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1、Slide 1 第4章 图像变换与二维数字滤波 Slide 2 内容提要 l主要介绍图绍图 像处处理中常用的二维维离散变换变换 的定 义义、性质质、实现实现 方法及应应用。 l经经典变换变换 离散傅里叶变换变换 （DFT） l离散余弦变换变换 （DCT） l离散沃尔什-哈达玛变换玛变换 （DWT） lK-L变换变换 （KLT） l离散小波变换变换 （DWT）及其应应用 l二维维数字滤滤波的定义义、设计设计 与实现实现 Slide 3 知识要点 l余弦型变换变换 ： l傅里叶变换变换 和余弦变换变换 。 l方波型变换变换 ： l沃尔什-哈达玛变换玛变换 。 l基于特征向量的变换变换 ： lK-L
2、变换变换 。 l从哈尔变换变换 、短时时傅里叶变换变换 到小波变换变换 。 l各种变换变换 的定义义和有关快速算法及实现实现 方法。 l二维维数字滤滤波的定义义、设计设计 与实现实现 Slide 4 4.1 二维离散傅里叶变换（DFT） 4.1.1 二维连续傅里叶变换 l定义：设 f (x, y) 是独立变量x和y 的函数，且在 上绝对可积，则定义积分 为二维连续 函数 f (x, y) 的傅里叶变换，并定义 为F (u, v) 的反变换。 f (x, y) 和F (u, v)为傅里叶变换对 。 Slide 5 【例4.1】求图4.1所示函数的傅里叶变换。 解 ： 图4.1 二维信号f (x,
3、 y) 其幅度谱为 Slide 6 二维信号的频谱图 （a）信号的频谱图 （b）图（a）的灰度图 图4.2 信号的频谱图 Slide 9 DFT幅度谱的特点 l 频谱的直流成分说明在频谱原点的傅 里叶变换F(0, 0)等于图像的平均灰度级。 l 幅度谱|F(u, v)|关于原点对称。 l 图像f (x, y)平移后，幅度谱不发生变化 ，仅有相位发生变化。 Slide 10 4.1.3 二维离散傅里叶变换的性质 l1变换可分离性 l二维DFT可以用两个可分离的一维DFT之积表示 ： 式中， 结论：（1）二维变换维变换 可以通过过先进进行行变换变换 再进进行列变换变换 的 两次一维变换维变换 来实
4、现实现 。（2）也可以通过过先求列变换变换 再求行变换变换 得到二维维傅里叶变换变换 。 Slide 11 图4.4 用两次一维DFT计算二维DFT Slide 12 2周期性、共轭对称性及频谱中心化 l周期性和共轭对 称性来了许多方便。 l首先来看一维的情况。 l设有一矩形函数,求出它的傅里叶变换： Slide 13 在进行DFT之前用输入信号乘以（-1）x，便可 以在一个周期的变换中求得一个完整的频谱。 （a）幅度谱 （b）原点平移后的幅度谱 图4.6 频谱图 Slide 14 用(-1)x+y 乘以输入的图像函数，则有： l原点F(0,0)被设置在 u = M/2和v = N/2上。 l
5、如果是一幅图像，在原点的傅里叶变换 F(0,0)等于图像的平均灰度级，也称作频率 谱的直流成分。 Slide 15 图4.7 图像频谱的中心化 （a）原始图像 (b) 中心化前的频谱图 (c) 中心化后的频谱 图3.6 图像频谱的中心化 Slide 16 3离散卷积定理 l设f (x, y)和g(x, y) 是大小分别为AB和CD的 两个数组，则它们的离散卷积定义为 l卷积定理 Slide 17 【例4.2】用MATLAB实现图像的傅里叶变换。 l为了增强显示效果，用对数对频谱的幅度进行压缩，然 后将频谱幅度的对数值用在010之间的值进行显示。 l【解】MATLAB程序如下： lI = imr
6、ead(pout.tif);%读入图像 limshow(I); %显示图像 lF1 = fft2(I); %计算二维傅里叶变换 lfigure, imshow(log(abs(F1)+1),0 10); l%显示对数变换后的频谱图 lF2 = fftshift(F1); %将直流分量移到频谱图的中心 lfigure, imshow(log(abs(F2)+1),0 10); l%显示对数变换后中心化的频谱图 Slide 18 （a）原始图像 （b）图像的频谱图 （c）中心化的频谱图 图3.7 傅里叶变换 Slide 19 4.2 二维离散余弦变换（DCT） l任何实对称函数的傅里叶变换中只含余
7、弦项，余弦变 换是傅里叶变换的特例，余弦变换是简化DFT的重要 方法。 4.2.1 一维离散余弦变换 l将一个信号通过对折延拓成实偶函数，然后进行傅里 叶变换，我们就可用2N点的DFT来产生N点的DCT。 1以x = -1/2为对称轴折叠原来的实序列f (n) 得： Slide 20 -N-10N-1NN+1 f (n) 延拓示意图 2以2N为周期将其周期延拓，其中f（0）f（1）， f（N1）f（N） fc(2N n 1) = fc(n) Slide 21 3对0到2N1的2N个点的离散周期序列 作DFT，得 令i2Nm1，则上式为 Slide 22 l 保证变换 基的规范正交性，引入常量，
8、定义 ： F(k)C(k) C(k)= 其中 DCT逆变换为 Slide 23 4.2.2 二维离散余弦变换 l正变换： l逆变换： Slide 24 4.2.3 二维DCT的应用 l典型应用是对静止图像和运动图像进行性能优良的有 损数据压缩。 l在静止图像编码标 准JPEG、运动图像编码标 准 MJPEG和MPEG等标准中都使用了88块的离散余弦变 换，并将结果进行量化之后进行熵编码 。 lDCT具有很强的能量集中在频谱的低频部分的特性， 而且当信号具有接近马尔可夫过程的统计特性时， DCT的去相关性接近于具有最优去相关性的K-L变换的 性能。 Slide 25 【例4.3】应用MATLAB
