手拉手无答案版

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1、旋转的思想解问题-手拉手 旋转使得几何元素的位置发生变化，往往伴随着边与角的重新组合，其中涉及勾股定理的逆定理、角 度加减及线段的最大值最小值问等题。 一、关于旋转-手拉手思考 掌握数学思想方法可从两个方面入手，一是归纳重要的数学思想方法。二是归纳重要题型的解题方法。 在旋转这部分，需要掌握两个图形，很多中考题、中考模拟题都是从这两个图形演变过来的。 扩展：共顶点的顶角相等的等腰三角形形成旋转全等 如图：在ABC 和ADE 中，AB=AC,AD=AE，BAC=DAE，则ABDACE 例 1:等边ABC，P 是ABC 形内一点，连结 PA、PB、PC，以点 A 为旋转中心，将ABP 逆时针旋转

2、60 度，可以得到APD 为等边三角形，可以将 PA、PB、PC 三边组成一个新三角形PCD,已知 PA、PB、PC 的长可以求出APB、 APC、BPC 当当 P 点的位置发生变化时（点点的位置发生变化时（点 P 在在ABC 的外部）的外部） 当变换背景为等腰直角三角形或正方形时当变换背景为等腰直角三角形或正方形时 典型例题： 例 1:在直线 ABC 的同一侧作两个等边三角形ABD 和BCE， 连接 AE 与 CD， 证明：（1） ABEDBC； （2）AE=DC； （3）AE 与 DC 的夹角为 60； （4）AGBDFB； （5）EGBCFB； （6）BH 平分AHC；GFAC 例 2

3、线段最大值最小值、角的度数与旋转 阅读下面材料： 阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图 1，在ABC（其中BAC 是一个可以变化的角）中， AB=2，AC=4，以 BC 为边在 BC 的下方作等边PBC，求 AP 的最大值。 小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合他的方法是以点 B 为旋转中心 将ABP 逆时针旋转 60得到ABC,连接AA,当点 A 落在CA上时,此题可解（如图 2） 请你回答：AP 的最大值是 参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题： 如图 3，等腰 RtABC边 AB=4,P 为ABC 内部一点， 则 AP+BP+CP 的最小值是.（结果可以不化简

4、） 例 3 已知：点 C、A、D 在同一条直线上，ABC=ADE=，线段 BD、CE 交于点 M （1）如图 1，若 AB=AC，AD=AE 问线段 BD 与 CE 有怎样的数量关系？并说明理由； 求BMC 的大小（用表示） ； （2）如图 2，若 AB= BC=kAC，AD =ED=kAE 则线段 BD 与 CE 的数量关系为，BMC=（用表示） ； （3）在（2）的条件下，把ABC 绕点 A 逆时针旋转 180，在备用图中作出旋转后的图形（要求：尺 规作图，不写作法，保留作图痕迹） ，连接 EC 并延长交 BD 于点 M.则BMC=（用表 示） 例 5：（1）如图 1，ABC 和CDE 都

5、是等边三角形，且 B、C、D 三点共线，联结 AD、 BE 相交于点 P，求证： BE = AD. （2）如图 2，在BCD 中，BCD120，分别以 BC、CD 和 BD 为边在BCD 外部作等边 三角形 ABC、等边三角形 CDE 和等边三角形 BDF，联结 AD、BE 和 CF 交于点 P，下列结论 中正确的是（只填序号即可） AD=BE=CF；BEC=ADC；DPE=EPC=CPA=60； （3）如图 2，在（2）的条件下，求证：PB+PC+PD=BE. 第 5 题图 1 第 5 题图 2 例 6： 【旋转】 （2014 朝阳一模）24在ABC 中，CACB，在AED 中， DADE，

6、点 D、E 分别在 CA、AB 上， （1）如图，若ACBADE90，则 CD 与 BE 的数量关系是； （2） 若ACBADE120， 将AED绕点A旋转至如图所示的位置， 则CD与BE的数量关系是； ， （3）若ACBADE2（0 90） ，将AED 绕点 A 旋转至如图所示的位置，探究线段 CD 与 BE 的数量关系，并加以证明(用含的式子表示) 例 8：如图 1，已知DAC=90，ABC 是等边三角形，点 P 为射线 AD 任意一点（P 与 A 不重合） ，连结 CP，将线段 CP 绕点 C 顺时针旋转 60得到线段 CQ，连结 QB 并延长交直线 AD 于点 E. （1）如图 1，猜

