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1、第四节 指数、指数函数 【教材知识精梳理】 1.根式 (1)根式的概念 如果一个实数x满足xn=a(n1,nN*),那么称x为a的n 次实数方根. a的n次实数方根的表示: xn=ax= 式子 叫做根式,其中n叫做根指数,a叫做被开方数 . (当n为奇数且nN*时), _(当n为偶数且nN*时). (2)根式的性质 ( )n=a(nN*). a,a0, -a,a0,m,nN*,且n1); 负分数指数幂: =_= (a0,m,nN*,且n1); 0的正分数指数幂等于_,0的负分数指数幂_. 0无意义 (2)有理数指数幂的运算性质: aras=_(a0,r,sQ); (ar)s=_(a0,r,sQ
2、); (ab)r=_(a0,b0,rQ). ar+s ars arbr 3.指数函数的图象及性质 函数y=ax(a0,且a1) 图象00,且a1) 图象特征在x轴_,过定点_ 当x逐渐增大时, 图象逐渐下降 当x逐渐增大时,图象 逐渐上升 上方(0,1) 函数y=ax(a0,且a1) 性 质 定义域_ 值域_ 单调性在(-,+)上是 单调减函数 在(-,+)上是 单调增函数 函数值 变化 规律 当x=0时,_ 当x0时,_ 当x0时,_ R (0,+) y=1 y1 0y1 00,m,nQ)成立吗?为什么? 提示:成立,因为aman= =am =ama-n=am-n. 2.指数函数的解析式的结
3、构有什么特征? 提示:有三个特征:(1)底数a为大于0且不等于1的常数 .(2)自变量x的位置在指数上,且x的系数为1.(3)ax的 系数是1. 3.对于若干个指数函数y=aix(ai0且 ai1,i=1,2,n)在y轴右侧的图象的上下位置关系 与底数ai的大小有什么关系? 提示:在y轴右侧图象越高其底数ai越大. 4.指数函数的单调性与哪个量有关? 提示:指数函数的单调性与其底数a有关,当a1时,y=ax 在定义域上是增函数,当0a1时,y=ax在定义域上是减 函数. 【教材母题巧变式】 题号1234 源自 P62T3(5)P65例 1(3) P67T5P67T3 1.化简 (x0,y0)得
4、_. 【解析】因为x0,y1,b=1,0c. 答案:abc 3.满足 的实数x的取值范围是_. 【解析】原不等式可化为 因为指数函数f(x)= 在R上是单调减函数, 所以由 可得x- , 即x的取值范围是 答案: 4.若函数y=(a2-1)x在R上为增函数,则实数a的取值范围 是_. 【解析】由y=(a2-1)x在(-,+)上为增函数, 得a2-11,解得a 或a 或a- 考向一 指数幂的化简与求值 夯基练透 【技法点拨】 指数幂的运算规律 (1)有括号的先算括号里的,无括号的先算指数运算. (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数. (3)底数是负数,先确定符号,底数是小数,先化成分数
5、, 底数是带分数的,先化成假分数. (4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表 示,运用指数幂的运算性质来解答. 提醒:运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能 既有分母又含有负指数,形式力求统一. 【基础保分题组】 1.化简: =_. 【解析】原式= 答案: 2.计算: =_. 【解析】原式= 答案:0 3.计算: =_. 【解析】原式= 答案: 【拓展提升高考模拟预测】 4.(2017兰州模拟)化简: =_. 世纪金榜导学号97062033 【解析】原式= 答案:a2 5.(2017长春模拟)化简: =_. 【解析】原式= 答案: 【加固训练】1.若a=(2+ )-1,b=(2
6、- )-1,则 (a+1)-2+(b+1)-2的值是_. 【解析】a=(2+ )-1=2- , b=(2- )-1=2+ , 所以(a+1)-2+(b+1)-2 答案: 2.化简 的值为_. 【解析】由题意可知a0,a1)的图象有两 个公共点,则实数a的取值范围为_. 世纪金榜导学号97062035 【解析】分底数0a1两种情况,分别在同一直角 坐标系中作出两函数的图象,如图: 从图中可以看出,只有当0a1,且02a1, 即0a 时,两函数才有两个交点. 所以实数a的取值范围为 答案: 【加固训练】1.已知实数a,b满足等式2014a=2015b,下 列五个关系式 :0ba;ab0;0ab;b
