自旋与全同粒子的具体表现

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1、 我们已经知道，从薛定谔方程出发可以解释许多 微观现象，例如计算谐振子和氢原子的能级从而得出 它们的谱线频率，计算原子对光的吸收和发射系数等 。计算结果在相当精确的范围内与实验符合。但是这 个理论还有较大的局限性。首先，薛定谔方程没有把 自旋包含进去，因而用前面的理论还不能解释牵涉到 自旋的微观现象，如塞曼效应等。此外，对于多粒子 体系（原子、分子、原子核、固体等等），前面的理 论也不能处理。 第七章 自旋与全同粒子 7.1 电子的自旋 一、提出电子自旋的依据 1、1912年反常塞曼效应，特别是氢原子的偶数重磁 场谱线分裂 ，无法用轨道磁矩与外磁场相互作用来 解释 ，因为这只能分裂谱线为 （2

2、n+1）重，即奇数 重。 2、原子光谱的精细结构 。比如，对应于氢原子 2p1s的跃迁存在两条彼此很靠近的两条谱线，碱金 属原子光谱也存在双线结构等 3、斯特恩盖拉赫实验（1921年） 基态银原子束通过不均匀磁场后，分离成朝相反 方向的两束。如图： 结论：除具有轨道角动量外，电子还应具有自旋角 动量。 自旋是一种相对论量子效应，无经典对应。 二、电子自旋的假设 针对以上难以解释的实验现象，1925年乌伦贝克 和哥德施密特提出假设： (1) 每个电子具有自旋角动量 ，它在空间任何方向 上的投影只能取两个数值： (2) 每个电子具有自旋磁矩 ，它和自旋角动量 的关系是: 这个比值称为电子自旋的回转

3、磁比率。 电子自旋磁矩和自旋角动量之比是 在空间任意方向上的投影只能取两个数值： 是玻尔磁子。 电子轨道运动的回转磁比率: 自旋回转磁比率等于轨道运动回转磁比率的两倍。 电子自旋磁矩和自旋角动量之比: 电子轨道运动磁矩：（见习题3.4） 7.2 电子自旋算符和自旋函数 电子具有自旋角动量这一特性纯粹是量子特 性，不能用经典力学来解释。 电子的自旋是相对论效应，严格处理应当用 Dirac 方程，在非相对论量子力学中是作唯象处理。 一、自旋算符 1. 自旋角动量满足的对易关系 电子自旋角动量满足上面的对易关系。 引入 有: 2. 上面两条完全确定了电子自旋算符。 则： 由于 在任何方向的投影只能取

4、两个值 所以 的本征值都只能有两个值 即： （1）定义： (2) 性质 (A) 对易关系 得到 所满足的对易关系：由 二、泡利算符 (B) （单位算符） 证明： 算符在自身表象中的矩阵是对角矩阵，对角元 即为本征值。 的本征值都是 ， 有： 即： 于是 在自身表象中都是单位矩阵 所以有： 单位矩阵在表象变换下是不变的，即： 的本征值都是1， 则 用 左乘上式两边 (C) 反对易关系 用 右乘上式两边 两式相加 同样可以证明另外两式. 证明: 3、自旋算符矩阵表示 在适当表象中，可以将它们表示成矩阵。 通常选取 表象（即 表象）。 （1）泡利矩阵 算符在自身表象中的矩阵是对角矩阵，对角元 即算符

5、的本征值。 的本征值是 令: 可得： 由得： 为厄米矩阵： 则: 有: 由于 有： 且： 通常取 , 可得： 再由对易关系式 得到的泡利矩阵是 (2) 自旋算符矩阵： 记为:算符的本征值是 (3) 电子自旋角量子数 比较,得： 将上式与 算符的本征值 可知 与角量子数 相当，我们称 为自旋量子数。 只能取一个数值，即:自旋量子数 称为自旋磁量子数。 的本征值为： 由于 只能取两个数值 ，所以上式可以 写为两个分量 三、电子自旋态的表示方法 1. 考虑了电子的自旋，电子的波函数为 2. 把这两个分量排成一个二行一列的矩阵 若已知电子的自旋是，则 电子自旋是，则 3. 物理意义（玻恩统计解释） 表

6、示 时刻在 处周围单位体积中找到 自旋为 电子的概率密度； 表示 时刻在 处周围单位体积中找到 自旋为 电子的概率密度。 是在整个空间找到自旋 的概率。 是在整个空间找到自旋 的概率， 4. 波函数归一化表示为 5、力学量的平均值 包括自旋在内的一般的算符为: 算符 在 态中，对自旋和轨道求平均的结果是 算符 在 态中，只对自旋求平均的平均值是 其中 仅对x,y,z空间波函数作用 的普通算符，不包括对自旋的运算，对自旋的运算 是用矩阵描述。 一般电子的自旋与轨道运动互相有影响，若自旋 与轨道的相互影响可以忽略时或者在有些情况下， 不含自旋或为空间部分和自旋部分之和， 的本征 函数可分离变量求解

