线性定常离散系统的能控性和能观性

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1、Ch.4 线性系统的能控性和 能观性 目录(1/1) 目 录 概述 4.1 线性连续系统的能控性 4.2 线性连续系统的能观性 4.3 线性定常离散系统的能控性和能观性 4.4 对偶性原理 4.5 线性系统的结构性分解和零极点相消 4.6 能控规范形和能观规范形 4.7 实现问题 4.8 Matlab问题 本章小结 线性定常离散系统的能控性和能观性(1/2) 4.3 线性定常离散系统的能控性和能观 性 q本节主要讲述线性离散系统的状态能控性/能观性的定义 和判据。 由于线性连续系统只是线性离散系统当采样周期 趋于无穷小时的无限近似,所以 离散系统的状态能控性/能观性的定义与线性连续系 统的极其

2、相似, 能控性/能观性判据则在形式上基本一致。 线性定常离散系统的能控性和能观性(2/2) q本节的关键问题为: 基本概念: 线性离散系统的状态能控性/能观性 基本方法: 线性离散系统状态能控性/能观性的判别方法 离散化系统的能控性/能观 性 q本节的主要内容为: 线性定常离散系统的状态能控性与能达性 线性定常离散系统的能观性 离散化线性定常系统的状态能控性和能观性 重点喔! 线性定常离散系统的状态能控性(1/2) 4.3.1 线性定常离散系统的状态能控性与能达 性 q状态能控性讨论的是系统输入对状态空间中任意初始状态 控制到坐标原点(平衡态)的能力, 而状态能达性讨论的是系统输入对坐标原点

3、(平衡态)的初始状态控制到状态空间中任意状态的能 力。 对线性定常连续系统来说,状态能控性与能达性虽然 定义不同,两者的判据却是等价的, 但对于线性定常离散系统来说,这两者无论 定义还是判据有所不同。 线性定常离散系统的状态能控性(2/2) q与线性连续系统的状态能控性问题一样,对线性离散系统 的能控性与能达性问题也可只考虑系统状态方程,与输出方 程和输出变量y(k)无关。 对线性定常离散系统,我们有如下 状态能控性与能达性定义 线性定常离散系统的状态能控性判据 线性定常离散系统的状态能控性判据 线性定常离散系统的能控性与能达性定义(1/4)能控性 定义 1. 线性定常离散系统的能控性与能达性

4、定义 q定义4-1 对线性定常离散系统 x(k+1)=Gx(k)+Hu(k) 若对某个初始状态x(0),存在控制作用序列 u(0),u(1), u(n-1),使系统在第n步上达到到原点,即 x(n)=0,则称状态x(0)能控; 若状态空间中的所有状态都能控,则称系统状态完全 能控; 即,若逻辑关系式 x(0) u(k) (k0,n-1)(x(n)=0) 为真,则称系统状态完全能控。 线性定常离散系统的能控性与能达性定义(2/4)能控性 定义 若存在某个状态x(0)不满足上述条件,称此系统是状 态不完全能控的,简称系统为状态不能控。 即,若逻辑关系式 x(0) u(k) (k0,n-1)(x(n

5、)0) 为真,则称系统状态不完全能控。 q在上述状态能控性定义中,只要求在n步之内寻找控制作用, 使得系统状态在第n步上到达原点。 这是因为,可以证明,若离散系统在n步之内不存在控 制作用使得对任意初始状态控制到原点,则在n步以后也 不存在控制作用使状态在有限步之内控制到原点。 故在上述定义中,只要求系统在n步之内寻找控制作 用。 线性定常离散系统的能控性与能达性定义(3/4)能达性 定义 q定义4-5(线性定常离散系统状态能达性定义) 对线性定常 离散系统(G,H)， 若对某个最终状态x1,存在控制作用序列 u(0),u(1), u(n-1),使得系统状态从零状态在第n步上 到达最终状态x1

