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1、 绝对值 主讲：刘文峰 专题简析 绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数 式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以 及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值 符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来 解决这些问题 下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然 后进行例题分析 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝 对值是它的相反数；零的绝对值是零即 绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识 ，它与距离的概念密切相关在数轴上表 示一个数的点离开原点的距离叫这个数的 绝对值 结合相反数的概念可知，除零外，绝对值 相等的数有两个，它们恰好互为相反数 反之，相反数的绝对值相等也成立由此 还可得
2、到一个常用的结论：任何一个实数 的绝对值是非负数 例 1 、a，b 为实数，下列各式对吗？若不对，应 附加什么条件？ (1)|a+b|=|a|+|b|；(2)|ab|=|a|b|； (3)|a-b|=|b-a|； (4)若|a|=b，则 a=b； (5)若|a|b|，则 ab； (6)若 ab，则|a|b| 解：(1)不对当 a，b 同号或其中一个为 0 时成立 (2)对 (3)对 (4)不对当 a0 时成立 (5)不对当 b0 时成立 (6)不对当 ab0 时成立 例 2、 设有理数 a，b，c 在数轴上的对 应点如图 1-1 所示， 化简|b-a|+|a+c|+|c-b| 解：由图1-1可
3、知，a0，b0，c0， 且有|c|a|b|0根据有理数加减运算 的符号法则，有b-a0，ac0，c-b0 再根据绝对值的概念，得 |b-a|=a-b，|a+c|=-(a+c)，|c-b|=b-c于是有 原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c c b 0 a x 图11 例 3 、已知x-3，化简： |3+|2-|1+x| 分析： 这是一个含有多层绝对值符号的 问题，可从里往外一层一层地去绝对值 符号 解：原式=|3+|2+(1+x)|(因为 1+x0) =|3+|3+x| =|3-(3+x)|(因为 3+x0) =|-x| =-x 例 4 、 若 的所有可 能
4、值是什么？ 解： 因为 abc0，所以 a0，b0，c0 (1)当 a，b，c 均大于零时，原式=3； (2)当 a，b，c 均小于零时，原式=-3； (3)当 a，b，c 中有两个大于零，一个小于零时， 原式=1； (4)当 a，b，c 中有两个小于零，一个大于零时， 原式=-1 所以 的所有可能值是3, 1 说明本例的解法是采取把 a，b，c 中大于零与小于零的 个数分情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它 在解决绝对值问题时很常用 例 5 、若|x|=3，|y|=2，且|x-y|=y-x， 求 x+y 的值 解： 因为|x-y|0， 所以 y-x0，yx 由|x|=3，|y|=2 可
5、知，x0， 即 x=-3 (1)当 y=2 时，x+y=-1； (2)当 y=-2 时，x+y=-5 所以 x+y 的值为-1 或-5 例 6、 若 a，b，c 为整数， 且|a-b|19+|c-a|99=1， 试计算|c-a|+|a-b|+|b-c|的值 解 ：a，b，c 均为整数， 则 a-b，c-a 也应为整数， 且|a-b|19，|c-a|99为两个非负整数，和为 1， 所以只能是 |a-b|19=0 且|c-a|99=1， 或 |a-b|19=1 且|c-a|99=0 由有 a=b 且 c=a1，于是|b-c |=|c-a|=1； 由有 c=a 且 a=b1，于是|b-c|=|a-b
