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1、第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析 第4章 连续时间信号和系统的复频域 表示与分析 4.1 拉普拉斯变换 4.2 拉普拉斯变换的性质与定理 4.3 拉普拉斯反变换 4.4 LTI系统的拉普拉斯变换分析法 4.5 系统函数与复频域分析法 4.6 连续时间系统的模拟及信号流图 4.7 LTI连续系统的稳定性 第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析 4.1 拉普拉斯变换 4.1.1 单边拉普拉斯变换 1. 单边拉氏变换定义 因果信号的傅氏正、 反变换为 第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析 傅氏变换对于一些指数函数处理不方便, 主要原因 是这类函数不收敛, 例如阶跃函数u(t
2、)。 为了使函数收 敛， 我们在进行变换时让原函数f(t)乘以e-t， 使得f(t)e- t是一个收敛速度足够快的函数。 即有 f1(t)=f(t)e-t 式中, e-t为收敛（衰减）因子， 且f1(t)满足绝对可 积条件。 则 (4.1-1) 第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析 令+j=s， 式（4.1-1）可表示为 (4.1-2) F1()的傅氏反变换为 (4.1-3) 第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析 式（4.1-3）两边同乘et， et不是的函数， 可放 入积分号里， 由此得到 (4.1-4) 已知s=+j， ds=d(+j)， 为常量， ds=j d， 代入式（
3、4.1-4）且积分上、 下限也做相应改 变， 式(4.1-4)可写作 (4.1-5) 第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析 因为e-t的作用， 式(4.1-2)与 (4.1-5)是适合指数阶 函数的变换。 又由于式(4.1-2)中的f(t)是t0， 例如eatu(t)（a0）的0=a ， 其拉氏变换的收敛区如图 4.1-2(c)所示。 第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析 图 4.1-2 收敛区示意图 第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析 当00时收敛区不包含虚轴j， 函数的傅氏变 换不存在； 当0=0时， 收敛区虽不包含虚轴j， 但函 数的傅氏变换存在， 不过有冲激项
4、。 因为指数阶函 数的单边拉氏变换一定存在， 所以一般可以不标明收 敛区。 第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析 4.1.3 常用函数的单边拉普拉斯变换 我们通过求常用函数的象函数， 掌 握单边拉氏变换的基本方法。 1. 单位阶跃函数u(t) 第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析 2. t的指数函数e-atu(t)（a为任意常数） 第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析 3. t的正幂函数 即 第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析 依此类推， 第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析 特别地， 第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析 . 冲激函数 通常
5、的拉氏变换的下限都采用 P130表5-1 第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析 4.2 拉普拉斯变换的性质与定理 1. 线性 若f1(t) F1(s)， f2(t) F2(s)， 则 k1f1(t)+k2f2(t) k1F1(s)+k2F2(s) k1, k2为任意常数 (4.2-1) 第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析 证 线性在实际应用中是用得最多最灵活的性质之一。 例如 第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析 2. 时延（移位、 延时）特性 若f(t)u(t) F(s)， 则 f(t-t0)u(t-t0) (4.2-2) 证 令t-t0=x， t=x+t0， 代入
6、上式得 第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析 3. 频率平移（s域） 若f(t) F(s), 则 (4.2-4) 第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析 4. 尺度变换 若f(t) F(s), 则 其中a0 (4.2-5) 证 令 ， 代入上式得 第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析 5. 时域微分 若f(t) F(s)， 则 (4.2-6) 式中, f(0-)是f(t)在t=0-时的值。 可以将式(4.2-6)推广到高阶导数 (4.2-7) 第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析 式中, f(0-)以及f(r)(0-)分别为t=0-时f(t)以及 时的值。 证 第
7、4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析 同理, 令 ， 则 依此类推， 可以得到高阶导数的 L 变换 第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析 特别地， 当f(t)为有始函数， 即t0， f(t)=0时， 我们有 f(0-)=f(0-)=f(n-1)(0-)=0 则式(4.2-6) 、 (4.2-7)可分别化简为 (4.2-8a) (4.2-8b) 式中, s为微分因子。 第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析 6. 复频域微分 若L f(t)=F(s)， 则 (4.2-14) 证 (变换运算次序) 第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析 可以推广至复频域的高阶导数 利用这
8、一性质可证明t的正幂函数的象函数 第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析 7. 时域积分 若f(t)u(t) F(s)， 则 (4.2-9) 第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析 式中, f(-1)(t)表示积分运算， 证 利用任意函数与阶跃卷积 其中 (4.2- 10) (4.2- 11) (4.2-12) 第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析 特别的， 如果f(t)为因果信号， 则 特别的， 如果f(t)为因果信号， 则 ， 式(4.2-9)为 (4.2-13) 式中, 1/s为积分因子。 第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析 8. 时域卷积定理 若f1(t)
9、 F1(s), f2(t) F2(s)， 则 f1(t)*f2(t) F1(s)F2(s) (4.2-18) 证 因为f1(t)、 f2(t)为有始函数， 所以 第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析 交换积分次序 利用延时特性 第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析 9. 初值定理 设有f(t)、 f(t)， 且L f(t)、 L f（t)存在， 则 (4.2-16) 初值定理只适用f(t)在原点处没有冲激的函数。 第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析 证 由时域微分性质我们有 比较等式左、 右两边得 第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析 (交换积分与取极限次序
10、) 第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析 10. 终值定理 设有f(t)、 f(t)， 且L f(t)、 L f(t)存在, 则f(t)的终值 (4.2-17) 终值适用的条件是sF(s)的所有极点在s平面的左 半面(F(s)可有在原点处的单极点)。 第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析 证 利用上面的结果 令s0, 两边取极限得 第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析 4.3 拉普拉斯反变换 拉普拉斯反（逆）变换是将象函数F(s)变换为原 函数f(t)的运算。 式(4.1-6)给出为 第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析 部分分式展开法 设 第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析 1.(s)=0的根是互异实根 D(s)是s的多项式，可以进行因式分解 左右两边同乘以因子 再令 第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析 2.D(s)=0的根是共轭复根 第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析 第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析 3.(s)=0的根是重根 若(s)=0有p重根s1 第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析 求k12将
