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1、1 第六讲 具有移动边界的热传导 问题 Stefan问题的解析 1 凝固问题简化的模型 x p t ( )X O dX w t t 能量平衡 x p t ( )X O dX w t t q 0 p c = ( ) pw conduct tt q X = latent dX q d = conductlatent qq= 相界面的位置 ( ) pw tt dX Xd = () ( ) pw tt dXdX = () 2 ( ) ( ) pw tt X X = : 相界面的移动速度 () 2 1 pw tt dX d dX d = : 2 过冷液体的凝固问题 x l t ( )X O dX p t
2、 t 2 数学模型和定解条件 2 2 0 ( ) ll l l l lXp tt a x xtt tt tt tdX xd = = = = = 数学模型的待定系数法 ()1() 44 ll xx erfcerf aa = 2 2 ll l tt a x = 从前面半无限介质的导热半无限介质的导热问题的解可知 是方程 的一个解。我们试探 () 4 l l x ttBerfc a =+ 能否成为上面问题的解。 检查边界条件和初始条件 () 4 ()0 4 0()0 4 () 4 l l l l l l lXpp l x ttBerfc a x xerfctt a x erfctt a X tttt
3、Berfc a =+ = = =+ 相界面的条件 () () 2 2 () 4 () 4 4 ( ) 2( ) exp 4 1 exp lXpp l p l p pl l llll l lll X ttttBerfc a tt B X erfc a tt tconstXkaB erfc k k atdX Bk xda Bkka =+ = = = = 相界面位置的求解 () ()2 2 1 exp ( ) lll plp k Bkka ctt ke erfc k = = 从以上超越方程即可求出界面的位置。 值得注意的是相界面4 l Xka= 3 半空间的溶解过程 x l t ( )X O dX
4、p t t 0 t 3 控制方程和边界条件 2 2 0 0 0 ( ) ll l l lp lXp ll tt a x xtt tt tt tdX xd = = = = = 数学模型的待定系数法 () 4 l x erf a 2 2 ll l tt a x = 从前面半无限介质的导热问题的解可知 是方程 的一个解。我们试探 0 () 4 l l x ttBerf a =+ 能否成为上面问题的解。 检查边界条件 0 0 0 () 4 0()0 4 () 4 l l l l lXpp l x ttBerf a x xerftt a X ttttBerf a =+ = =+ 相界面的条件 () 0
5、00 0 2 2 () 4 () 4 ()() 44 4 ( ) 2( ) exp 4 1 exp 4 lXpp l pp l l ll p pl l llll l lll l X ttttBerf a tttt x Btterf XX a erferf aa tt tconstXkaB erf k k a tdX Bk xda k Bka a =+ =+ = = = 相界面位置的求解 ()2 2 0 1 exp 4 ( ) lll l plp k k Bka a ctt ke erfc k = = 从以上超越方程即可求出界面的位置。 值得注意的是相界面4 l Xka= 4 半空间内的凝固过程
6、 x l t ( )X O dX w t t l l s s p t 4 控制方程和边界条件 2 2 2 2 0 0 ( ss s sw ll l l l sl sll lsp tt a x xtt tt a x xtt tt ttdX xxd ttt = = = = = = = 相界面） 待定系数法 =+ =+ 4 4 erf() erfc() sw s l l x ttA a x ttB a = = +=+ 4 4 44 erf erfc erferfc pw s p l w sl X ttA a X ttB a XX tAtB aa 相界面 试探解中的系数 ( ) ( ) = = +=+
7、 = 44 44 erf erfc erferfc erf erfc pw ss s p l ll s w l pwp s l XX ttAk aa aXX ttBk a aa a tAktBk a tttt AB k a k a 解的形式 ( ) = = 4 4 erf() erf erfc() erfc s sw pw l l p s l x att ttk x att tt a k a 相界面的位置 () 2 2 ( ) () s l sl sll a k ak p ls slpw plpws l ttdX xxd tta eek erf ka ttctta erfc k a = +=
8、5 轴对称的凝固问题 r l t ( )X O dX w t t l l s s p t 线 热 汇 5 控制方程和边界条件 0 ( sss lll l l sl sll lsp tat r rrr tat r rrr rtt tt ttdR rrd ttt = = = = = = 相界面） 待定系数法 = = = = = 2 2 2 2 4 4 0 4 4 2 2 2 4 Ei () Ei () lim s l s s l l r a s r a l sl sl r s r tAB a r ttC a tB e rr tC e rr tQ rQB r 待定的系数 += = += = 22 2
9、2 2 2 444 4 4 4 Ei()Ei() Ei()Ei() Ei() Ei() v p ssl vs p sl p v p ss l RR AtCt aa Rka a AktCkt a tt AtkC a k a 解的形式 = = =+ = 2 2 2 2 2 2 4 4 444 4 Ei () Ei () Ei()Ei () Ei () Ei() s s l l vv sp sss p l s l l r tAB a r ttC a r ttk a tt r tt aa k a 相界面的位置 222 2 exp()exp() 4 Ei() p ls lll s l l tt Qa k
10、kka a a k a += 半无限大介质中的导热问题及解 = = = = = 2 2 2 0 0 4 0 0 0 0 0 0 2 4 1 4 eerf() erf() x a tt ax x xtt xtt tt ttx d tt a ttx tt a 第六讲 具有移动边界的热传导 问题 Stefan问题的解析 1 凝固问题简化的模型 x p t ( )X O dX w t t 能量平衡 x p t ( )X O dX w t t q 0 p c = ( ) pw conduct tt q X = latent dX q d = conductlatent qq= 相界面的位置 ( ) pw
11、 tt dX Xd = () ( ) pw tt dXdX = () 2 ( ) ( ) pw tt X X = : 相界面的移动速度 () 2 1 pw tt dX d dX d = : 2 过冷液体的凝固问题 x l t ( )X O dX p t t 数学模型和定解条件 2 2 0 ( ) ll l l l lXp tt a x xtt tt tt tdX xd = = = = = 数学模型的待定系数法 ()1() 44 ll xx erfcerf aa = 2 2 ll l tt a x = 从前面半无限介质的导热半无限介质的导热问题的解可知 是方程 的一个解。我们试探 () 4 l
12、l x ttBerfc a =+ 能否成为上面问题的解。 检查边界条件和初始条件 () 4 ()0 4 0()0 4 () 4 l l l l l l lXpp l x ttBerfc a x xerfctt a x erfctt a X ttttBerfc a =+ = = =+ 相界面的条件 () () 2 2 () 4 () 4 4 ( ) 2( ) exp 4 1 exp lXpp l p l p pl l llll l lll X ttttBerfc a tt B X erfc a tt tconstXkaB erfc k k atdX Bk xda Bkka =+ = = = = 相界面位置的求解 () ()2 2 1 exp ( ) lll plp k Bkka ctt ke erfc k = = 从以上超越方程即可求出界面的位置。 值得注意的是相界面4 l Xka= 3 半空间的溶解过程 x l t ( )X O dX p t t 0 t 控制方程和边界条件 2 2 0 0 0 ( ) ll l l lp lXp ll tt a x xtt tt tt tdX xd = = = = = 数学模型的待定系数法 () 4 l