7、想QEP=_； （2）如图 2，3，若当DAC 是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想QEP 的度数，选取一种情况加以证 明； （3）如图 3，若DAC=135，ACP=15，且 AC=4，求 BQ 的长 图 图 图 例 10：在ABC中，2ABBC，90ABC，BD 为斜边 AC 上的中线，将ABD绕点 D 顺时针旋转 (0180 )得到EFD，其中点 A 的对应点为点 E，点 B 的对应点为点 F，BE 与 FC 相交于点 H. （1）如图 1，直接写出 BE 与 FC 的数量关系：_; （2）如图 2，M、N 分别为 EF、BC 的中点.求证：MN _; （3）连接 BF，CE，如图 3，直

8、接写出在此旋转过程中，线段 BF、CE 与 AC 之间的数量关 系：. 6：在 RtABC 中， 90ACB，D 是 AB 的中点，DEBC 于 E，连接 CD （1）如图 1，如果 30A，那么 DE 与 CE 之间的数量关系是_ （2）如图 2，在（1）的条件下，P 是线段 CB 上一点，连接 DP，将线段 DP 绕点 D 逆时针旋转 60，得到 线段 DF，连接 BF，请猜想 DE、BF、BP 三者之间的数量关系，并证明你的结论 （3）如图 3，如果 A （0 90 ），P 是射线 CB 上一动点（不与 B、C 重合），连接 DP，将线段 DP 绕点 D 逆时针旋转 2，得到线段 DF，

9、连接 BF，请直接写出 DE、BF、BP 三者之间的数量关系（不需 证明） 课后练习： 1：在ABC中，ABAC，BAC 060 ，将线段 BC 绕点 B 逆时针旋转60得到线段 BD （1）如图 1，直接写出ABD的大小（用含的式子表示） ； （2）如图 2，150BCE，60ABE，判断ABE的形状并加以证明； （3）在（2）的条件下，连结 DE，若45DEC，求的值 6：ABC 中， 45ABC，AHBC 于点 H，将AHC 绕点 H 逆时针旋转 90后，点 C 的对应点为点 D， 直线 BD 与直线 AC 交于点 E，连接 EH （1）如图 1，当BAC 为锐角时， 求证：BEAC；求

10、BEH 的度数； （2）当BAC 为钝角时，请依题意用实线补全图 2，并用等式表示出线段 EC，ED，EH 之间的数量关系 7： 如图 1， 在 ACB 和 AED 中，AC BC ，AE DE ， 90ACBAED ， 点E在AB上，F 是线段BD 的中点，连接CE、FE （1）请你探究线段CE与FE之间的数量关系（直接写出结果，不需要说明理由）； （2）将图 1 中的 AED 绕点A顺时针旋转，使 AED 的一边AE恰好与 ACB 的边AC在同一条直线上（如 图 2），连接BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由； （3）将图 1 中的 AED 绕点A顺时针旋转任意的

11、角度（如图 3），连接BD，取BD的中点F，问（1）中 的结论是否仍然成立，并说明理由 12(2015朝阳二模)数学活动课上，老师提出这样一个问题:如果 AB=BC,ABC=60,APC=30,连接 PB，那么 PA,PB,PC 之间会有怎样的等量关系呢？ 经过思考后，部分同学进行了如下的交流： 小蕾：我将图形进行了特殊化，让点 P 在 BA 的延长线上(如图 2-2-9)，得到了一个猜想:. 小东：我假设点 P 在ABC 的内部，根据题目条件，这个图形具有“共端点等线段”的特点，可以利用 旋转解决问题，旋转PAB 后得到PCB,并且可推出PBP,PCP分别是等边三角形、直角三角形， 就能得到

12、猜想和证明方法.这时老师对同学们说，请大家完成以下问题： (1)如图 2-2-9，点 P 在ABC 的内部，PA=4，PC=2，PB=. 用等式表示 PA，PB，PC 之间的数量关系，并证明. (2)对于点 P 的其他位置，是否始终具有中的结论？若是，请证明；若不是，请举例说明. 如图， 在ABC 中， AC=BC， ACB=90， D 为 AC 上一点 （与点 A， C 不重合） ， 连接 BD， 过点 A 作 AEBD 的延长线于 E （1）在图中作出ABC 的外接圆O，并用文字描述圆心 O 的位置 连接 OE，求证：点 E 在O 上 （2）延长线段 BD 至点 F，使 EF=AE，连接 CF,根据题意补全图形 用等式表示线段 CF 与 AB 的数量关系，并证明 6 正方形 ABCD 中，将边 AB 所在直线绕点A逆时针旋转一个角度得到直线 AM，过点 C 作 CEAM，垂 足为 E，连接 BE (1) 当045 时，设 AM 交 BC 于点 F 如图 1，若35，则BCE 如图 2，用等式表示线段 AE，BE，CE 之间的数量关系， 并证明 (2) 当4590 时(如图 3)，请直接用等式表示线段 AE，BE，CE 之间的数量关系