6、,即x(n)=x1,则称此系统的状态x1是能达 的。 若系统对状态空间中所有状态都能达,则称系统状态 完全能达,简称为系统能达。 即,若数学逻辑关系式 x1 u(k)(k0,n-1 x(0)=0x(n)=x1 为真,则称系统状态完全能达。 若系统存在某个状态x1不满足上述条件,则称此系统 是状态不完全能达的,简称系统为状态不能达。 线性定常离散系统的能控性与能达性定义(4/4)能达性 定义 q从能控性与能达性两者的定义可知,在系统控制问题中, 系统镇定问题多与能控性有关, 而跟踪、伺服问题多与能达性有关。 线性定常离散系统的状态能控性判据(1/9) 2. 线性定常离散系统的状态能控性判据 q与

7、线性定常连续系统不同,线性定常离散系统的状态能控 性与能达性的判据两者不等价。 线性定常离散系统的状态能达性与连续系统的能控 性/能达性判据形式上完全一致,而状态能控性的判据则 有所区别。 下面给出并叙述线性定常离散系统状态能控性的秩 判据定理。 线性定常离散系统的状态能控性判据(2/9)-定理4-12 q定理4-12(线性定常离散系统能控性秩判据) 对线性定常离 散系统(G,H),有如下状态能控性结论: 1) 若系统矩阵G为非奇异矩阵，则状态完全能控的 充要条件为如下定义的能控性矩阵: Qc=H GH Gn-1H 满秩，即 rankQc=n 2) 若系统矩阵G为非奇异矩阵，则为系统状态完全

8、能控的充要条件为 rankQc=rankQc Gn 线性定常离散系统的状态能控性判据(3/9 )-定理4-12 q证明 由第3章的线性定常离散系统的解理论,可得状态方 程的解如下: 设在第n步上能使初始状态x(0)转移到零状态,于是上式可 记为 即 线性定常离散系统的状态能控性判据(4/9 )-定理4-12 上式写成矩阵形式即为 这是一个非齐次线性代数方程,由线性方程解的存在性理 论可知,上式存在控制序列u(0),u(1),u(n-1)的充要条 件为 rankH GH Gn-1H=rankH GH Gn-1H Gn x(0) 线性定常离散系统的状态能控性判据(5/9 )-定理4-12 考虑到系

9、统的初始状态x(0)是属于n维状态空间中任 意一个状态,因此上式等价于 rankH GH Gn-1H=rankH GH Gn-1H Gn 即证明了系统状态完全能控的充要条件为能控性矩 阵满足 rankQc=rankQc Gn 即定理的结论2)得以证明。 线性定常离散系统的状态能控性判据(6/9 )-定理4-12 q当系统矩阵G满秩时,显然有 rankGn=n 因此 rankH GH Gn-1H Gn=n 所以由结论1可知,在系统矩阵G满秩时,系统状态完 全能控的充要条件为 rankQc=rankH GH Gn-1H=n 线性定常离散系统的状态能控性判据(7/9)例4-11 q 解 由线性定常离

10、散系统的能控性矩阵的定义有 但 因此 rankQc=rankQc G2 由定理4-12的结论2可知,该系统状态完全能控。 q例4-11 试判断如下系统的状态能控性 线性定常离散系统的状态能控性判据(8/9)例4-12 q 解 判断一：由系统状态能控性的代数判据有 但 q例4-12 试判断如下系统的状态能控性 线性定常离散系统的状态能控性判据(9/9) 因此 rankQcrankQc G3 由定理4-12的结论2可知,该系统状态不完全能控。 q判断二： 由于G为可逆矩阵 rankQc =13=n, 因此由定理4-12的结论1可判别出系统状态不完全能 控。 线性定常离散系统的状态能达性判据(1/4

