随机变量及其分布(2)

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1、 第第2 2章章 随机变量及其分布随机变量及其分布 2.1 2.1 随机变量随机变量 在学习随机事件及其概率时,我们了解了 样本空间的概念 1、抛掷一骰子出现点数 2、抛掷一硬币正反面出现情况 3、某城市120电话台一昼夜的呼唤次数 4、一批产品中任取一产品的合格情况 一、随机变量概念的引入 实例1 在一装有红球、白球的袋中任摸一个球, 观察摸出球的颜色. 非数量 可采用下列方法 红色 白色 =红色、白色 将 数量化 即有 X (红色)=1 , X (白色)=0. 这样便将非数量的 =红色，白色 数量化了. 二、随机变量的定义 随机变量随着试验的结果不同而取不同的值, 因此随机变量的取值也有一

2、定的概率规律. (2)随机变量的取值具有一定的概率规律 普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是 定义在样本空间上的 (样本空间的元素不一定是 实数). (1)随机变量与普通的函数不同 实例1 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8, 现该射手射了30次, 则 是一个随机变量.且 X( ) 的所有可能取值为: 实例2 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8, 现该射手不断向目标射击 , 直到击中目标为止,则 是一个随机变量.且 X( ) 的所有可能取值为: 实例3 某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通 过, 如果某人到达该车站的时刻是随机的, 则 是一个随机变量. 能取值为: 且 X( )

3、的所有可 (1)离散型 随机变量所取的可能值是有限多个或 无限可列个, 叫做离散型随机变量. (2)连续型 随机变量所取的可能值可以连续地充 满某个区间,叫做连续型随机变量. 三、随机变量的分类 2.2 2.2 离散型随机变量及其概率分布离散型随机变量及其概率分布 1、定义 一、离散型随机变量及其概率分布 离散型随机变量的分布律也可表示为 说明：离散型随机变量有以下性质 例 离散型随机变量的分布律如下： 试求：(1)常数c的值；(2) 概率 (3)概率 解：(1)根据分布律的性质， 所以， 例 离散型随机变量的分布律如下： 试求：(1)常数c的值；(2) 概率 (3)概率 解：(2) (3)

4、解 练 贝努利试验： 如果随机试验E只有两个可能结果 与 ，就 称该试验为贝努利试验 新生儿性别登记； 抛掷硬币正面出现情况； 明天会不会下雨； 参加英语等级考试结果； 射手对目标进行射击； 参加总统竞选结果； 二、常用离散分布 例 我国新生儿的性别登记情况. 随机变量 X 服从 (01) 分布. 其分布律为 设随机变量 X 只可能取0与1两个值 , 它的分 布律为 则称 X 服从 (01) 分布或两点分布. 1.两点分布 两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有 两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是 女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点 分布. 说明 n重贝努利试验（贝努

5、利概型）： 将贝努利试验独立重复进行n次，则称这一串重复 的独立试验为n重贝努利试验或简称贝努利概型. 若在一次贝努利试验中，关心事件A是否发生.那 么在n重贝努利试验中，则会关心事件A的 发生次数 发生k次的情形有多少种？发生k次的概率？ 贝努利定理设在一次试验中，事件A发生的概率 为p(0p10，p0.1时，可以用泊松 分布代替二项分布。 4.二项分布的泊松近似 例 有一繁忙的汽车站，有大量汽车通过，设每辆 车在一天的某段时间内出事故的概率为0.001.在某 天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故车辆数 不小于2的概率是多少？ 设出事故的车辆数为X，则它服从参数为n=1000, p=0

6、.001的二项分布，其分布律为： 此题中，交通事故是稀有事件，用泊松分布（参 数 ）近似代替。 与二项分布结果0.264241087 相比，模拟效果较好. 2.3 2.3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数 注 (1) 分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值 的概率情况. 一、随机变量的分布函数 求引例的分布函数,并画图 引例:设离散型随机变量X的分布律为: 二、离散型随机变量的分布函数 解: 分布函数的性质 解 例 分布函数 分布律 离散型随机变量分布律与分布函数的关系 例 设X的分布函数如下，求X的概率分布. 解 X的分布函数为： 2.4 2.4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变

