《第八章矢量算法与场论初步张量算法与黎曼几何初步section2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第八章矢量算法与场论初步张量算法与黎曼几何初步section2（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2 场论场论初步初步 、 场论的基本概念及梯度、散度与旋度 标量场 空间区域 D的每点 M(x,y,z)对应一个数量值(x,y,z)，它在此空间区域 D 上就 构成一个标量场，用点 M(x,y,z)的标函数(x，y，z)表示.若 M 的位置用矢径 r 确定，则标量可 以看作变矢 r的函数(r). 例如温度场u(x,y,z),密度场,电位场 e(x,y,z)都是标量场.),(zyx 矢量场 空间区域 D的每点 M(x，y，z)对应一个矢量值 R(x，y，z)，它在此空间区域 D 上 就构成一个矢量场，用点 M(x，y，z)的矢量函数R(x，y，z)表示.若 M 的位置用矢径 r 确定，则矢 量
2、r 可以看作变矢r的矢函数的矢函数R(r)： R(r)X(x，y，z)iY(x，y，z)jZ(x，y，z)k 例如流速场 (x，y，z)，电场 E(x，y，z)，磁场 H(x，y，z)都是矢量场. 与标量场的情况一样，矢量场概念与矢函数概念，实质上是一样的.沿用这些术语(标量场、 矢量场)是为了保留它们的自身起源与物理意义. 梯度 grad(，)=ijk x y z x y z 式中=ijk称称为为哈密哈密顿算子,也称为耐普拉算子.grad 有的书刊中记作 del. x y z grad 的方向与过点(x，y，z)的等量面C的法线方向 N 重合，并指向增加的一方， 是函数变化率最大的方向，它的
3、长度等于. N 梯度具有性质： grad() gradgrad (、为常数) grad() grad grad gradF() grad F 方向导数 lgradcoscoscos l x y z 式中 l(cos,cos,cos)为方向 l 的单位矢量,为其方向角. 方向导数为在方向 l 上的变化律，它等于梯度在方向 l 上的投影. 散度 divR=R=div(X , Y , Z) x X y Y z Z 式中为哈密顿算子. 散度具有性质： div(ab) divadivb (、为常数) div(a)div aa grad div(ab)brot aarotb 旋度 rotR()i()j()
4、k=R= z Y y Z x Z z X y X x Y ZYX zyx kji 式中为哈密顿算子，旋度也称涡度，rot R有的有的书书刊刊中记作 curl R. 旋度具有性质： rot(ab) rot arot b (、为常数) rot(a)rot aagrad rot(ab)(b)a(a)b(div b)a(div a)b 梯度、散度、旋度混合运算 运算 grad 作用到一个标量场产生矢量场 grad，运算 div作用到一个矢量场 R产产生生标标量量场 div R，运算 rot作用到一个矢量场 r 产生新的矢量场 rot R.这三种运算的混合运算公式如下： div rot R rot gr
5、ad div grad = 2 2 x 2 2 y 2 2 z grad div R(R) rot rot R(R) div grad(+)= div grad+div grad (、为常数) div grad()=div graddiv grad gradgrad grad div Rrot rot RR 式中 为哈密顿算子， 为拉普拉斯算子. 势量场(守恒场) 若矢量场 r(x，y，z)是某一标函数(x，y，z)的梯度，即 Rgrad 或 X，Y，Z x y z 则 r 称为势量场，标函数称为R的的势势函数函数. 矢量场 r 为势量场的充分必要条件是：rot R，或 =,=,= y X x
6、 Y z Y y Z x Z z X 势函数计算公式 (x，y，z)(x0，y0，z0) x x xzyxX 0 d, 00 y y yzyxY 0 d, 0 z z zzyxZ 0 d, 无散场(管形场) 若矢量场 r的散度为零，即 div R0，则 r 称为无散场.这时必存在一 个无散场T，使 Rrot T，对任意点 M有 T 1 4 V r d rotR 式中 r 为 dV到M的距离，积分是对整个空间进行的. 无旋场 若矢量场 r的旋度为零，即 rot R0，则 r 称为无旋场.势量场总是一个无旋场， 这时必存在一个标函数，使 Rgrad，而对任意点M 有 1 4 V r d divR
7、式中 r 为 dV到M的距离，积分是对整个空间进行的. 、 梯度、散度、旋度在不同坐标系中的表达式 1单位矢量的变换 一般公式 假定 x=f(),y=g(),z=h()把()空间的一个区域 , , , , , , , , 一 对一地连续映射为(x，y，z)空间的一个区域 D，并假定 f，g，h都有连续偏导数，因为对 应是一对一的，所以有 (x，y，z)，x y zx y z, , , 再假定也有连续偏导数，则有 , dddd dddd dddd zzz z yyy y xxx x 或逆变换 z z y y x x z z y y x x z z y y x x dddd dddd dddd 沿
8、 dx，dy，dz 方向的单位矢量记作 i，j，k，沿方向的单位矢量记作，则有d,d,d eee, 222 222 222 zyx zyx zyx zyx zyx zyx kji e kji e kji e 圆柱面坐标系的单位矢量 对于圆柱面坐标系(图 8.11) zz y x sin cos 002 ,z 单位矢量为 ke jie jie z cossin sincos 它们的偏导数为 0 0 0 zzz z z z e ee e ee e e e e e , 球面坐标系的单位矢量 对于球面坐标系(图 8.12) cos sinsin cossin rz ry rx 0020 r, 单位矢量
9、为 jie kjie kjie cossin sinsincoscoscos cossinsincossin r 它们的偏导数为 ee e e e e e 0 e e e e e 0 e ee cossin,cos,sin , r r r r r rrr 2矢量的坐标变换 一般公式 一个由(x，y，z)坐标系所表达的矢量可以用()坐标系来表达: , , (， y，z) i y jz k x x eee 式中 222222222 222222222 222222222 zyx z zyx z zyx z zyx y zyx y zyx y zyx x zyx x zyx x z y x 圆柱面坐标系与直角坐标系的互换 由圆柱面坐标系到直角坐标系的变换公式 zz y x cossin sincos 由直角坐标系到圆柱面坐标系的变换公式 zz yx yx cossin sincos 球面
