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1、数学与创新思维 北京航空航天大学 李心灿 引言 全国科技大会上指出： “创新是一个民族进步的灵魂，是国家 兴旺发达的不竭动力。一个没有创新 能力的民族难于屹立于世界民族之林 。” “建立创新型国家。” 教育部的一个报告指出： “实施素质教育重点是改变 教育观念，尤其是要以培养 学生的创新意识和创造精神为主 。” 恩格斯指出： “一个民族要想站在科学的最高峰，就一 刻也不能没有理论思维。” 创造性人才的创造活动是在相应的创造 性思维的支配下，所进行的一种积极的能 动的活动。创造性思维是一切创造活动的 核心和灵魂。 nR培根指出： n“数学是打开科学大门的钥匙。” nHG格拉斯曼说： n“数学除了
2、锻炼敏锐的理解力，发现真理外 ，它还有另一个训练全面考查科学系统的 头脑的开发功能。” nNA考特认为： n“数学是人类智慧王冠上最灿烂的明珠。” KL米斯拉指出： “数学是代表人类抽象思维方面 的最高成就和胜利。” 著名的数学家A赛尔伯格指出： “数学的内容一定要重新斟酌。 应该增加一些涉及如何发现并令人 振奋的内容。” 塞尔伯格 著名数学家JP塞尔指出： “关于学生，关键是要让他们明 白数学是活生生的，而不是僵 死的，讲数学的传统方法有个 缺陷，即教师从不提及这类问 题，这很可惜。在数论中有许 多这类问题，十几岁的孩子就 能很好地理解它们：当然包括 费马大定理，还有哥德巴赫猜 想，以及无限
3、个形如n2+1的素数 的存在性。你可以随意讲一些 定理而不加证明 塞塞 尔尔 因此我认为： 数学教学不但应该传授 数学知识，还应该培养 学生的创新思维。 讲五个问题 一、归纳思维 二、类比思维 三、发散思维 四、逆（反）向思维 五、（数学）猜想 我将结合初等数学、高等数学和数学史 上一些著名问题来讲 一、归纳思维 归纳是人类赖以发现真理的基本的、 重要的思维方法。 著名数学家拉普拉斯指出： “ 分析和自然哲学中许多重大的发现，都归 功于归纳方法牛顿二项式定理和万有引力原 理，就是归纳方法的成果。” “在数学里， 发现真理的主要工具和手段是归纳和类比。” 著名数学家高斯曾说： “我的许多发现都是
4、靠归纳取得的。” 著名数学家沃利斯 说：“我把（不完全的 ）归纳和类比当作一种 很好的考察方法，因为 这种方法的确使我很容 易发现一般规律” 归纳是在通过多种手段（观察、实验、分析 ）对许多个别事物的经验认识的基础上，发 现其规律，总结出原理或定理。归纳是从观察到 一类事物的部分对象具有某一属性，而归纳出该 事物都具有这一属性的推理方法。或者说，归纳 思维就是要从众多的事物和现象中找出共性和本 质的东西的抽象化思维。 也可以说，归纳是在相似中发现规律，由个 别中发现一般。 从数学的发展可以看出，许多新的数学 概念、定理、法则、的形式，都经历 过积累经验的过程，从大量观察、计算 ,然后归纳出其共
5、性和本质的东西， 例如：哥德巴赫猜想，费马猜想，素数定 理等。 归纳的方法 哥德巴赫猜想: 3+7=10， 3+17=20， 13+17=30 3，7，13，17都是奇素数*。 10， 20， 30 都是偶数。 是否两个奇素数之和都是偶数呢？ 这是显然的。但是（逆向思维） 任何一个偶数，都能分解为两个奇素数之 和吗？ 6=3+3 8=3+5 10=3+7 12=5+7 14=3+11=7+7 16=3+13=5+11 这样下去总是对的吗？即 任何一个大于4的偶数都是两个奇素数之和 ？ 大于4的偶数=奇素数+奇素数？ （哥德巴赫猜想） 60=3+57 （57=193，不是素数） 60=5+55
6、（55=115，不是素数) ？！ 60=7+53（7和53都是素数） . 一直到现在还没有一个人推翻它，但也 还没有一个人证明它。 哥德巴赫提出这个问题时，欧拉在1742 年6月30日的回信中说：他相信这个猜想， 但他不能证明。于是引起了很多人研究它 ，但在120年间，一直没有多大进展。 直到直到2020世纪世纪2020年代，才开始有了眉目，年代，才开始有了眉目，挪 威数学家布朗（V.Brun）用“筛法”证明了： 任何一个大于任何一个大于4 4的偶数：的偶数： A=a1a2a9+b1b2b9, (9+9) 其中ai,bi(i=1,2,39)都是素数，才为这个猜 想的证明开辟了道路。 1924年
7、 拉德马哈尔 证明了（7+7）； 1932年 爱斯尔曼 证明了（6+6）； 1938年 布赫斯塔勃 证明了（5+5）, 1940年又证明了（4+4）； 1956年 维诺格拉多夫 证明了（3+3）； 1956年 王元 证明了（3+4）； 1957年 王元 证明了（2+3）； 1962年 潘承洞证明了（1+5）； 同年 王、潘又证明了（1+4）； 1965年 布赫斯塔勃、维诺格拉多夫、庞 比利证明了（1+3）； 1966年 陈景润证明了（1+2）； (发表在中国科学(1973.P.111-128) 1. 吴文俊说：哥德巴赫猜想是一场攻坚战和 接力赛。 2. 解放后，华罗庚、闵嗣鹤在这一研究上奠 定