9、实现图像的DCT 变换。 l【解】MATLAB程序如下： lI = imread(wpeppers2.png); lJ = rgb2gray(I); %转换彩色图像为灰度图像 lsubplot(1,2,1),imshow(J); %显示原灰度图像 lK = dct2(J); %对图像做DCT变换 lsubplot(1,2,2), imshow(log(abs(K)+1,0 10); l %显示DCT变换结果 limshow(log(abs(C2)+1,0 10); l %显示DCT变换结果 Slide 26 图4.10 离散余弦变换 （a）wpeppers2图像 （b）wpeppers2图像的
10、DCT系数 Slide 27 4.3 二维离散沃尔什-哈达玛变换（DHT） l前面的变换是余弦型变换，基底函数选用的是余弦型 。 l图像处理中有些变换常常选用方波信号或者它的变形 。 l沃尔什（Walsh）变换 。 l沃尔什函数是一组矩形波，其取值为1和-1，便于计算 机运算。 l函数有三种排列或编号方式，以哈达玛排列最便于快速计算。 l采用哈达玛排列的沃尔什函数进行的变换称为沃尔什- 哈达玛变换 ，简称WHT或直称哈达玛变换 。 Slide 28 4.3.1 沃尔什变换 l沃尔什函数系 l函数值仅取+1和1两值的非正弦型的标 准正交完备函数系。 l由于二值正交函数与数字逻辑中的两 个状态相对
11、应，所以非常便于计算机 和数字信号处理器运算。 Slide 29 图4.11 沃尔什函数系的前10个函数 Slide 30 沃尔什函数有三种排列或编号方式 l列率排列、佩利（Paley）排列和哈达玛 （Hadamard）排列。 l沃尔什变换的排列方式为列率排列。 l与正弦波频率相对应，非正弦波形可用列率 描述。 l列率表示某种函数在单位区间上函数值为零 的零点个数之半。 Slide 31 一维沃尔什变换核g(x,u) l设N = 2n，变换核为 bk(z)代表z的二进制表示的第k位值。核是一 个对称阵列，其行和列是正交的。 Slide 32 一维沃尔什变换 l正变换： l逆变换： Slide
12、33 二维沃尔什变换 l正变换： l逆变换： Slide 34 【例4.5】求图像 f 的DWT，并反求 f。 l【解】W =G f G，采用MATLAB程序求解W。 lf = 2 5 5 2; 3 3 3 3; 3 3 3 3; 2 5 5 1; lG = 1 1 1 1; 1 1 -1 -1; 1 -1 -1 1; 1 -1 1 -1; lW = (1/16)*G*f*G Slide 35 l运行结果为 lW = l 3.18750.0625 -0.8125 0.0625 l 0.0625 -0.0625 0.0625 -0.0625 l 0.18750.0625 -0.8125 0.06
13、25 l 0.0625 -0.0625 0.0625 -0.0625 Slide 36 l反求 f 的程序如下： lW = 3.1875 0.0625 -0.8125 0.0625; l 0.0625 -0.0625 0.0625 -0.0625; l 0.1875 0.0625 -0.8125 0.0625; l 0.0625 -0.0625 0.0625 -0.0625 lG = 1 1 1 1; 1 1 -1 -1; 1 -1 -1 1; 1 -1 1 -1; lf = G*W*G Slide 37 l运行结果为 lf = l 2 5 5 2 l 3 3 3 3 l 3 3 3 3 l
14、2 5 5 1 Slide 38 4.3.2 哈达玛变换 l哈达玛矩阵：元素仅由1和1组成的正交方阵。 l正交方阵：指它的任意两行（或两列）都彼此正交， 或者说它们对应 元素之和为零。 l哈达玛变换 要求图像的大小为N2n 。 l一维哈达玛变换 核为 其中， bk(z) 代表z的二进制表示的第k位值。 Slide 39 一维、二维哈达玛正、逆变换 l一维哈达玛正变换 l一维哈达玛逆变换 l二维哈达玛正变换 l二维哈达玛逆变换 Slide 40 二维哈达玛正、逆变换具有相同形式 l正反变换都可通过两个一维变换实现 。 l高阶哈达玛矩阵可以通过如下方法求得： lN8的哈达玛矩阵为 Slide 41
15、 4.4 卡胡南-列夫变换（K-L变换） lKahunen-Loeve变换 是在均方意义下的最 佳变换 。 l优点： l能够完全去除原信号中的相关性，因而具有 非常重要的理论意义。 l缺点： l基函数取决于待变换图 像的协方差矩阵，因 而基函数的形式是不定的，且计算量很大。 Slide 42 l设原图像为X，采用KLT恢复的图像 ， 则和原图像X具有最小的均方误差，即 对第i次获得的图像fi(x, y)可以用N2维向量Xi表示： Slide 43 lCx是一个N2N2的实对 称矩阵。令i和ai（i = 1, 2, , N2）分别为 Cx的第i个特征值和特 征向量，其特征向量 构成的矩阵是一个正 交矩阵 Slide 44 l ATCxA = A1CxA = （3.51） l为Cx的特征值构成的对角线矩阵。K-L 变换选取一个上述的正交
