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1、第七章 参数估计1设总体服从区间上的均匀分布，为其样本，求总体参数 q 的矩估计量解 由总体服从区间上的均匀分布，可得总体的数学期望 由矩估计法，令解得 为参数 q 的矩估计量2设总体X的分布密度为 总体X的一组观测值为0.63 ，0.78 ，0.92 ，0.57 ，0.74 ，0.86求总体参数 q 的矩估计值解 由X的数学期望计算公式，有 按矩估计法建立方程解得q 的矩估计为 计算样本均值的观察值，有所以3. 设总体X的分布密度为求总体参数 q 的矩估计量.解 根据总体X的密度函数易知，总体X服从参数为的指数分布，因此有 按矩估计法建立方程，即得亦即参数 q 的矩估计量为 4设总体X U
2、，（X1 ，X2 ， ，Xn）为其样本，求总体参数 、 的矩估计量解 令 ， 按矩估计法可建立方程组解得 、 的矩估计为5设总体X B（N ，p），（X1 ，X2 ， ，Xn）为其样本，求未知参数N 、p的矩估计量解 令 ， 按矩估计法可建立方程组解得N 、p的矩估计量6设电话总机在某段时间内接到呼唤的次数服从泊松分布P(l) 现收集了42个数据如下：接到呼唤的次数012345出现的频数71012832试求未知参数 l 的极大似然估计量，并根据已知数据求出 l 的估计值解 设表示总体，为来自总体的样本，为样本观测值.似然函数为取对数，得 由似然方程 解得的极大似然估计值为 对应极大似然估计量为
3、 代入题中数值，得=1.9 则有 =1.9 7设（X1 ，X2 ， ，Xn）是来自总体X的一个样本，试求未知参数 q 的极大似然估计量，设总体X的分布密度分别为：（1） p(x ；q ) = ；（2） p(x ；q ) = （其中 a 0为已知常数）；（3） p(x ；q ) = 解 （1）设对应的样本观察值为，建立似然函数为对数似然函数为求导数得到似然方程解方程得故 q 的极大似然估计量为 (2) 建立似然函数为对数似然函数为求导数得到似然方程解方程得故 q 的极大似然估计量为(3) 建立似然函数为对数似然函数为求导数得到似然方程解方程得 故 q 的极大似然估计量为 8设X1 ，X2 ， ，
4、Xn 是总体X N（0 ，）的一个样本， 求方差 的极大似然估计解 设对应的样本观测值为 建立似然函数为对数似然函数为求导数得到似然方程解方程得故 的极大似然估计量为 习题7.21设（X1 ，X2 ，X3）是来自总体X的样本，已知 ， ， （1） 、 、 中哪个是总体均值 m 的无偏估计量？（2） 在所给的总体均值的无偏估计量中哪个更有效？解 (1) 因为 故与为的无偏估计量，但不是的无偏估计量(2) 因为 可见所以比为更有效.2设总体X Uq 2 ，q ，证明未知参数 q 的矩估计量是无偏估计量解 由题意, ，得q = 2EX 2 , 故q的 矩估计量为因为所以为的无偏估计. 3设总体X的均
5、值已知，方差 未知，（X1 ，X2 ， ，Xn）为其样本，证明： 是 的无偏估计证 因为 所以估计量是无偏的。4设 及 是 q 的两个独立的无偏估计量，且假定D = ，求常数c1 及c2 ，使 为 q 的无偏估计，并使得 达到最小解 若为 q 的无偏估计，则要即要，得到. 因为 及 是q 的两个独立的无偏估计量，且D = , 则 当时，最小，此时. 即当，时，为 q 的无偏估计且方差最小. 习题7.31通常某个群体的考试成绩均近似地服从正态分布， 现抽样得到某高校16名学生某次英语四级考试成绩如下：75 ，63 ，82 ，91 ，54 ，77 ，68 ，84 ，95 ，49 ，76 ，69 ，
6、72 ，80 ，71 ，88（1） 设已知该校英语四级考试成绩的标准差 s = 15 ，试求考试平均成绩 m 的置信度为0.95的置信区间；（2） 若标准差未知，该校考试平均成绩 m 的置信度为0.95的置信区间为何？解 (1) 计算得到 ，由，查标准正态分布表可得则的0.95的置信区间为即为。(2) 总体标准差未知，查t分布表可得 所以的0.95的置信区间为 即为。2某厂生产一批金属材料，其抗弯强度（单位：kg）服从正态分布现从这批金属材料中随机抽取11个试件，测得它们的抗弯强度为：42.5 ，42.7 ，43.0 ，42.3 ，43.4 ，44.5 ，44.0 ，43.8 ，44.1 ，4
