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1、简单的计数问题 萧县凤山中学 祖纷 一、课题引入 本课我们主要通过共同解决几个简单的计数问 题来进一步理解基本计数原理、掌握计数中一些 常用方法与技巧。同学们最喜欢听技巧，最好来 “四两拨千斤”，要知道如果用杠杆原理来做的 话，你的运动位移是抬起高度的2500倍，你以 更长的位移换取更小的力。 数学上大概也如此，想到用更简洁的方法与技巧， 大概要付出更长的思考时间，当然数学上更长的思考 时间可以在平时进行，还是那句老话，“一份辛苦， 一份收获”。对于组合数学我很欣赏。不妨从一 个简单的例子来展示一下。 二、典例分析 例12名女生，4名男生排成一排 （1）2名女生相邻的不同排法共有多种？ （2）
2、2名女生不相邻的不同排法共有多种？ （3）女生甲必须排在女生乙的左边（不一定 相邻）的不同排法共有多少种？ 解：（1）“捆绑法”：将2名女生看成一个 元素，与4名男生共5个元素排成一排，共 有 种排法，又因为2名相邻女生有 种排法 ， 因此不同的排法种数是 （2）方法一：（插空法） 分两步完成： 第一步，将4名男生排成一排，有 种排法； 第二步，排2名女生由于2名女生不相邻， 故可在4名男生之间及两端的5个位置中选出2个 排2名女生，有 种排法 根据分步计数原理 ， 不同的排法种数是 种 方法二：（间接法） 因为2名女生的排法只有相邻与不相邻两种情况 ， 所以由（1）的结果可知，2名女生不相邻
3、的不同 排法共有 种 （3）方法一：（特殊元素优先考虑）分2步成： 第一步，排2名女生由于女生顺序已定，故可从 6个位置中选出2个位置，即 ；第二步，排4名 男生 将4名男生排在剩下的4个位置上，有 种方法 根据分步计数原理，不同的排法种是 方法二：（除法） 如果将6名学生全排列，共有 种排法其中，在男生位置确定之后，女生的排法 数有 种，因为女生的顺序已定，所以在这 中排 法中，只有一种符合要求，故符合要求的排法 数为 种 例2高二（1）班有30名男生，20名女生，从 50名学生中 3名男生，2名女生分别担任班长、 副班长、学习委员、文娱委员、体育委员，共有 多少种不同的选法？ 解：完成这件
4、事分三步进行： 第一步，从30名男生中选3名男生，有 种方 法； 第二步，从20名男生中选2名男生，有 种 方法； 第三步，将选出的5名学生进行分工，即全排列 有 种方法 根据分步计数原理，共有 种选法 思考：如果上述问题解答分两步：先从30名 男生中选3名担任3种不同职务，再从20名女 生中选2名女生担任不同职务，则结果为 ， 这样做对吗？为什么？（从30名男生中选3名 担任3种不同职务的方法数应为 . 说明：排列、组合综合问题通常遵循“先组 合后排列”的原则 三、课堂小结 1、解决有关计数的应用题时，要仔细分析事件的发生、发 展过程，弄清问题究竟是排列问题还是组合问题，还是应直 接利用分类
5、计数原理或分步计数原理解决一个较复杂的问 题往往是分类与分步交织在一起，要准确分清，容易产生的 错误是遗漏和重复计数； 2、解决计数问题的常用策略有：（1）特殊元素优先安排； （2）排列组合混合题要先选（组合）后排；（3）相邻问题 捆绑处理（先整体后局部）；（4）不相邻问题插空处理； （5）顺序一定问题除法处理；（6）正难则反，合理转化 四、课堂练习 1某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项 目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，求 该外商不同的投资方案有多少种？ 2有3张都标着字母A,6张分别标着数字 1,2,3,4,5,6的卡片，若任取其中5张卡片组成牌号 ， 求可以组成的不同牌号的总数 五、作业 教材练习第2、3、4题. 谢谢!
