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1、第三节 矢量场的通量与散度 1.通量 2.散度 观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的) 曲面分上侧和下侧闭曲面分内侧和外侧 能区分出曲面的侧 的曲面叫做双侧曲面. 曲面还有左侧和右侧，前侧和后侧. 选定了侧的双侧曲面称为定向曲面或有向曲面. 用表示选定了某个侧的定向曲面，则选定其相 反侧的定向曲面用表示. 注意： 与是不同的曲面. 1.通量 设 表示流体的 流速场，为场中的一片定向曲面，欲求单位时间内 流体由曲面负侧经曲面流向正侧的流量。 实例: 流向曲面一侧的流量. 分割把曲面细分成小块 任取一典型的微元 在其 上任取一点 设其面积也记成 曲面 在点 处的单位法向量 M S dS 单位时间流
2、经曲面微元 的流量 可近似地看 做一细柱体，底面为 ，高为 故 求和 单位时间流 经的流量： 取极限 流量 的精确值 ，取极限得到 定义 设 是一向量场，是场中的一 定向曲面，称 为向量场 流经曲面的通量通量. . 记 当 是电位移向量，则 就是穿过曲面的电通量， 当 是磁感应强度，则 就是穿过曲面的磁通量. . 则 在单位时间流经曲面的通量为为 Gauss公式 设 是空间的有界闭区域，其边界 由有限光滑 或分片光滑的曲面所组成，取外侧， (2.1) 例3 求向量场 穿过由曲面 和 所围成立体表面外侧的通量。 O y x z 解 设 表示曲面 和 所 围立体，其表面外侧为 ，则 所求通量为 由
3、Gauss公式 利用球坐标系， 设 是一个不可压缩的稳定的流速场， 对于场中任一点M，在点M的某邻域作一张包围M的光 滑封闭曲面 ，取外侧，记 所围的区域为 ，这时， 表示单位时间从 经 流向外侧的流量 ，而 ( 2.2 ) 2.散度 表示单位时间从单位体积流出 的平均流量，称为 在 的平均源强， 越小，(2.2)就能越好地近似描述 场 在点M处的源的强度，令 收缩到M,记成 , 所得极限 就可用来刻划 在点M处的源的强度。 ( 2.3 ) 定义 设 是一个向量场,若极限(2.3)存在且与 无关， 则称之为场 在点M处的散度,记为 ， 即 ( 2.4 ) 下面我们建立散度在直角坐标系下的表达式 定理 设 则 在点M处的散度 Gauss公式可写成 ( 2.6 ) 它有明显的物理意义，设 为不可压缩的稳定的流速 场，(2.6)右端的三重积分表示单位时间 内所产生的 流体的总量，而左边的曲面积分表示单位时间流体通 过 的边界曲面流向外侧的流量，二者应当相等。所 以(2.1)和(2.6)又称为散度定理. 散度的性质 例6 设 表示在 原点的点电荷q所产生的静电场的电位移向量，求 利用Hamilton的算子 ，散度及其性质可表述为
