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1、- - . - 2008年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设函数则的零点个数(A)0(B)1 (C)2(D)3(2)函数在点处的梯度等于(A)(B)- (C)(D)(3)在下列微分方程中,以(为任意常数)为通解的是(A)(B)(C)(D)(4)设函数在内单调有界,为数列,下列命题正确的是(A)若收敛,则收敛 (B)若单调,则收敛(C)若收敛,则收敛(D)若单调,则收敛(5)设为阶非零矩阵,为阶单位矩阵. 若,则 (A)不可逆,不可逆(B)不可逆,可逆
2、 (C)可逆,可逆 (D)可逆,不可逆(6)设为3阶实对称矩阵,如果二次曲面方程在正交变换下的标准方程的图形如图,则的正特征值个数为(A)0(B)1(C)2(D)3(7)设随机变量独立同分布且分布函数为,则分布函数为(A)(B) (C) (D) (8)设随机变量,且相关系数,则(A)(B)(C)(D)二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)(9)微分方程满足条件的解是. (10)曲线在点处的切线方程为.(11)已知幂级数在处收敛,在处发散,则幂级数的收敛域为.(12)设曲面是的上侧,则.(13)设为2阶矩阵,为线性无关的2维列向量,则的非零特征值为.(1
3、4)设随机变量服从参数为1的泊松分布,则.三、解答题(1523小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分10分)求极限.(16)(本题满分10分) 计算曲线积分,其中是曲线上从点到点的一段.(17)(本题满分10分)已知曲线,求曲线距离面最远的点和最近的点.(18)(本题满分10分)设是连续函数,(1)利用定义证明函数可导,且.(2)当是以2为周期的周期函数时,证明函数也是以2为周期的周期函数. (19)(本题满分10分),用余弦级数展开,并求的和.(20)(本题满分11分),为的转置,为的转置.证明:(1).(2)若线性相关,
4、则.(21)(本题满分11分)设矩阵,现矩阵满足方程,其中,(1)求证.(2)为何值,方程组有唯一解,求.(3)为何值,方程组有无穷多解,求通解.(22)(本题满分11分)设随机变量与相互独立,的概率分布为,的概率密度为,记,(1)求.(2)求的概率密度.(23)(本题满分11分) 设是总体为的简单随机样本.记, (1)证明是的无偏估计量.(2)当时 ,求.2009年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)当时,与等价无穷小,则(A) (B)(C)(D)(2
5、)如图,正方形被其对角线划分为四个区域,则(A) (B)(C) (D) (3)设函数在区间上的图形为1-2023-1O则函数的图形为(A)0231-2-11(B) 0231-2-11(C)0231-11(D)0231-2-11(4)设有两个数列,若,则(A)当收敛时,收敛.(B)当发散时,发散. (C)当收敛时,收敛.(D)当发散时,发散.(5)设是3维向量空间的一组基,则由基到基的过渡矩阵为(A)(B) (C)(D)(6)设均为2阶矩阵,分别为的伴随矩阵,若,则分块矩阵的伴随矩阵为(A)(B) (C)(D)(7)设随机变量的分布函数为,其中为标准正态分布函数,则(A)0(B)0.3 (C)0
6、.7(D)1 (8)设随机变量与相互独立,且服从标准正态分布,的概率分布为,记为随机变量的分布函数,则函数的间断点个数为(A)0(B)1 (C)2(D)3二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)(9)设函数具有二阶连续偏导数,则 .(10)若二阶常系数线性齐次微分方程的通解为,则非齐次方程满足条件的解为 .(11)已知曲线,则 .(12)设,则 .(13)若3维列向量满足,其中为的转置,则矩阵的非零特征值为 .(14)设为来自二项分布总体的简单随机样本,和分别为样本均值和样本方差.若为的无偏估计量,则 .三、解答题(1523小题,共94分.请将解答写在答
7、题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分9分)求二元函数的极值.(16)(本题满分9分)设为曲线与所围成区域的面积,记,求与的值.(17)(本题满分11分)椭球面是椭圆绕轴旋转而成,圆锥面是过点且与椭圆相切的直线绕轴旋转而成.(1)求及的方程.(2)求与之间的立体体积.(18)(本题满分11分)(1)证明拉格朗日中值定理:若函数在上连续,在可导,则存在,使得.(2)证明:若函数在处连续,在内可导,且,则存在,且.(19)(本题满分10分)计算曲面积分,其中是曲面的外侧.(20)(本题满分11分)设,(1)求满足的.的所有向量,.(2)对(1)中的任意向量,
8、证明无关.(21)(本题满分11分)设二次型.(1)求二次型的矩阵的所有特征值;(2)若二次型的规范形为,求的值.(22)(本题满分11分)袋中有1个红色球,2个黑色球与3个白球,现有回放地从袋中取两次,每次取一球,以分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.(1)求.(2)求二维随机变量概率分布.(23)(本题满分11 分)设总体的概率密度为,其中参数未知,是来自总体的简单随机样本.(1)求参数的矩估计量.(2)求参数的最大似然估计量. 2010年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所
9、选项前的字母填在题后的括号内.)(1)极限=(A)1(B)(C)(D) (2)设函数由方程确定,其中为可微函数,且则=(A)(B)(C)(D) (3)设为正整数,则反常积分的收敛性(A)仅与取值有关(B)仅与取值有关(C)与取值都有关(D)与取值都无关(4)= (A)(B) (C)(D)(5)设为型矩阵为型矩阵,若则(A)秩秩(B)秩秩 (C)秩秩(D)秩秩(6)设为4阶对称矩阵,且若的秩为3,则相似于(A)(B) (C)(D) (7)设随机变量的分布函数 则=(A)0(B)1 (C)(D)(8)设为标准正态分布的概率密度为上均匀分布的概率密度, 为概率密度,则应满足(A)(B) (C)(D)
10、二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)(9)设求= .(10)= .(11)已知曲线的方程为起点是终点是则曲线积分= .(12)设则的形心的竖坐标= .(13)设若由形成的向量空间的维数是2,则= .(14)设随机变量概率分布为则= .三、解答题(1523小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分10分)求微分方程的通解.(16)(本题满分10分)求函数的单调区间与极值.(17)(本题满分10分)(1)比较与的大小,说明理由.(2)记求极限(18)(本题满分10分)求幂级数的收敛域及和函
11、数.(19)(本题满分10分)设为椭球面上的动点,若在点的切平面与面垂直,求点的轨迹并计算曲面积分其中是椭球面位于曲线上方的部分.(20)(本题满分11分)设已知线性方程组存在两个不同的解.(1)求(2)求方程组的通解.(21)(本题满分11分)设二次型在正交变换下的标准形为且的第三列为(1)求(2)证明为正定矩阵,其中为3阶单位矩阵.(22)(本题满分11分)设二维随机变量的概率密度为求常数及条件概率密度(23)(本题满分11 分)设总体的概率分布为123其中未知,以来表示来自总体的简单随机样本(样本容量为)中等于的个数试求常数使为的无偏估计量,并求的方差.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)1、 曲线的拐点是（ ）A （1，0） B （2，0） C （3，0） D （4，0）2、设数列单调减少，且。无界，则幂级数的收敛域为（ ）A B C D 3、 设函数具有二阶连续的导数，且.。则函数在点处取得极小值的一个充分条件是（ ）A B