7、量及其概率密度 例 某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通过, 如 果某人到达该车站的时刻是随机的, 则 是一个随机变量. 实际上“某人等到2分59秒”的这种随机事件几乎不 可能发生，研究0，5中一个点的概率无意义，通 常关注取值落在一个区间上的概率。 一、连续型随机变量及其概率密度 且 X( ) 的所有可能取值为 146 区间号区间人数频率 1(145, 161130.1547 2(161, 165100.1190 3(165169150.1786 4(169173180.2144 5(173177150.1786 6(177185130.1547 频率分布表 x 身高 y 频率密度 145

8、161 165 169 173177 185 频率=组距频率密度 即频率=相应长方形的面积. 组距 16 4 4 4 4 8 频率/组距 0.0097 0.0296 0.0447 0.0536 0.0447 0.0194 若身高数据无限增多，并在数据分组时使得组数 无限增多，且组距无限缩小，那么频率密度直方图的 顶边缩小乃至形成一条光滑的曲线。 我们称此曲线为概率密度曲线 x 身高 y 频率密度 145161 165 169 173177 185 y 频率密度 x 身高 a b 频率=长方形的面积 X落在(a, b概率=曲边梯形的面积 1.概率密度函数定义 1 2.概率密度函数的性质 注意 对

9、于任意可能值 a ,连续型随机变量取 a 的概率等于零.即 连续型随机变量取值落在某一 区间的概率与区间的开闭无关 例 解 解 3.连续型随机变量的分布函数 解: 1. 均匀分布 常见连续型随机变量的分布 解由题意,R 的概率密度为 故有 例 设电阻值 R 是一个随机变量，均匀分布在 900 1100 求 R 的概率密度及 R 落在 950 1050 的概率 练：某公共汽车站从上午6时起，每15分钟来 一辆车，即6:00,6:15,6:30,6:45等时刻有汽车进 站。如某乘客到达此站的时间是6:00到6:30之 间均匀分布随机变量，试求该乘客等待时间少 于5分钟的概率。 2. 指数分布 指数

10、分布在实际应用中经常碰到，在排队 论及可靠性理论中指数分布常用来表示机器的 维修时间，寻呼台收到服务到达的时间间隔， 元器件的使用寿命生物的寿命等。 应用与背景 例：修理某种机械所需要的时间X小时是一个 连续型随机变量，它服从参数为 的指数分 布，任取1台待修机械，求修理这台机械需要时 间超过2小时的概率。 解：连续型随机变量X的概率密度为： 任取1台待修机械，求修理这台机械需要时间超 过2小时的事件可用 表示 练：到某服务单位办事总要排队等待。设等待 时间T是服从指数分布的随机变量，概率密度 函数为 某人到此处办事，等待时间若超过15min，他就 愤然离去。设此人一个月去该处10次，求（1）

11、 正好有两次愤然离去的概率（2）至少有2次愤然 离去的概率 3. 正态分布(或高斯分布) 正态概率密度函数的几何特征 正态分布是最常见最重要的一种分布,例如 测量误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ; 正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量 高度等都近似服从正态分布. 正态分布的应用与背景 标准正态分布的概率密度表示为 标准正态分布 标准正态分布的分布函数表示为： 标准正态分布的概率密度函数图形 解 例 一般正态分布与标准正态分布的关系 例 例:公共汽车车门的高度是按成年男子与 车门顶碰头的概率不大于1%的要求设计 的.若成年男子的身高X(cm)服从 分布,问车门的高度应确定为多少? 例 已知某台机器生产的螺栓长度X(cm),服从参数 正态分布。规定螺栓长度在 内为合格品，试求螺栓为合格品的概率。