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1、利用导数研究函数的单调性知识讲解一、单调性【定理】 设函数在上连续，在内可导.（1）如果在内，那么函数在上单调增加；（2）如果在内，那么函数在上单调减少.【解读】设函数在某区间内可导，在该区间上单调递增；在该区间上单调递减.反之，若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）.二、求可导函数单调区间1) 确定函数的的定义区间；2) 求，令，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；3) 把函数的无定义点的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间；4) 确定在各个区间内的
2、符号，根据的符号判定函数在每个相应小区间内的增减性. 典型例题一选择题（共17小题）1（2018盐湖区校级四模）设函数f（x）是函数f（x）（xR）的导函数，已知f（x）f（x），且f（x）=f（4x），f（4）=0，f（2）=1，则使得f（x）2ex0成立的x的取值范围是（）A（2，+）B（0，+）C（1，+）D（4，+）【解答】解：设F(x)=f(x)ex，则F(x)=f(x)-f(x)ex0，即函数F（x）在R 上单调递减，因为f（x）=f（4x），即导函数y=f（x）关于直线x=2对称，所以函数y=f（x）是中心对称图形，且对称中心（2，1），由于f（4）=0，即函数y=f（x）过点（
3、4，0），其关于点（2，1）的对称点（0，2）也在函数y=f（x）上，所以有f（0）=2，所以F(0)=f(0)e0=2，而不等式f（x）2ex0即f(x)ex2，即F（x）F（0），所以x0，故使得不等式f（x）2ex0成立的x的取值范围是（0，+）故选：B2（2018辽宁模拟）已知函数f（x）=ex（3x1）ax+a（a1），若有且仅有两个整数xi（i=1，2），使得f（xi）0，则a的取值范围为（）A2e，1）B73e2，2e）C0.2e）D73e2，1）【解答】解：设g（x）=ex（3x1），h（x）=axa，则g（x）=ex（3x+2），x（，23），g（x）0，g（x）单调递减，x
4、（23，+），g（x）0，g（x）单调递增，x=23，取最小值3e-23，g（0）=1a=h（0），g（1）h（1）=2e0，直线h（x）=axa恒过定点（1，0）且斜率为a，g（1）h（1）=4e1+2a0，a2e，g（2）=7e2，h（2）=3a，由g（2）h（2）0，解得：a73e2，故选：B3（2018烟台模拟）已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a23b)在R上是单调递增函数，则c2b-3a的最小值是（）A1B2C3D4【解答】解：f（x）=3ax2+2bx+c，若函数f（x）在R上是单调递增函数，则&a0&=4b2-12ac0，解得：cb23a，a0，故c2b-3ab23a
5、2b-3a=b23a(2b-3a)b2(3a+2b-3a2)2=1当且仅当3a=2b3a，即b=3a时“=”成立，c2b-3a的最小值是1故选：A4（2018安徽二模）y=f（x）的导函数满足：当x2时，（x2）（f（x）+2f（x）xf（x）0，则（）Af(4)(25+4)f(5)2f(3)Bf(4)2f(3)(25+4)f(5)C(25+4)f(5)2f(3)f(4)D2f(3)f(4)(25+4)f(5)【解答】解：设g（x）=f(x)x-2，g（x）=(x-2)f(x)-f(x)(x-2)2，（x2）（f（x）+2f（x）xf（x）0，（x2）（x2）f（x）f（x）0，当x2时，（x
6、2）f（x）f（x）0，即g（x）0，g（x）在（2，+）上单调递减，当x2时，（x2）f（x）f（x）0，即g（x）0，g（x）在（，2）上单调递增，g（4）g（3）g（5），f(4)4-2f(3)3-1f(5)5-2f（4）2f（3）（25+4）f（5），故选：C5（2018河南一模）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=（x+1）ex则对任意的mR，函数F（x）=f（f（x）m的零点个数至多有（）A3个B4个C6个D9个【解答】解：当x0时，f（x）=（x+1）ex，可得f（x）=（x+2）ex，可知x（，2），函数是减函数，x（2，0）函数是增函数，f（2）=-1e
7、2，f（1）=0，且x0时，f（x）1，又f（x）是定义在R上的奇函数，f（0）=0，而x（，1）时，f（x）0，所以函数的图象如图：令t=f（x）则f（t）=m，由图象可知：当t（1，1）时，方程f（x）=t至多3个根，当t（1，1）时，方程没有实数根，而对于任意mR，方程f（t）=m至多有一个根，t（1，1），从而函数F（x）=f（f（x）m的零点个数至多有3个故选：A6（2018厦门一模）定义在（0，+）上的函数f（x）满足f(x)+xf(x)=1x，f(1)=0，若关于x的方程|f（x）|a=0有3个实根，则a的取值范围是（）A(0，1e)B（0，1）C(1e，1)D（1，+）【解答】