8、了基础。 3. 王元1956年证得：大偶数=3+4； 1957年又得出：大偶数=2+3。 4. 潘承洞1962年证得：大偶数=1+4。 5. 陈景润1966年证得：大偶数=1+2； 1972年潘、王、丁夏畦简化了陈的证明。 苏步青说： 要想取得1+1就得把世界上八十多种方法融 会贯通，博取众长。 1998年利用超级计算机，验证这个猜想 对于每一个小于41014的偶数都是正确 的。但没有一项计算技术可以对直至无 穷的每一个偶数确认这个猜想成立。关 键是要找出一个抽象严格的证明。 这是数学向人类智慧的挑战! 这个猜想吸了不少人, 2000年3月中旬： 英国一家出版社悬赏100万美元征“哥德巴 赫猜
9、想”之解，时限两年,截止日期定在 2002年3月20日。 ( 奖金比中国最高科学奖还高、Nobel奖) 二项式系数 (u+v)1=u+v (u+v)2=u2+2uv+v2 (u+v)3=u3+3u2v+3uv2+v3 (u+v)4=u4+4u3v+6u2v2+4uv3+v4 (u+v)5= . (u+v)n= 123456789 21111111 3123456 41361015 5141020 61515 716 81 9 帕斯卡三角形帕斯卡三角形 123456789 21111111 3123456 41361015 5141020 61515 716 81 9 帕斯卡三角形帕斯卡三角形
10、1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 宋朝数学家杨辉1261年写的详解九章算法 *就解释了上述系数三角形的构造法，并说 贾宪用此术。 杨辉三角形 科尔莫哥洛夫在 我是如何成为数学家 中说：我在6、7岁时 我已经感受到数学归纳 发现的乐趣，例如，我 注意到下边的等式： 他的这个发现，后来被刊登在春燕杂志上。 问题：考察表 按照上述算例找出它们的一般规律，并用适当 数学式子表示出来，而且试证明它。 问题：下述结论是否成立？ 在高等数学中，许多重要结果的得出，都在高等数学中，许多重要结果的得出，都 用到了归纳思维。例
11、如：用到了归纳思维。例如： 求某一函数的 求某一函数的 n n 阶导数，通常的方法是求出阶导数，通常的方法是求出 其一阶、二阶（有时还要求出其三阶、四阶）其一阶、二阶（有时还要求出其三阶、四阶） 导数，再归纳出导数，再归纳出 n n 阶导数的表达式。阶导数的表达式。 解 从而归纳出 解 因为 因而归纳得到 二、类比思维 著名日本物理学家、诺贝尔奖获得者汤川 秀澍指出：“类比是一种创造性思维的形式。 ”著名哲学家康德指出：“每当理智缺乏可靠 论证的思路时，类比这个方法往往能指引我们 前进。” 类比是根据两个（或多个）对象内部属性 、关系的某些方面相似，而推出它们在其它方 面也可能相似的推理。 简
12、单地说，类比就是由此去发现彼（或由 彼去发现此）。 类比为人们思维过程提供了更广阔的 “自由创造”的天地，使它成为科学研 究中非常有创造性的思维形式，从而受 到了很多著名科学家的重视与青睐。例 如： 著名天文学、数学家开普勒 说： “我珍视类比胜于任何 别的东西，它是我最可信赖的 老师它能揭示自然的奥秘 。” 著名数学家、教育学家波利亚 说：“类比是一个伟大的引路人， 求解立体几何问题往往有赖于平面 几何中的类比问题。” 在平面解析几何中直线的截距式是： 在平面解析几何中,两点的距离是： 在空间解析几何中,两点的距离是： 在空间解析几何中平面的截距式是： 在平面解析几何中圆的方程是： (x-a
13、)2+(y-b)2=R2 在空间解析几何中球面的方程是: (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2 等等。 莱布尼茨公式 将他们比较可以看出:把中右端K次幂换成K阶导数 (零阶导数理解为函数本身),把中u+v换成uv,n 次幂换成n阶导数既为. (拉格朗日17岁) 牛顿二项式展开公式 费马猜想： X2+Y2=Z2的解：X=3, Y=4, Z=5 Z=m2+n2 , X= m2-n2 Y=2mn, m,n是任一整数，n2是否有正整数解？ n Z Z = X X + Y Y 52=32+42 Z3 = x3 + Y3 (X,Y,Z 为正整数) = z xy + 公元972年阿拉伯人阿尔科但第（Alkhodjidi) Zn = n+ Yn (n2)(Wiles 1994) 欧拉猜想：下述方程没有整数解： 没有人能够证明它是对的，但是在他提出这个猜想 之后的200年内大家都相信它是正确的. 但是在1998年，诺姆艾利克斯的举出一个反例： 后来人们又发现了一个更简单的例子： 今天我们能容易地用一个简单的程序寻找反例 在没有计算机的年代，很难举出这样的反例！ 多元函数与单元函数 在学习多元函数的微分学和积分学 时，应注意与已经学习过的一元函数的 微积分相应的概念、理论、方法进行类 比。例如： 特别应该将牛顿莱布尼茨公式、格林 公式、高斯公式、斯
