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1、 1 第 5 章 线性系统的频域分析 【基本要求】 1正确理解频率特性的基本概念，熟练掌握频率特性的图形表示法。 2熟练掌握典型环节的频率特性及其特征。 3熟练掌握绘制开环系统奈氏图和 Bode 图的方法。 4重点掌握奈奎斯特稳定判据、频域性能指标的意义和计算。 6掌握开环对数频率特性与系统性能之间的关系，正确理解低、中、高三频段的概念。 7掌握由最小相位系统的开环 Bode 图确定系统传递函数的方法。 时域分析法是利用系统微分方程通过拉氏变换来求解系统的动态响应。这种方法较为直 接，也符合人们的习惯。但求解过程比较麻烦，尤其是对于高阶或较为复杂的系统难以求解 和定量分析，而且当系统的某些参数
2、发生变化时，系统性能的变化难以直接判断，很不方便。 根轨迹分析法是以系统传递函数为基础的图解分析法，它根据图形的变化趋势，可得到 系统性能随某一参数变化的全部信息，快速、简洁而实用，特别适用于高阶系统的分析求解。 但对于高频噪声以及难以建立数学模型等问题仍然无能为力。 频域分析法是以系统频率特性为基础的又一图解分析法。它以系统频率特性作为数学模 型，可方便地用于控制系统的分析与设计。频域分析法具有如下特点： (1) 利用系统的开环频率特性图可直接分析闭环系统的性能，而不必求解闭环系统的特 征根。 (2) 频域分析法具有明显的物理意义，可以用实验的方法确定系统的传递函数。对于难 以列写微分方程式
3、的元部件或系统来说，具有重要的实际意义。 (3) 对于二阶系统，频域性能指标和时域性能指标具有一一对应的关系。对高阶系统存 在可以满足工程要求的近似关系，使时域分析法的直接性和频域分析法的直观性有机地结合 起来。 (4) 可以方便地研究系统参数和结构的变化对系统性能指标带来的影响，为系统参数和 结构的调整和设计提供了方便而实用的手段，同时可以设计出能有效抑制噪声的系统。 (5) 在一定条件下，可推广应用于某些非线性系统。频域分析法不仅适用于线性定常系 统分析，而且还适用于传递函数中含有延迟环节和部分非线性系统的分析。 5.1 频率特性 5.1.1 频率特性的基本概念 频率特性又称频率响应，它是
4、系统（或环节）对不同频率正弦信号的响应特性。对于稳 定的线性定常系统，当输入一频率为 的正弦信号时，则系统到达稳态后，其输出是具有和 2 输入同频率的正弦函数，而且其幅值和相位随 的变化而变化。如图 5-1 所示。这一结论， 除了用实验方法验证外，还可以从理论上予以证明。 图 5-1 频率响应示意图 设线性定常系统的传递函数为 12n ( )( )( ) ( ) ( )()()()( ) C sU sU s G s R sspspspV s （5-1） 式中，-p1、-p2、-pi、-pn为传递函数 G(s)的n个极点，它们可能是实数或共轭复数。 对于稳定的系统，这些极点都位于 s 左半平面，
5、即其实部 Re-pi均为负数。为下面分析简单， 设 G(s)的极点均为相异的实数极点（不影响最后的结论） 。 设系统输入信号为 r ( )sinr tAt，其拉氏变换为 r 22 ( ) A R s s 。则系统的输出为 22 12 ( )( )( ) ( )( ) ( )( )()()() (j )(j ) rr n AAU sU sU s C sR s V sV ssspspspss n i i 1 i jj CBD spss （5-2） 式中 Ci，B，D 均为待定系数。对上式进行拉氏反变换，得系统的输出响应为 i n jj its i 1 ( )e( ee)( )( ) p ttt c
6、 tCBDc tc t （5-3） 式中，第一项 i n ti i 1 ( )e p t c tC 由 G(s)的极点决定，是输出响应的暂态分量；第二项 jj s( ) ee tt c tBD 由输入信号( )R s和系统初始条件决定，是输出响应的稳态分量。对于稳定的 系统，其极点-pi均具有负的实部，当 t时，ct(t)0，其稳态分量为 jj s( ) lim ( )ee tt t c tc tBD （5-4） 式中系数 B 和 D 由下列两式确定 rr 22 j ( )(j )( j ) 2j s AA BG ssG s （5-5） rr 22 j jj 2j s AA DG(s)(s)G
7、() s （5-6） 因 G(j)可表示为 j () (j )( )j ( )( )eGPQA （5-7） 3 其中， 22 ( ) ( )(j )( )( )( )arctan ( ) Q AGPQ P ； 。 由于 G(-j)是 G(j)的共轭复数，即： -j () ( j )(j ) eGG ，将式(5-5)和式(5-6)代入式 (5-4)得，稳态分量为 ()() rc ( )() 2 ( )sin(j )( )sin( ) jtG jjtG j sr ee c tA G j j A AtGAt （5-8） 式中， cr ( )AA A为稳态输出的幅值；( )(j )G 为稳态输出的相位