8、解：令g（x）=xf（x），则g（x）=f（x）+xf（x）=1x，g（x）=lnx+c，即xf（x）=lnx+c，又f（1）=0，c=0，可得f（x）=lnxx则f（x）=1-lnxx2，可知当x（0，e）时，f（x）0，当x（e，+）时，f（x）0，则f（x）在（0，e）上为增函数，在（e，+）上为减函数，要使方程|f（x）|a=0有3个实根，即函数y=|f（x）|与y=a的图象有3个不同交点，如图：由图可知，a的取值范围是（0，1e），故选：A7（2018雁峰区校级一模）已知f（x）是定义在（0，+）上的非负可导函数，且满足xf（x）+f（x）0，对任意的0ab，则必有（）Aaf（b）b
9、f（a）Bbf（a）af（b）Caf（a）f（b）Dbf（b）f（a）【解答】解：xf（x）+f（x）0xf（x）0函数F（x）=xf（x）在（0，+）上为常函数或递减，又0ab且f（x）非负，于是有：af（a）bf（b）01a21b20，两式相乘得：f(a)af(b)b0af（b）bf（a），故选：A8（2018江津区模拟）设函数f（x）=lnxmx2+2nx（mR，n0），若对于任意的x0，都有f（x）f（1），则（）Alnn8mBlnn8mClnn8mDlnn8m【解答】解：对于任意的x0，都有f（x）f（1），由于f（x）=lnxmx2+2nx（mR，n0），所以f（1）=0，则：12
10、m+2n=0，所以m=12+n令g（n）=lnn8m=lnn8n4则：g（n）=1n-8，=1-8nn，当n(0，18)时，g（n）0，所以g（n）为增函数当n(18，+)，g（n）0，所以g（n）为减函数故g（n）g(18)=ln18-50，即lnn8m故选：A9（2018内江一模）设nN*，函数f1（x）=xex，f2（x）=f1（x），f3（x）=f2（x），fn+1（x）=fn（x），曲线y=fn（x）的最低点为Pn，PnPn+1Pn+2的面积为Sn，则（）ASn是常数列BSn不是单调数列CSn是递增数列DSn是递减数列【解答】解：根据题意，函数f1（x）=xex，其导数f1（x）=（
11、x）ex+x（ex）=（x+1）ex，分析可得在（，1）上，f1（x）0，f1（x）为减函数，在（1，+）上，f1（x）0，f1（x）为增函数，曲线y=f1（x）的最低点P1，（1，1e），对于函数f2（x）=f1（x）=（x+1）ex，其导数f2（x）=（x+1）ex+（x+1）（ex）=（x+2）ex，分析可得在（，2）上，f1（x）0，f1（x）为减函数，在（2，+）上，f1（x）0，f1（x）为增函数，曲线y=f1（x）的最低点P1，（2，1e2），分析可得曲线y=fn（x）的最低点Pn，其坐标为（n，1en）；则Pn+1（n1，1en+1），Pn+2（n2，1en+2）；|PnPn+
12、1|=(-n-1+n)2+(-1en+1+1en)2=1+1e2n(1-1e)2，直线PnPn+1的方程为y+1en-1en+1+1en=x+n-n-1+n，即为（e1）x+en+1y+en=0，故点Pn+2到直线PnPn+1的距离d=ne+e+1e-2(e-1)2+e2n+2，Sn=12|PnPn+1|d=ne2+e2-2e+1en+2，设g（n）=ne2+e2-2e+1en+2，易知函数g（n）为单调递减函数，故Sn是递减数列，故选：D10（2018三明模拟）设函数f(x)=e|x|-11+x2，则使得f（2x）f（x1）成立的x的取值范围是（）A（13，1）B（，13）（1，+）C（1，
13、13）D（，1）（13，+）【解答】解：f(x)=e|x|-11+x2的定义域为R，且f（x）=e|-x|-11+(-x)2=e|x|-11+x2=f（x），f（x）为偶函数，又当x0时，函数函数f（x）=ex11+x2，f（x）=ex+2x(1+x2)20，f（x）在（0，+）上为增函数，根据偶函数性质可知：若f（2x）f（x1）成立，则|2x|x1|，4x2（x1）2，（3x1）（x+1）0，解得1x13x的范围为（1，13），故选：C11（2018宿州一模）偶函数f（x）定义域为(-2，2)，其导函数是f（x）当0x2时，有f（x）cosx+f（x）sinx0，则关于x的不等式f(x)2f(4)cosx的解集为（）A(4，2)B(-2，-4)(4，2)C(-4，0)(0，4)D(-4，0)(4，2)【解答】解：根据题意，设g（x）=f(x)cosx，其导数为g（x）=f(x)cosx+f(x)sinxcos2x，又由0x2时，有f（x）cosx+f（x）sinx0，则有g（x）0，则函数g（x）在（0，2）上为减函数，又由f（x）为定义域为(-2，2)的偶函数，则g（x）=f(-x)co
