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1、. . . . . 学习参考 江西师范大学数学与信息科学学院 学士学位论文 求函数极限的若干方法求函数极限的若干方法 The Methods of Functional Limit 姓 名： * 学 号： 090*0*0*3 学 院：数学与信息科学学院 专 业：数学与应用数学 指导老师： *(讲师） 完成时间：2013 年 4 月 19 日 . . . . . 学习参考 求函数极限的若干方法求函数极限的若干方法 * 【摘要摘要】在数学分析中，极限思想贯穿于始末，求极限的方法也显得至关重 要。极限包括数列的极限与函数的极限，两类极限的本质上是相同的，其中数 列极限是函数极限的特例，因此本文只就函
2、数极限进行讨。结合例题，本文阐 述了求函数极限的十三种方法，包括利用无穷小量、洛必达法则、泰勒公式、 中值定理等求极限。 【关键词关键词】函数极限 洛必达法则 泰勒公式 中值定理 . . . . . 学习参考 The Methods of Functional Limit * 【Abstract】In the mathematical analysis, the limit idea runs through the whole story. The methods of the limit are crucial. Limit includes the sequence limit and
3、functional limit. Essence of the two kinds of limit is the same, and the sequence limit is a special case of functional limit, therefore this paper only discusses the functional limit. With the examples, this paper discusses thirteen methods of functional limit , including the use of infinitesimal,
4、LHospital Rule, Taylor formula, the mean value theorem and so on. 【Key words】functional limit LHospital Rule Taylor formula the mean value theorem. . . . . . 学习参考 目录 1 引言.1 2 函数极限的定义及作用.1 3 函数极限的计算及多种求法.2 3.1 利用左、右极限求极限 .2 3.2 利用极限运算法则求极限 .3 3.3 利用初等变形求函数极限 .3 3.3.1 约分法 .3 3.3.2 有理化法 .4 3.3.3 比较最高次幂
5、法.4 3.4 利用迫敛性求函数极限 .5 3.5 利用两个重要极限公式求函数极限 .5 3.6 利用变量替换求函数极限 .7 3.6.1 利用等价无穷小量替换来求极限.7 3.6.2 利用其他替换来求极限 .8 3.7 利用无穷小量的性质求函数极限 .8 3.8 利用初等函数的连续性质求函数极限 .9 3.9 利用导数的定义求函数极限 .9 3.10 利用洛必达法则求函数极限 .10 3.10.1 型不定式极限 .10 0 0 3.10.2 型不定式极限.11 3.10.3 其它类型不定式极限 .12 3.11 幂指函数求函数极限 .13 3.11.1 ,的极限均为有限常数，即型的极限求法.
6、13)(xf)(xg B A 3.11.2 型未定式极限问题.13 1 3.12 利用泰勒公式求函数极限 .14 3.13 利用中值定理求函数极限 .16 参考文献.17 . . . . . 学习参考 1 引言 数学分析的主要任务是研究函数的各种性态以及函数值的计算或近似计算， 主要内容是微积分，在微积分中几乎所有的基本概念都是用极限来定义的。可 以说，没有极限理论就没有微积分。众所周知常见的求极限的方法包含四则运 算，夹逼准则、无穷小量、重要极限公式、洛必达法则等。但实际在求极限时 并不是依靠单一方法，而是把多种方法加以综合运用。对函数极限求解方法的 讨论是本文的核心点，本文给出了十三种求极
7、限的方法，每种方法都是以定理 或简述开头，然后以例题来全面展示具体的求法，下面就根据函数的特点分类 进行讨论。 2 函数极限的定义及作用 定义定义 1 1 ：设函数在点的某空心邻域内有定义,为定数.若对任 1 f 0 x o 0; UxA 给的,存在正数（） ，使得当时有 ，则称0 0- o x x( )f xA 函数当时以为极限,记作f 0 趋于xxA 或 . 0 lim( ) xx f xA( )f xA 0 xx 定义定义 2 2 ：设为定义在上的函数,为定数.若对任给的，存在正 1 f, a A0 数,使得当时有MaxM ，( )f xA 则称函数当趋于时以为极限,记作fxA 或 .l
8、im( ) x f xA ( )f xAx 对于其他形式函数极限的定义我就用-语言描述定义： =A: 当-x-0 时，|f（x）A | )(lim - 0 xf xx , 0, 0 0 x =A: 当 0 x-时，|f（x）- A |M 时，|f（x）- A | :)(limAxf x , 0, 0M . . . . . 学习参考 当 x-M 时，|f（x）- A | :)(limAxf x , 0, 0M 在数学分析中我们经常用函数极限的定义来证明极限存在问题。 例例 1 用极限定义证明：=1 2 lim x 2-x 23x- 2 x 证证 由 1 2 23 2 x xx 2 44 2 x
9、xx = 2 )2( 2 x x 2x 取= 则当 0|x-2|时，就有0 0, g(x)=B,则= )( x 0 lim x x )( x 0 lim x x )( x 0 lim x x )( )( xg xf B A 例例 1515 求（7x-6） 1 lim x 2 ln 解解 因为 y=（7x-6）是初等函数，在定义域（，+）内是连续的， 2 ln 7 6 所以在 x=1 处也连续，根据连续的定义，极限值等于函数值， 所以（7x-6）=（7-6）=0 1 lim x 2 ln 2 ln 3.9 利用导数的定义求函数极限 定义定义 4 4（导数的定义）（导数的定义）：函数在附近有定义，
10、若极限 1 ( )f x 0 x 存在，则称函数在点处可导，并称该极限为函数 0 0 0 ( )() lim xx f xf x xx ( )f x 0 x 在点处的导数，记为。在这种方法的运用过程中，首先要选好( )f x 0 x 0 ()fx ，然后把所求极限表示成在定点的导数( )f x( )f x 0 x . . . . . 学习参考 例例 1616 求xx x 2cot) 2 (lim 2 解解 取则 xxf2tan)( 2 ) 2 2tan(2tan lim 1 2 2tan lim 1 2cot) 2 (lim 2 2 2 x x x x xx x x x 2 2 x 2 11 ( )()() 22 lim 2 1 (2sec 2 ) 1 2 x f xff x x 3.10 利用洛必达法则求函数极限 以导数为工具研究不定式极限的方法称为洛比达法则。利用洛必达法则求 极限，由于分类明确，规律性强，且可连续进行运算，可以简化一些较复杂的 函数求极限的过程，但运用时需注意条件。 3.10.1 型不定式极限 0 0 定理定理 6 6：若函数和满足： 1 fg i 00 limlim0 xxxx f xg x 在点的某空心邻域内两者都可导，且 ii 0 x 0 0 Ux 0gx （为实数，也可为或） iii 0 l
