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1、 数学模型与数学实验课题设计交通流量问题论文院系： 理学院班级：信息1103姓名： 陈小宇 学号：201101010328 指导老师：党林立 数学建模与数学实验 课程设计任务书题 目 交通流量问题数学模型学生姓名 陈小宇学号201101010328专业班级信息1103班设计内容与目的【问题描述】 通拥堵是指在一定时间内想要通过某路段的车辆总数（交通需求）超过了某路段在该段时间内道路所能通过的最大车辆总数（道路的通行），从而导致车辆滞留在道路上的交通现象【实验步骤】1开启MATLAB软件平台，开启MATLAB编辑窗口；2根据问题，建立的线性规划模型，并编写求解规划模型的M文件；3保存文件并运行；
2、4观察运行结果(数值或图形)，并不断地改变参数设置观察运行结果；5根据观察到的结果和体会，写出实验报告。【课程设计目的】1 学习最优化技术和基本原理，了解最优化问题的分类；2 掌握线性规划的建模技巧和求解方法；3 熟悉MATLAB软件求解线性规划模型的基本命令；4 通过范例学习，熟悉建立线性规划模型的基本要素和求解方法。通过该实验的学习，使学生掌握最优化技术，认识面对什么样的实际问题，提出假设和建立优化模型，解决现实生活中的最优化问题。起止时间2014 年 6 月2日 至 2014 年6月 10 日指导教师签名党林立 2014年 6 月 2 日 系（教研室）主任签名 2014年6 月 2日学生
3、签名2014年6 月 2日1 摘要本篇用微观分析着眼于交通流运行中每一辆机动车的运动情况。每一辆车被当作一个质点来处理。这种处理方法的前提是已知每一辆车的位置，速度，和加速度。本篇只讨论最简单的模型，即理想化为在一条平直公路上行驶的车辆，车辆之间不允许超车。在t=0的时候，所有车辆均以匀速行驶。在t=0+时，领头的车开始偏离u0一段时间，这样就对原来稳定的状态产生了波动，使他们调节自身的速度来协调这种波动。主要有以下两个方面：1 1对于连着的两辆车，在哪种情况下，前一辆车的偏离行为会导致后一辆车的过度补偿行为？即后一辆车的调整是否超过了所需要的调整范围，从而产生了一种类似于钟摆式简谐运动的振动
4、。若这种振动的幅度不随时间衰减，就形成了车流问题的“局部稳定”。2. 对于一列车辆，在哪种条件下，领头车辆引起的小小扰动会随着他的继续行驶而增 大，从而引起这一列中车辆之间的碰撞？这是车流问题中的渐进稳定性问题。为了解决这两个问题，本篇将具体讨论解决时间滞后的不同方程。2 背景现代社会的日常活动在极大程度上依赖于安全高效的交通流。在过去的一些建模的例子中都有不同程度的讨论这个问题。它能帮助降低交通阻塞和交通事故，从而实现更好的路况，设计出更好的交通灯体以及行之有效的交通法规。本篇从简单的模型出发，分层逐步细化模型的讨论及求解，以期能对交通流问题作另一种特别的阐述。3 建模及求解1 瞬时速度的控
5、制 取公路为x轴，车辆运动的方向为x正向。为T时刻第n辆车的位置。 且 为方便起见，取一个参考系，以的速度为参考速度这样 即为初始条件做第一个近似处理，假设第N辆车的司机根据它与前一辆车的相对速度来调整自身车速，则有, , (1.1), n=1,2,3,N (1.2)作为一个简单的模型，假设所有司机反应灵敏程度相同，即一致，是一个常数，据有关实验，（GENERAL MOTORS 所做的实验），介于之间，取一旦领头的车偏离则由初始条件及通式(6.2)可依次算出(n=1,2,3,N)对于整个车流问题，我们关心的是它的稳定性，即领头车辆的扰动会不会引起放大，因此我们假设并展开成傅力叶级数，有 其中u
6、为振幅，为初相，且 (1.4)由于时， 由 (1.3) 有 (1.5)同理 ; 以此类推, 由于 当k与t很大, 将相当小因此有结论：任何由领头车辆产生的扰动，都不回随着车辆的运行而被放大，这个结论从显示意义上来看显然是错误的。2考虑滞后时间的速度控制以上建模失败的原因是：司机的反应时间被忽略了，因为司机不可能在前车改变速度的同时就观察到相对速度的变化；(2) 观察到变化的同时作出反应（踩油门或刹车）；(3) 作出反应的同时完成所需的动作。因此，修改（1，2）式 (t1) n=1,2,.N-1 (2.1)根据实验数据，滞后时间T在范围内，另有辅助条件,即初始条件 n=1,2,3,N-1 (2.
