的自然数？ 是否有最大的整数？ 把下列各数分别填入相应的括号中。 22 60，12，3.14，0，1，1，0.618， 7正整数（ ），负整数（ ），自然数（ ），整 数（ ）。 下列各式中，哪些式子表示整除？1243 （ ） 200.540 （ ）
5、 3575 （ ） 45451 （ ） 4.21.43 （ ） 787.810 （ ） 2.61.32，能不能说2.6能被1.3整除？ 如果a表示一个自然数，且a2，写出： 紧挨着它，在它后面的两个连续自然数_; 紧挨着它，在它前面的两个连续自然数_。 下列算式中，哪些是除尽？哪些是整除？4276 （ ）350.6 （ ）40.220 （ ）5312 （ ）8.132.7 （ ）230.66666 （ ）1.2因数和倍数 倍数和因素：如果数a能被数b（b 0）整除，a就叫做b的倍数(mutiple)，b就叫做a的因数(factor)（或a的约数）。倍数和因数是相互依存的。 因素的特征：一个数的
6、因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。个 数最 小最 大因 数有 限1它本身倍 数无 限它本身没 有 一个数的因素的求法： 列乘法算式或直接用口诀找，即这个数是哪两个数的乘积，注意要找出所有的可能性； 列除法算式找，即这个数所有能整除的整数。例：求18的因素。 乘积是18的算式有：118=18，29=18，36=18，所以，18的因素有1，2，3，6，9，18。 18能整除的算式有：181=18，182=9，183=6，所以，18的因素有1，2，3，6，9，18。 一个数的倍数的求法：这个数和任何非零自然数
7、之积都是该数的倍数，所以，求一个数的倍数的方法可以列乘法算式找。 任何正整数都是1的倍数。练习填空: 455= 9，( ) 能被( )整除，( )能整除( )；( )是( )的因数，( )是( )的倍数。 一个正整数a的因数的个数是( )，其中最小的一个是( )，最大的一个是( )；正整数a的倍数的个数是( )，其中最小的一个是( )。 一个数的最小倍数是9，那么这个数的最大因数是( )，最小因数是( )。 有一个数，它既是6的倍数，又是6的因数，这个数是( )。1.3数的整除性常见数的倍数特征： 2的倍数特征：个位是偶数，即个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除。 3的倍数特征：一个数
8、的各个数位上的数字之和能被3整除，这个数就能被3整除。 5的倍数特征：个位上是0或5的数，都能被5整除。 9的倍数特征：一个数的各个数位上的数字之和能被9整除，这个数就能被9整除。 11的倍数特征：一个数的奇位上的数字之和与偶位上的数字之和的差相等或是11的倍数，这个数就能被11整除。 7、11、13的倍数特征：一个数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差是7、11、13的倍数，这个数就能被7、11、13整除。 4或25的倍数特征：一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。 8或125的倍数特征：一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整
9、除。例如：1168、4600、5000、12344都能被8整除，1125、13375、5000都能被125整除。 能同时被2,5整除的数的特征: 个位是0。 能同时被2，3，5整除的数的特征: 个位是0，而且各个位上的数字的和能被3整除。 能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。例1：一年级72名学生课间加餐共交52.7元，处的数字辨认不清，问每个学生交了多少钱？（）解：由于7289，因此，527要都能被8、9整除，527被8整除，即27被8整除，从而得出个位数字是2。527被9整除，即：527279被9整除，从而可得首位是2。所以每人交了：252.72723.51(
10、元)。答：每人交了3.51元。例2：要使六位数15ABC6能被36整除，而且所得的商最小，求A、B、C。（）解： 因为3649 ，所以C只可能是1，3，5，7，9。要使商最小，首先A应尽可能小，于是取A0，又156ABC93BC能被9整除，即BC3是9的倍数，C只能是1，3，5，7，9，而B应尽可能小，因此B取1，C取5。答：A、B、C分别是0、1、5。练习1.1（）1、有15位同学参加学校组织的夏令营活动，老师准备把他们平均分成若干小组，有几种分法？有可能把他们平均分成4个小组吗？为什么？2、一班同学分成四个小组糊纸盒，每组糊的个数同样多，小马虎统计时说：全班共糊纸盒342个。小马虎统计错了
11、吗？为什么？3、不超过100的正整数中，能被25整除的数有哪些？不错过1000的正整数中，能被125整除的数有哪些？1.4奇数与偶数（） 奇数与偶数：能被2整除的数叫做偶数(even number)；不能被2整除的数叫做奇数(odd number)。 0是偶数。 自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。 设n是整数，则：2n是偶数，2n-1或2n+1是奇数；设n是正整数，则：2n是正偶数，2n-1是正奇数。 奇数偶数的运算性质： 奇数奇数偶数，奇数偶数奇数，偶数偶数偶数； 奇数奇数奇数，奇数偶数偶数，偶数偶数偶数。 奇数的正整数次幂是奇数，偶数的正整数次幂是偶数。 两个连续整数的和是奇数，积是偶数。 推广结论： 奇数个奇数之和是奇数，偶数个奇数之和是偶数，任意有限个偶数之和是偶数