7、。 6、自旋与轨道运动无耦合情况 自旋算符只对自旋波函数 有作用。 是描写电子自旋状态的自旋波函数, 表示电子的自旋状态。 自旋变量只能取两个值： 为 的概率 用函数记号 表示算符的本征态.即： 自旋波函数可表示为： 由 得： 同理可得： 分别是 的本征矢量和 是正交归一波函数。 无外磁场 加强磁场 正常塞曼效应 7.3 简单塞曼效应 洛仑兹在没有引入自旋仅用经典电磁学理论进 行了解释。称为正常塞曼效应。 1896年塞曼（P. Zeeman）发现：置于强磁场中 的原子（光源）发出的每条光谱线都分裂为三条，间 隔相同。为此获1902年诺贝尔物理奖。 一、强磁场中的正常塞曼效应 类氢（或碱金属）原

8、子： 无磁场时能量本征方程为： 也是 的本征函数。 在强磁场中，因为外磁场很强，可以略去自旋 轨道耦合。波函数中自旋和空间部分可以分离变量。 哈密顿量 的本征态可选为守恒量完全集 的共同本征态。 有磁场时能量本征值为： 当 时， 当 时， 讨论： （1）跃迁规则： （2）每条光谱线都分裂为三条，间隔相同 Larmor频率 （3）不引入自旋也可解释正常塞曼效应 虽然能级 ,但对 譜线分裂无影响。 钠黄线的正常塞曼分裂 加强磁场 589.3nm 3p 3s 未加磁场 ms=1/2 ms=+1/2 1 0 -1 0 1 -1 当磁场较弱时，谱线分裂的数目可以不是三 条，间隔也不尽相同。 二、弱磁场中

9、的反常塞曼效应 反常塞曼效应（复杂塞曼效应）可以用电子 自旋与轨道相互作用来得到解释. 1897年普雷斯顿（T. Preston）发现： 在量子力学和电子自旋概念建立之前，一直不 能解释。称为反常塞曼效应（复杂塞曼效应）。 简记为: 7.4 两个角动量的耦合 一、角动量 1. 角动量的定义： 满足上述对易关系的矢量算符，称为角动量算符。 引入： 则有： 2、 的本征值和 （j取定后，m有2j+1个取值） 例：轨道角动量 例：电子的自旋角动量 二、两个角动量之和二、两个角动量之和 以 表示体系的两个角动量算符，它们满 足角动量的定义的一般对易关系： 以 表示 与 之和： 和 是相互独立的，则 的

10、分量和 的 分量都是可对易的： 称为体系的总角动量 它满足角动量的一般对易关系： 或： 这些对易关系必需证明,也很容易证明。 还有一些其他的对易关系也很容易证明： 三、无耦合表象与耦合表象 以 表示 和 的共同本征矢： 以 表示 和 的共同本征矢： 因为 相互对易 所以它们的共同本征矢： 在这个表象中， 都是对角矩阵。 组成正交归一的完全系。 以这些本征矢作为基矢的表象称为无耦合表象. 另一方面算符 也是相互对易的， 所以它们有共同本征矢 和 表示 和 的对应本征值依次为 和 以它们为基矢的表象称为耦合表象。 组成正交归一完全系， 基底 ： 维数 ： 封闭关系 ： 只对 作用， 只对 作用 。

11、 1、无耦合表象 封闭关系 ： 2、耦合表象 基底：不能区分角动量1和2了！ 表象变换矩阵元，不改变维数： 3、无耦合表象基底与耦合表象基底的变换 对于确定的 和 ,在 维子空间， 上式中 称为矢量耦合系数或 克来布希高登（ClebschGordon）系数 用算符 分别作用于上面展开式的两边， 三. C-G系数的性质证明： 1. 证明 由展开式: 再利用上面展开式代入上式左边得到 得到 由于作为基矢 是线性无关的，因此 仅当 时才有 或者在CG系数 中必有 经过移项，有 所以上面的展开式可以写成 有： 2.再证明 当 给定， 有 个取值： 当 给定， 有 个取值： 当 给定， 有 个取值： 显

12、然有： 因为： 所以有： 因此， 的取值系列为： 耦合表象基矢与无耦合表象基矢数目相等 3.最后证明 对于确定的 和 ，总角量子数 的取值系列为 称为角量子数条件 例如，电子的轨道和自旋的总角动量 当 当 四. CG系数的计算 CG系数计算较复杂，一般要利用群论方法。 现在已制成表，可供查阅。 两个角动量， 由上面讨论可知， 课本P185给出表格的内容是： 其中一个是电子的自旋即： 量子力学的基本原理量子力学的基本原理 量子力学的理论框架可以用以下五量子力学的理论框架可以用以下五 条基本原理来进行概括条基本原理来进行概括. . 一一. . 微观粒子或微观粒子体系的量子态微观粒子或微观粒子体系的

13、量子态 由波函数由波函数 ( (或一个矢量或一个矢量) )描写描写 。这种描述是完全描述。这种描述是完全描述。 二二. . 量子力学中的力学量由线性厄密算量子力学中的力学量由线性厄密算 符表示，而且该算符的本征函数构符表示，而且该算符的本征函数构 成完备系。成完备系。 算符的构成：算符的构成： ABC 三.当粒子处于 态时，测量力学量 得 到的值只能是 的本征值，测量得到 的相应的几率是 其中： 还有相应的连续谱的情况。 当然上面这些基本假设不能看作数学中公理那么严 格，但它确实给出了量子力学理论的重要框架。还 有一些内容没有全部包括在内。 其它还有例如: 态迭加原理：由薛定谔方程是线性的方程包括了 测不准关系：由算符的对易关系可以导出。 玻恩统计解释包括在上面第三条中了。