7、3.9 ，43.7（1） 求平均抗弯强度 m 的置信度为0.95的置信区间；（2） 求抗弯强度标准差 s 的置信度为0.90的置信区间解 (1) 计算样本均值与样本均方差，得 由于总体未知，由，查t分布表可得所以的0.95的置信区间为 即为。(2) 总体未知，, 查分布表得所以的0.90置信区间为 即为。3设总体X N （其中 为已知数），（X1 ，X2 ， ，Xn）为其样本，试导出未知参数 的置信度为1 a 的置信区间解 利用总体X的样本（X1 , X2 , , Xn）, 构造枢轴量由定理知.由题意则即从而的置信区间为*4设总体X ，总体Y ，分别独立地从这两个总体中抽取样本，样本容量分别为
8、16和24，样本均值分别为16.9和15.3. 求这两个总体均值差的置信水平为的置信区间解 当均为已知时，因为，所以 对给定的置信水平，查标准正态分布表可得，使得即 由此得的置信水平为的置信区间为这里为已知，置信水平，由公式有，的置信水平为的置信区间为公式中，且查表得，则所求为 即 *5某厂生产甲、乙两种型号的仪表为比较其无故障运行时间（单位：小时）的长短，检验部门抽取了甲种仪表25只，测得其平均无故障运行时间为 = 2000 ，样本标准差s1 = 80 ；抽取了乙种仪表20只，测得其平均无故障运行时间为 = 1900 ， 样本标准差s2 = 100 假设两种仪表的无故障运行时间均服从正态分布
9、且相互独立，求：（1） 两总体均值之差 的置信度为0.99的置信区间， 假设已知两种仪表的无故障运行时间的方差分别是3844和5625 ；（2） 两总体方差之比 的置信度为0.90的置信区间解 (1) 经计算可得 由，得. 查标准正态分布表得则由公式知两总体均值之差 置信区间为即为 (2) 由，得. 查F分布表得则由公式知两总体方差之比 的置信度为0.90的置信区间为即为. 综合练习七一、填空题1设总体X B(4 ，p) ，（X1 ，X2 ， ，Xn）为其样本，则未知参数p的矩估计量为 = ( )2设总体X U0 ，2 q ，（X1 ，X2 ， ，Xn）为其样本，则未知参数 q 的矩估计量为
10、3设总体X e（l），（x1 ，x2 ， ，xn）为其样本观测值，则参数 l 的极大似然估计为= ( ) 4设总体X有方差 ，B2 为2阶样本中心矩，则5若随机区间( ，) 是未知参数 q 的置信度为1 a 的置信区间，则表明对于任意给定的 a （0 a 1），有P ( q ) = ( 1 a ) 二、选择题1设总体X有方差D X = ，（X1 ，X2 ， ，Xn）为来自总体X的样本，令T = 则E( T) = ( (d) ) (a) ； (b) ；(c) ； (d) 2设总体X的期望为 ，（X1 ，X2）为来自总体X的样本，则下列统计量中( (d) ) 不是未知参数 m 的无偏估计(a) ；
11、 (b) ；(c) X2 ； (d) 3设总体X N（m ，） （其中 m 、 均未知），（X1 ，X2 ， ，Xn）为其样本，则 m 的置信度为1 a 的置信区间为 ( (c) ) (a) ；(b) ；(c) ；(d) 4已知某总体的未知参数 q 的置信度为1 a的置信区间为 ( ，) ，则 ( (c) ) (a) q ( ，) ；(b) q 落入随机区间 ( ，)的概率为1 a ；(c) 随机区间 ( ，)包含 q 的概率为1 a ；(d) 对于 、的任意一组观测值 ， 均成立 q ( ，) 5设总体X服从正态分布N（m ，） （ 已知），若使未知参数 m 的置信度为1 a的置信区间的长度不超过k ，则样本容量n应不小于 ( (c) ) (a) ； (b) ；(c) ； (d) 三、解答题1设为来自总体X的样本，X的密度函数为其中是未知参数，求 q 的矩估计量解 因按矩估计法建立方程 可解得q 的矩估计量为 2设总体X的密度函数为（1）为来自总体X的样本，求总体参数 q 的矩估计量；（2）若总体X的一组观测值为0.6 ，0.8 ，0.9 ，0.