11、) 2. 线性定常离散系统的状态能达性判据 q由上述线性定常离散系统的状态能控性代数判据可知,离 散系统的能控性与连续系统的能控性存在一定的差别。 由系统矩阵和输入矩阵组成的能控性矩阵的秩等 于状态变量的个数,对于线性定常连续系统，这是状态 完全能控的充分必要条件, 而对于线性定常离散系统的状态能控性则仅是一个充 分条件。 线性定常离散系统的状态能达性判据(2/4) 造成线性连续系统和线性离散系统的状态能控性 判据形式上有差别的原因在于： 线性连续系统的状态能控性和状态能达性是两个等价 的概念,而线性离散系统的状态能控性和状态能达 性则是两个不等价的概念。 q定理4-13(线性定常离散系统能达

12、性秩判据) 对线性定常 离散系统(G,H)状态完全能达的充分必要条件为能控性矩 阵Qc=H GH Gn-1H满秩，即 rank Qc=n 线性定常离散系统的状态能达性判据(3/4) q定理4-14(线性定常离散系统能达性模态判据) 对约旦规 范形的线性定常离散系统(G,H),有 1若系统矩阵G为每个特征值都只有一个约旦块的 约旦矩阵,则系统能达的充分必要条件为 对应G的每个约旦块的H的分块的最后一行都不全为 零。 若G为某个特征值有多于一个约旦块的约旦矩阵, 则系统能达的充分必要条件为 对应于G的每个特征值的所有约旦块的H的分块的最 后一行线性无关。 线性定常离散系统的状态能达性判据(4/4)

13、 q定理4-15(线性定常离散系统能达性PHB秩判据) 线性离 散连续系统(G,H)状态完全能控的充分必要条件为： 对于所有的复数,下式成立 rankI-G H=n C1 线性定常离散系统的能观性(1/9) 4.3.2 线性定常离散系统的能观性 q与线性连续系统一样,线性离散系统的状态能观性只与系 统输出y(t)以及系统矩阵G和输出矩阵C有关, 即只需考虑齐次状态方程和输出方程即可。 下面我们先引入线性定常离散系统状态能观性的 定义。 对初始状态x(0),根据在n个采样周期内采样到的输 出向量y(k)的序列y(0),y(1),y(n-1)能唯一地确定系 统的初始状态x(0),则称状态x(0)能

14、观; 若对状态空间中的所有状态都能观,则称系统状态 完全能观,简称为系统能观。 即,若数学逻辑关系式 线性定常离散系统的能观性(2/9)能观性定义 q 定义4-3 若线性定常离散系统 为真,则称系统状态完全能观。 线性定常离散系统的能观性(3/9) 若存在某个状态x(0)不满足上述条件,称此系统是状 态不完全能观的,简称系统为状态不能观。 q在线性定常离散系统的状态能观性定义中,只要求以在n个 采样周期内采样到的输出来确定系统的状态。 这是因为,可以证明: 如果由n个采样周期内的输出向量序列不能唯一确定系 统的初始状态,则由多于n个采样周期的输出向量序 列也不能唯一确定系统初始状态。 q对线性

15、定常离散系统,存在与线性定常连续系统在形式上完 全一致的状态能观性的代数判据和模态判据。 下面我们先介绍代数判据。 线性定常离散系统的能观性(4/9)能观性判据代数 满秩,即 rankQo=n q定理4-16 线性定常连续系统(G,C)状态完全能观的充分 必要条件为如下定义的能观性矩阵: 线性定常离散系统的能观性(5/9)能观性判据证明 q证明 本定理的证明可直接由线性代数方程组的解唯一性 理论给出。 由第3章中线性定常离散系统的状态空间模型的求 解公式,可得 y(0)=Cx(0) y(1)=Cx(1)=CGx(0) y(n-1)=Cx(n-1)=CGn-1x(0) 将上述n个方程写成矩阵的形式,有 线性定常离散系统的能观性(6/9)例20 因此,由线性方程的解存在性理论可知,无论输出向量 的维数是否大于1,上述方程有x(0)的唯一解的充分必要 条件为 rankQo=n 由能观性的定义可知,上式亦为线性定常离散系统 (G,C)状态完全能观的充要条件。 于是定理得证。 线性定常离散系统的能观性(7/9)例4-13 q例4-13 试判断如