7、b0. (2)若t=1,则有a=b=0. (3)若0t1,则有ab0. 故可能成立,而不可能成立. 答案:2 2.若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范 围为_. 【解析】画出曲线|y|=2x+1与直线y=b的图象如图所示 . 由图象可得|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b应满足 的条件是b-1,1. 答案:-1,1 考向三 指数函数的性质及其应用 高频考点微课 【考情快递】 命题点命题视角 1.比较指数幂的大 小 主要考查指数幂的运算性质及 指数函数的单调性属低中档题 命题点命题视角 2.解简单指数不等 式 主要考查指数幂的运算性质, 指数函数的单调性及转化与化
8、归思想 3.指数函数性质的 综合应用 以指数型函数为载体,考查指 数函数的两域、单调性、奇偶 性、最值等性质,属中档题 【考题例析】 命题点1:比较指数幂的大小 【微思考】如何利用指数函数的性质比较几个指数幂 的大小? 【微提示】先利用幂的运算性质化成同底数的幂,再构 造指数函数,利用其单调性比较大小. 【典例】(2017太原模拟)设a=40.8,b=80.46,c= 则a,b,c的大小关系为_. 【解题指南】先化成同底数幂,再利用指数函数单调性 比较大小. 【规范解答】因为a=(22)0.8=21.6,b=(23)0.46=21.38, c=(2-1)-1.2=21.2, 函数y=2x在R上
9、是单调增函数,且1.21.381.6, 所以21.221.3821.6,即cc 命题点2:解简单指数不等式 【微思考】如何利用指数函数的性质解简单的指数不 等式? 【微提示】先利用幂的运算性质化成同底的两个幂,再 利用指数函数的性质转化为一般不等式求解. 【典例】(2015江苏高考)不等式 4的解集为 _. 世纪金榜导学号97062036 【解题指南】利用指数函数的单调性将原不等式转化 为一元二次不等式,求解即可. 【规范解答】因为4=22且y=2x在R上是单调增函数,所 以 4可化为x2-x2,解得-1x2. 所以 4的解集是x|-1x2. 答案:x|-10求 值域. (2)根据函数的奇偶性
10、的定义判断. (3)分00,所以 0,解得-1y1, 所以f(x)的值域为y|-1y1. (2)因为f(-x)= =-f(x),且定义域关于原 点对称, 所以f(x)是奇函数. (3)f(x)= 设x1,x2是R上任意两个实数,且x10, 从而ax1+10, ax2+10, ax1-ax20, 所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),f(x)为R上的单调 增函数,当00, 从而ax1+10,ax2+10, ax1-ax20,即f(x1)f(x2),f(x)为R上的单调 减函数. 【技法点拨】 综合应用指数函数性质的常考题型及求解策略 题型求解策略 比较幂值的大小 (1)能化成同底
11、数的先化成同底数幂 再利用单调性比较大小.(2)不能化 成同底数的,一般引入“1”等中间 量比较大小 题型求解策略 解简单指数不等 式 先利用幂的运算性质化为同底数幂, 再利用单调性转化为一般不等式求 解 探究指数型函数 的性质 与研究一般函数的定义域、单调性( 区间)、奇偶性、最值(值域)等性质 的方法一致 【拓展提升高考模拟预测】 1.(2017泰州模拟)设y1=40.7,y2=80.45,y3= 则 y1,y2,y3的大小关系是_.(用不等号按从小到大 顺序填写) 【解析】因为y1=40.7=21.4, y2=80.45=21.35,y3= =21.5, 又函数y=2x在R上为单调增函数,且1.351.41.5, 所以21.3521.421.5,即y2y1y3. 答案:y2y1y3 2.(2017宿迁模拟)设函数f(x)= 若f(a)1,则实数a的取值范围是_. 【解析】当a0时,不等式f(a)1可化为 -71,即 8,即 因为0 -3,此时-3a0; 当a0时,不等式f(a)1可化为 1, 所以0a1.故a的取值范围是(-3
