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1、初高中数学衔接知识点的专题强化训练二次函数习题集及答案【要点回顾】1 二次函数yax2bxc的图像和性质问题1 函数yax2与yx2的图象之间存在怎样的关系？二次函数的最值问题【要点回顾】1二次函数的最值二次函数在自变量取任意实数时的最值情况(当时，函数在处取得最小值，无最大值；当时，函数在处取得最大值，无最小值2二次函数最大值或最小值的求法 第一步确定a的符号，a0有最小值，a0有最大值； 第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值3求二次函数在某一范围内的最值如：在（其中）的最值第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：；第二步：讨论：1若时求最小值或时求最大值，需分三种情况讨
2、论： 对称轴小于即，即对称轴在的左侧； 对称轴，即对称轴在的内部； 对称轴大于即，即对称轴在的右侧。2 若时求最大值或时求最小值，需分两种情况讨论：对称轴，即对称轴在的中点的左侧；对称轴，即对称轴在的中点的右侧；说明：求二次函数在某一范围内的最值，要注意对称轴与自变量的取值范围相应位置，具体情况，参考例4。【例题选讲】例1求下列函数的最大值或最小值 （1）； （2）例2当时，求函数的最大值和最小值例3当时，求函数的取值范围例4当时，求函数的最小值(其中为常数)分析：由于所给的范围随着的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置解：函数的对称轴为画出其草图(1) 当对称轴在所给范围左侧即时
3、：当时，；(2) 当对称轴在所给范围之间即时：当时，；(3) 当对称轴在所给范围右侧即时：当时， 综上所述：例5某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量(件)与每件的销售价(元)满足一次函数(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润与每件销售价之间的函数关系式；(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？【巩固练习】1抛物线，当= _ 时，图象的顶点在轴上；当= _ 时，图象的顶点在轴上；当= _ 时，图象过原点2用一长度为米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 _ 3设，当时，函数的最小值是，最大值是0，
4、求的值4已知函数在上的最大值为4，求的值5求关于的二次函数在上的最大值(为常数)专题五二次函数参考答案例1 解：y3x26x13(x1)24，函数图象的开口向下；对称轴是直线x1；顶点坐标为(1，4)；当x1时，函数y取最大值y4；当x1时，y随着x的增大而增大；当x1时，y随着x的增大而减小；采用描点法画图，选顶点A(1，4)，与x轴交于点B和C，与y轴的交点为D(0，1)，过这五点画出图象（如图25所示）说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确例2 分析：由于每天的利润日销售量y(销售价x120)，日销售量
5、y又是销售价x的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值解：由于y是x的一次函数，于是，设ykx（B），将x130，y70；x150，y50代入方程，有 解得 k1，b200 yx200设每天的利润为z（元），则z(x+200)(x120)x2320x24000(x160)21600，当x160时，z取最大值1600答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元例3 分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a的取值进行讨论 解：（1）当a2时，函数yx2的图象仅仅对应着一个
6、点(2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x2； （2）当2a0时，由图226可知，当x2时，函数取最大值y4；当xa时，函数取最小值ya2；（3）当0a2时，由图226可知，当x2时，函数取最大值y4；当x0时，函数取最小值y0；（4）当a2时，由图226可知，当xa时，函数取最大值ya2；当x0时，函数取最小值y0说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a的所有可能情形进行讨论此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题例4（1）分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件最大值、顶
7、点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a解：二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，顶点的纵坐标为2又顶点在直线yx1上，所以，2x1，x1顶点坐标是（1，2）设该二次函数的解析式为，二次函数的图像经过点（3，1），解得a2二次函数的解析式为，即y2x28x7 说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题（2） 分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x轴的交点坐标，于是可
8、以将函数的表达式设成交点式解法一：二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，可设二次函数为ya(x3) (x1) (a0)，展开，得 yax22ax3a， 顶点的纵坐标为 ，由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2，|4a|2，即a所以，二次函数的表达式为y，或y分析二：由于二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x1，又由顶点到x轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式解法二：二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，对称轴为直线x1又顶点到x轴的距离为2，顶点的
9、纵坐标为2，或2于是可设二次函数为ya(x1)22，或ya(x1)22，由于函数图象过点(1，0)，0a(11)22，或0a(11)22a，或a所以，所求的二次函数为y(x1)22，或y(x1)22说明：上述两种解法分别从与x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题（3）解：设该二次函数为yax2bxc(a0)由函数图象过点(1，22)，(0，8)，(2，8)，可得 解得 a2，b12，c8所以，所求的二次函数为y2x212x8 【巩固练习】1（1）D （2）C （3）D 2（1）yx2x2 （2）yx22x
10、33（1）（2） （3）（4）4当长为6m，宽为3m时，矩形的面积最大5（1）函数f（x）的解析式为 （2）函数y的图像如图所示（3）由函数图像可知，函数y的取值范围是0y2专题六二次函数的最值问题参考答案例1分析：由于函数和的自变量x的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值解：（1）因为二次函数中的二次项系数20，所以抛物线有最低点，即函数有最小值因为=，所以当时，函数有最小值是（2）因为二次函数中的二次项系数-10，所以抛物线有最高点，即函数有最大值因为=，所以当时，函数有最大值例2解：作出函数的图象当时，当时，说明：二次函数在自变量的给
11、定范围内，对应的图象是抛物线上的一段那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量的范围的图象形状各异下面给出一些常见情况：例3解：作出函数在内的图象可以看出：当时，无最大值所以，当时，函数的取值范围是例5解：(1) 由已知得每件商品的销售利润为元，那么件的销售利润为，又(2) 由(1)知对称轴为，位于的范围内，另抛物线开口向下当时，当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元【巩固练习】14 14或2， 2 3 4或5当时，此时；当时，此时问题2 函数ya(xh)2k与yax2的图象之间存在怎样的关系？由
12、上面的结论，我们可以得到研究二次函数yax2bxc(a0)的图象的方法：由于yax2bxca(x2)ca(x2)c， 所以，yax2bxc(a0)的图象可以看作是将函数yax2的图象作左右平移、上下平移得到的，二次函数yax2bxc(a0)具有下列性质：1当a0时，函数yax2bxc图象开口方向 ；顶点坐标为 ，对称轴为直线 ；当 时，y随着x的增大而 ；当 时，y随着x的增大而 ；当 时，函数取最小值 2当a0时，函数yax2bxc图象开口方向 ；顶点坐标为 ，对称轴为直线 ；当 时，y随着x的增大而 ；当 时，y随着x的增大而 ；当 时，函数取最大值 上述二次函数的性质可以分别通过上图直观
13、地表示出来因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题2二次函数的三种表示方式1二次函数的三种表示方式：（1）一般式： ；（2）顶点式： ；（3）交点式： 说明：确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则二次函数的关系式可设如下三种形式：给出三点坐标可利用一般式来求；给出两点，且其中一点为顶点时可利用顶点式来求给出三点，其中两点为与x轴的两个交点.时可利用交点式来求3分段函数一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数【例题选讲】例1 求二次函数y3x26x1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图