7、2)在大多数情况下，领头车辆的运动状态为已知量 定义 (2.3)由于 对于有 (2.4)以及 (2.5)由于 （2.3）的不定积分存在，在（2.1）两边同乘以，并在（0,）上积分，有或 (2.6)在的情况下，可得 (2.7)且由（2.6）（2.7）得(2.8)此处 是的拉普拉斯变换，不能从手册中找到，并且得到的结果预计也回很复杂，而很难得出有用的结论，因此，考虑用初等的方法解决。3. 对滞后时间的近似处理对（2.1）（2.2）进行泰勒展开 (3.1)若T不大，可以保留前两项得出近似解 (3.2)对于 这个一阶普通微分方程，在n=1时的通解为 (3.3) (3.4)对于 n2可类似求得，结构与（
8、3.3）相似当 时，可由上看出车辆运动情况的振幅将不随的增加而放大，时，也是一样，得出结论：（3.2）式的第一个近似可以知 ，若 ，车辆的运动状况将局部渐近稳定。若保留更多项则可以得到更精确的结果，保留T中的四次项，由（2.1）式有 (3.5)如前所述，影响稳定性的一个因素来自（3.5）式的补充解。用 表达补充解的特征指数是（3.7）的解： ()+(1-=0 (3.6)(3.6)的两个根为： （）= （3.7） 显然将导致失稳。但是否成立将影响到 。对于，车辆运动的形式将逐步衰减（类似于阻尼振动）。对于n=1及 u=sint +t （3.8） 且 （3.9）从（3.9）可得，若 ，领头车辆的扰
9、动将不会被放大对应于式（3.2）的结果，使 的取值范围大幅度减小有结论：由（3.5）近似的模型控制的车流，在 时局部渐进稳定。关于 的准则可能会因为更高次项的影响而改变。因此我们不寻求一个对高次项的影响的评价，而是由初始模型（2.1）（2.2）直接分析。4. 局部及渐进稳定性对于T=0，寻求一个辅助解 （4.1）并以指数形式出现u(t)=Ve(V,是常数) （4.2）当且仅当所有的补充解都以（4.2）形式出现且时， （4.1）是局部稳定的对于 ，（4.1）要求 是方程（4.3）的一个解 （ （）作图得1.01/e, 无实根若（4.3）的一些实根是复数，则由领头车辆所引起的扰动仍将被衰减，前提是
10、Re()0 下面讨论这将对产生什么限制使 z=x+iy 由（4.3）得 x=( )ecos y , y=( )esin y （4.4）若y=0,就还原为（4.3），即实数解若 (4.4)等价, (4.5)(4.5)的第一个方程表现为附图的抛物线（虚线围成的），第二个方程则用实线表示，在的范围内，虚线和实线在 x=0 处及 ，所以有实部为负数的根，从图中也可明显看出，对于 ，（4.5）的所有根的实部都为负数，也就是说，在实线和虚线中所有交点都在x=0 以下，相对应的 的值大于 ，因此，对于（6.24）所有指数解，必须使 ，对于， 在 的范围内虚线和实线并不想交，但是在x0 且 时相交，因此（4.
11、3）在 的范围内无虚根综合，对实数和复数范围内的分析有结论： 系统（2.1）在， 的条件下局部稳定，（以上分析等价于 中零点的位置）回到（4.1）的特解，再考虑 ,t0 的情况，期待一个特解，以 形式出现，由降系数的方法得到： C= (4.6)其中 (4.7)因此 (tT)类似得可得 的相应的特解形式为因此，除非 或 ，领头车辆的钟摆式的扰动将随着它的行驶而放大，若 对于所有（2.1）系统是渐近稳定的，由于 , 有结论：若系统将渐近稳定。四模型评价对于 和T=1.5可以得到比0.5稍大考虑到（2.1）是一个相对粗糙的近似，所得到的结果也并不是绝对的，即使稍微超出边界条件也是允许的，总之，以上的分析讨论的确证实：在高速公路上发生车祸的可能性要比我们大多数人想象的要大，因此，高速公路上常设置有明显醒目的柱子，以提示人们注意安全。
