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1、 区间估计的思想 点估计总是有误差的，但没有衡量偏差程度的量， 区间估计则是按一定的可靠性程度对待估参数给出一个 区间范围。 引例 设某厂生产的灯泡使用寿命XN（，1002），现 随机抽取5只，测量其寿命如下：1455，1502，1370， 1610，1430，则该厂灯泡的平均使用寿命的点估计值为 可以认为该种灯泡的使用寿命在1473.4个单位时间左右， 但范围有多大呢？又有多大的可能性在这“左右”呢？ 如果要求有95%的把握判断在1473.4左右，则由U统计 量可知 由 查表得 置信水平、置信区间 设总体的分布中含有一个参数，对给定的，如果 由样本（X1，X2，Xn）确定两个统计量 1（ X
2、1，X2，Xn ）， 2（ X1，X2，Xn ）， 使得P1 2=1- ，则称随机区间（ 1 ， 2 ）为 参数的置信度（或置信水平）为1- 的置信区间。 1置信下限 2置信上限 几点说明 1、参数的置信水平为1-的置信区间（ 1， 2） 表示该区间有100（1-）%的可能性包含总体参 数的真值。 2、不同的置信水平，参数的置信区间不同。 3、置信区间越小，估计越精确，但置信水平会降低； 相反，置信水平越大，估计越可靠，但精确度会降 低，置信区间会较长。一般：对于固定的样本容量， 不能同时做到精确度高（置信区间小），可靠程度也 高（1- 大）。如果不降低可靠性，而要缩小估计范 围，则必须增大样
3、本容量，增加抽样成本。 正态总体方差已知，对均值的区间估计 如果总体XN（，2），其中2已知， 未知， 则取U-统计量 ，对做区间估计。 对给定的置信水平1-，由 确定临界值（X的双侧分位数）得的置信区间为 将观测值 代入，则可得具体的区间。 例1 某车间生产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径X 可以认为服从正态分布，从某天的产品中随机抽取6个， 测得直径为（单位：cm） 14.6，15.1，14.9，14.8，15.2，15.1 （1）试求该天产品的平均直径EX的点估计； （2）若已知方差为0.06，试求该天平均直径EX的置信 区间：=0.05；=0.01。 解 （1）由矩法估计得EX的点估计
4、值为 续解 （2）由题设知XN（，0.06） 构造U-统计量，得EX的置信区间为 当=0.05时， 而 所以，EX的置信区间为（14.754，15.146） 当=0.01时， 所以，EX的置信区间为（14.692，15.208） 置信水平提高，置信区间扩大，估计精确度降低。 例2 假定某地一旅游者的消费额X服从正态分布 N（，2），且标准差=12元，今要对该地旅游者的平 均消费额EX加以估计，为了能以95%的置信度相信这种 估计误差小于2元，问至少要调查多少人？ 解 由题意知：消费额XN（，122），设要调查n人。 由 即 得 查表得 而 解得 至少要调查139人 正态总体方差未知，对均值的区
5、间估计 如果总体XN（，2），其中，均未知 由 构造T-统计量 当置信水平为1-时，由 查t-分布表确定 从而得的置信水平为1-的置信区间为 例3 某厂生产的一种塑料口杯的重量X被认为服从正态 分布，今随机抽取9个，测得其重量为（单位：克）： 21.1，21.3，21.4，21.5，21.3，21.7，21.4，21.3， 21.6。试用95%的置信度估计全部口杯的平均重量。 解 由题设可知：口杯的重量XN（，2） 由抽取的9个样本，可得 由 得 查表得 全部口杯的平均重量的置信区间为（21.26，21.54） P127例5与P126例3的比较： 解 由题设可知：平均消费额XN（，2） 平均消
6、费额的置信区间为（75.0464，84.9536） 由 得 查表得 估计误差为 精确度降低 原因：样本容量减少 在实际应用中，方差未知的均值的区间估计 较有应用价值。 练习 假设某片居民每月对某种商品的需求量X服从正态 分布，经调查100家住户，得出每户每月平均需求量为 10公斤，方差为9，如果某商店供应10000户，试就居民 对该种商品的平均需求量进行区间估计（=0.01），并 依此考虑最少要准备多少这种商品才能以99%的概率满 足需求？ 解 由题设可知：平均需求量XN（，2） 平均消费额的置信区间为（9.229，10.771） 由 查表得 续解 要以99%的概率满足10000户居民对该种商
7、品的 需求，则最少要准备的量为 （公斤） 最多准备 （公斤） 正态总体均值已知，对方差的区间估计 如果总体XN（，2），其中已知，2未知 由 构造2-统计量 查2- 分布表，确定双侧分位数 从而得2的置信水平为1-的置信区间为 例题 已知某种果树产量服从（218，2），随机 抽取6棵计算其产量为（单位：公斤） 221，191，202，205，256，236 试以95%的置信水平估计产量的方差。 解 计算 查表 果树方差的置信区间为 正态总体均值未知，对方差的区间估计 如果总体XN（，2），其中2未知 由 构造2-统计量 当置信水平为1-时，由 查2- 分布表，确定双侧分位数 从而得2的置信水平
8、为1-的置信区间为 例4 设某灯泡的寿命XN（，2）， ，2未知，现 从中任取5个灯泡进行寿命试验，得数据10.5，11.0， 11.2，12.5，12.8（单位：千小时），求置信水平为 90%的2的区间估计。 解 样本方差及均值分别为 2的置信区间为（0.4195，5.5977） 由 得 查表得 小 结 总体服从正态分布的均值或方差的区间估计 （1）方差已知，对均值的区间估计 假设置信水平为1- 构造U-统计量，反查标准正态分布表， 确定U的双侧分位数 得EX的区间估计为 小 结 总体服从正态分布的均值或方差的区间估计 （2）方差未知，对均值的区间估计 假设置信水平为1- 构造T-统计量，查
9、t-分布临界值表， 确定T的双侧分位数 得EX的区间估计为 小 结 总体服从正态分布的均值或方差的区间估计 （3）均值已知，对方差的区间估计 假设置信水平为1- 构造2-统计量，查2-分布临界值表， 确定2的双侧分位数 得2的区间估计为 小 结 总体服从正态分布的均值或方差的区间估计 （4）均值未知，对方差的区间估计 假设置信水平为1- 构造2-统计量，查2-分布临界值表， 确定2的双侧分位数 得2的区间估计为 （1）方差已知，对均值的区间估计，构造U统计量 （2）方差未知，对均值的区间估计，构造T统计量 总体服从正态分布的对均值的区间估计 区间估计 （4）均值未知，对方差的区间估计，构造2统计量 （3）均值已知，对方差的区间估计，构造2统计量 总体服从正态分布的对方差的区间估计 区间估计 作业 P131 5，7，8，9，14，15* 预习 第10章 15节