6、|=1 无论或都有|b-c|=1 ，且|a-b|+|c-a|=1， 所以|c-a|+|a-b|+|b-c |=2 例 7 、若|x-y+3|与|x+y-1999|互为相反 数，求 的值。 解： 依相反数的意义有|x-y+3|=-|x+y-1999| 因为任何一个实数的绝对值是非负数，所以必有 |x-y+3|=0 且|x+y-1999|=0即 例 8 、化简：|3x+1|+|2x-1| 分析： 本题是两个绝对值和的问题解题的关 键是如何同时去掉两个绝对值符号若分别去掉 每个绝对值符号，则是很容易的事 例如，化简|3x+1|，只要考虑 3x+1 的正负，即 可去掉绝对值符号这里我们是分 两种情况加
7、以讨论的，此时 是一个分界点， 类似地，对于|2x-1|而言， 是一个分界点，为 同时去掉两个绝对值符号，我们把两个分界点 标在数轴上，把数轴分为三部份(如图12 所示)即 ，这样我们就可以分类讨论 化简了。 说明 ：解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变数字 母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点 ，这样就将数轴分成几个部分，根据变数字母的这些取值范围 分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法” 例 9 、已知 y=|2x+6|+|x-1|-4|x+1|， 求 y 的最大值 分析：首先使用“零点分段法”将y化简，然后在各个取值范 围内求出y的最大值，再加以比较，从中选出最
8、大者 解： 有三个分界点：-3，1，-1 (1)当 x-3 时，y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1， 由于 x-3，所以 y=x-1-4，y 的最大值是-4 (2)当-3x-1 时，y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11， 由于-3x-1，所以-45x+116，y 的最大值是 6 (3)当-1x1 时，y=(2x+6)-(x-1)-4(x+1)=-3x+3， 由于-1x1，所以 0-3x+36，y 的最大值是 6 (4)当 x1 时，y=(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1， 由于 x1，所以 1-x0，y 的最大值是 0 综上可知，当 x=-1
9、时，y 取得最大值为 6 例 10、 设 abcd， 求|x-a|+|x-b|+|x-c |+|x-d|的最小值 分析：本题也可用“零点分段法”讨论计算，但比 较麻烦若能利用|x-a|，|x-b|，|x-c |，|x-d|的几 何意义来解题，将显得更加简捷便利 解：设a，b，c，d，x在数轴上的对应点分别为 A，B，C，D，X，则|x-a|表示线段AX 之长， 同理，|x-b|，|x-c|，|x-d|分别表示线段BX，CX ，DX之长现要求|x-a|，|x-b|，|x-c|，|x-d|之和 的值最小，就是要在数轴上找一点 X，使该点到 A，B，C，D 四点距离之和最小 因为 abcd，所以 A
10、，B，C，D 的排列应 如图 13 所示： 所以当 X 在 B，C 之间时，距离和最小， 这个最小值为 AD+BC，即(d-a)+(c-b) 例 11、 若 2x+|4-5x|+|1-3x|+4 的值恒为常数 ，求 x 该满足的条件及此常数的值 分析与解 要使原式对任何数 x 恒为常数，则去掉绝对值 符号，化简合并时，必须使含 x 的项相加为零 ，即 x 的系数之和为零故本题只有 2x-5x+3x=0 一种情况因此必须有 |4-5x|=4-5x 且|1-3x|=3x-1 故 x 应满足的条件是 解之得： 此时，原式=2x+4-5x-(1-3x)+4=7 1x 是什么实数时，下列等式成立： (1
11、)|(x-2)+(x-4)|=|x-2|+|x-4|； (2)|(7x+6)(3x-5)|=(7x+6)(3x-5) 2化简下列各式： (1) (2)|x+5|+|x-7|+|x+10| 3若 ab0，化简|a+b-1|-|3-a-b| 4已知 y=|x+3|+|x-2|-|3x-9|，求 y 的最大值 5设 T=|x-p|+|x-15|+|x-p-15|， 其中 0p15，对于满足 px15 的 x 来说 ，T 的最小值是多少？ 6已知 ab，求|x-a|+|x-b|的最小值 7不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应 点分别为A，B，C，如果|a-b|+|b-c|=|a-c|， 那么B点应为( ) (1)在 A，C 点的右边； (2)在 A，C 点的左边 ；(3)在 A，C 点之间； (4)以上三种情况都有 可能