8、。 从 式(5-8)可以看出： (1) 线性定常系统在正弦信号作用下的稳态输出是与输入同频率的正弦信号，其幅值和 相位均是输入信号频率 的函数。输出与输入的幅值比为 ( )(j )AG，相位差为 ( )(j )G 。 (2) 对于正弦输入，系统稳态的正弦输出与输入一一对应。 (3) 对所有的频率值()，线性系统输出与输入的一一对应关系可用稳态输出与输入 之比值随 变化的曲线来描述，这就是系统的频率特性。 下面以 RC 电路网络为例，说明频率特性的基本概念。 如图 5-2 所示，电路传递函数为 o i ( )1 ( ) ( )1 Us G s U sTs 。其中，TRC为电路时间常数。 图 5-
9、2 RC 电路图 设输入信号为 i( ) sinu tAt，其拉氏变换为 i 22 ( ) A U s s ，则输出的拉氏变换为 o 22 1 ( ) 1 A Us Tss 经拉氏反变换得，电容两端的输出电压为 1 o 22 22 ( )esin(arctan) 1 1 Tt A TA u ttT T T 其稳态响应为 osoc 22 ( )lim( )sin(arctan)( )sin( ) 1 t A utu ttTUt T 其中，稳态响应的幅值和相位分别为 c 22 ( )( )arctan 1 A UT T ； 4 可见，RC 电路在正弦信号作用下，响应到达稳态时，输出信号为与输入信号
10、同频率的 正弦量；其幅值和相位均是输入信号频率的函数，其变化规律由系统的固有参数 RC 决定。 1频率特性的定义及意义 线性定常系统(或环节)在正弦输入信号的作用下，系统到达稳态时，输出与输入的复数 比叫做系统(或环节)的频率特性，记为 G(j)。方框图如图 5-3 所示。 (j )G (j )R(j )C 图 5-3 频率特性方框图 对于一般的系统，其正弦输入的复数形式可表示为 j0 r (j )eRA；其稳态输出对应的复 数形式可表示为 j () c (j )( )eCA ，则其频率特性为 j () j () c j0 r ( )e (j )( )e e A GA A （5-9） 其中，
11、( ) ( )(j ) c r A AG A 称为幅频特性，表征系统稳态输出与输入的幅值之比； ( )(j )G 称为相频特性，表征系统稳态输出与输入的相位之差。 因此频率特性的物理意义在于表征线性系统对于正弦信号幅值和相位的改变情况。显 然，频率特性仅决定于系统的结构、参数，而与其它因素无关。 对于 RC 电路网络，其频率特性可写为 j () 22 11 (j )e 1j 1 G T T （5-10） 比较式（5-10）和 RC 电路传递函数可知，只要将传递函数中的 s 以 j 置换，即可得到 电路的频率特性。即 j 11 1j1 s TTs （5-11） 此结论同样适用于一般系统。即 j
12、(j )( ) s GG s （5-12） 2关于频率特性的几点讨论 (1) 频率特性 G(j)为复数，有如下几种表示形式 幅频相频形式 ：(j )(j )(j )GGG； 极坐标形式（幅相形式） ：(j )( )( )GA ； 指数形式： j () (j )( )eGA ； 实频虚频形式：(j ) ( )j ( )GPQ； 三角函数形式：(j )( )cos ( )jsin ( )GA 式中，( )(j )AG为幅值比，是的函数，称为幅频特性； 5 ( )(j )G 为相位差，是的函数，称为相频特性； P()为 G(j)的实部，是的函数，称为实频特性； Q()为 G(j)的虚部，是的函数，称
13、为虚频特性。 其关系如图 5-4 所示。 )( G(j) P() Q() A() Re Im 0 图 5-4 频率特性的图形表示 (2) 几种数学模型之间的关系 与传递函数、微分方程一样，频率特性也是一种数学模型，它包含了系统和元部件全部 的结构特性和参数。三者之间存在一定的关系，如图 5-5 所示。 图 5-5 三种数学模型之间的关系 (3) 有关传递函数的概念和运算法则对频率特性同样适用。 (4) 频率特性虽然是用系统稳态响应定义的，但可以用来用分析系统全过程的响应特性， 这一点可通过傅里叶变换加以证明。事实上，当从 0 向变化时，(j )G将对不同的作 出反映，这种反映是由系统自身结构和
14、参数决定的，所反映出不同的特性也正好反映了系统 各种性能。由此还可以得到输入信号不限制为正弦信号，也可以是非周期信号，这时频率特 性正是输出信号的傅里叶变换与输入信号的傅里叶变换之比。 (5) 频率特性具有明显的物理意义。由传递函数表示的是系统或环节传递任意信号的性 能，而频率特性则表示系统或环节传递正弦信号的能力，并且具有三要素，即同频率、变幅 值、移相位。因此，对稳定的系统，可以通过实验的方法求出其输出量的各个物理参数。 5.1.2 频率特性的求取 在对系统分析之前，首先应求取系统的频率特性。频率特性可以按定义、解析法和实验 法三种方法来求取。 6 1由定义求取 在已知系统传递函数的情况下，先求出系统正弦信号输入的稳态解，然后再求稳态解的 复数和输入信号的复数之比，即得频率特性。 2解析法 由传递函数直接求取。即以 j取代传递函数
