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1、一个人拥有健康，美貌，诚信，机敏，才学，金钱，荣誉，7个背囊，渡船开始时风平浪静，可是不久就刮起了大风，船夫说要扔掉一个背囊，你会扔掉那个背囊呢？最后你要扔掉哪一个？为什么呢?说说你的理由。 2015年9月22日12月22日 18171201733（Mobil） 一个人拥有健康，美貌，诚信，机敏，才学，金钱，荣誉，7个背囊，渡船开始时风平浪静，可是不久就刮起了大风，船夫说要扔掉一个背囊，你会扔掉那个背囊呢？最后你要扔掉哪一个？为什么呢?说说你的理由。 德国数学家 Leibniz 在一切理论成就中，未必有什么像十七世纪 下半叶微积分的发明那样，能被看做人类精神的 卓越胜利了。如果在某个地方我们有
2、人类精神的 、纯粹和专有的功绩，那就正在这里。 F. 恩格斯 英国数学家Newton 微积分学创始人 一个人拥有健康，美貌，诚信，机敏，才学，金钱，荣誉，7个背囊，渡船开始时风平浪静，可是不久就刮起了大风，船夫说要扔掉一个背囊，你会扔掉那个背囊呢？最后你要扔掉哪一个？为什么呢?说说你的理由。 The one real object of education is to have a man in the condition of continually asking questions. （教育的真正目 的是使人处于不断发问的状态） - Mandell Creighton（克莱顿） Brevi
3、ty is the soul of wit. （简洁是智慧的灵魂） - William Shakespeare（莎士比亚） Wisdom denotes the pursuing of the best ends by the best means.（智慧意味着以最佳手法获得最佳结果） - Francis Hutcheson（哈奇森） 一个人拥有健康，美貌，诚信，机敏，才学，金钱，荣誉，7个背囊，渡船开始时风平浪静，可是不久就刮起了大风，船夫说要扔掉一个背囊，你会扔掉那个背囊呢？最后你要扔掉哪一个？为什么呢?说说你的理由。 一位年迈的法国数学家说：“只有当你使数学变得如此 明白易懂、可以向任何
4、一个人阐述其内容的时候，数学理 论才可以认为是完善的。” - D. Hilbert（希尔伯特） Brevity is the soul of wit. （简洁是智慧的灵魂） - William Shakespeare（莎士比亚） Wisdom denotes the pursuing of the best ends by the best means.（智慧意味着以最佳手法获得最佳结果） - Francis Hutcheson（哈奇森） 一个人拥有健康，美貌，诚信，机敏，才学，金钱，荣誉，7个背囊，渡船开始时风平浪静，可是不久就刮起了大风，船夫说要扔掉一个背囊，你会扔掉那个背囊呢？最后你要扔
5、掉哪一个？为什么呢?说说你的理由。 退出 一个人拥有健康，美貌，诚信，机敏，才学，金钱，荣誉，7个背囊，渡船开始时风平浪静，可是不久就刮起了大风，船夫说要扔掉一个背囊，你会扔掉那个背囊呢？最后你要扔掉哪一个？为什么呢?说说你的理由。 四 五 二 一 退出 Chpt.7 常微方程基本概念与几种一阶和二阶线性方程的主要解法 专题 三 一个人拥有健康，美貌，诚信，机敏，才学，金钱，荣誉，7个背囊，渡船开始时风平浪静，可是不久就刮起了大风，船夫说要扔掉一个背囊，你会扔掉那个背囊呢？最后你要扔掉哪一个？为什么呢?说说你的理由。 退出返回 本章只讨论常微方程。简例如下： 2. 常微方程分类命名法 含一元未
6、知函数的导函数或因变量 1. 何谓常微分方程 经验指出，常微方程中未知函数及其 非线性方程，剩下的都是线性方程。 显然，简例中阶数最高的方程是 (5)， 它们统称为高阶方程）。剩下的方程全 为三阶方程；其次是(4)，为二阶方程（ 是一阶方程（尤其含有微分者更如此） 的微分以及自变量的微分的等式称为 数或因变量的微分及其多个自变量的 常微分方程；含多元未知函数的偏导 常微方程按其内所含未知函数的最高 阶数来分类并命名。最高阶数是几，方 程就被称为几阶方程。 导数的幂次是否全为一次，决定了未知 函数的具体结构能否被解出来的难度。 全为一次的方程称为线性方程，否则称 为非线性方程。易见，简例唯有 (
7、2) 是 的微分的等式称为偏微分方程。 一个人拥有健康，美貌，诚信，机敏，才学，金钱，荣誉，7个背囊，渡船开始时风平浪静，可是不久就刮起了大风，船夫说要扔掉一个背囊，你会扔掉那个背囊呢？最后你要扔掉哪一个？为什么呢?说说你的理由。 退出返回 3. 常微方程的特解与通解 常微方程的通解多数都能囊括方程的 例外）。不被通解囊括的以及通解中的 例1-1 验证方程 的通解 任何含自变量与因变量的表达式，若 能由之恒等地推出给定的常微方程时， 都称为该常微方程的解；解若含有任意 所有可能存在的解（仅非线性方程鲜有 常数、且不能合并的任意常数的个数恰 任意常数取特定值后所得出的对应解称 证 是 好等于方程
8、的阶数时称为方程的通解。 为方程的特解。 由于表达式中仅含一个任意常数，个数 可见，给定的表达式是给定方程的解； 明显与方程的阶数（一阶）相等，故此 解是方程的通解。证毕。 一个人拥有健康，美貌，诚信，机敏，才学，金钱，荣誉，7个背囊，渡船开始时风平浪静，可是不久就刮起了大风，船夫说要扔掉一个背囊，你会扔掉那个背囊呢？最后你要扔掉哪一个？为什么呢?说说你的理由。 退出返回 的通解。 解 故原方程的通解为 *例2-1 求一阶非线性微分方程 即 非线性方程的通解（包括特解） 往往用隐函数的形式书写比较简洁。 有些非线性方程偶尔可经变元代换化 成线性方程再求解（有兴趣者可参阅教材 P236之例4与例
9、5），但转换过程琐碎，明 显不如凑微分法来得直接和明快。 可见， 一个人拥有健康，美貌，诚信，机敏，才学，金钱，荣誉，7个背囊，渡船开始时风平浪静，可是不久就刮起了大风，船夫说要扔掉一个背囊，你会扔掉那个背囊呢？最后你要扔掉哪一个？为什么呢?说说你的理由。 退出返回 的通解。 解 故原方程的通解为 *例2-2 求一阶非线性微分方程 即 用凑微分法解常微方程， 需要纯熟地掌握凑微分的四则运算技巧， 特别是商的微分运算法则； 其掌控的要点在于 认准何为分母，何为分子。 （本例即教材P236之例4） 可见， 一个人拥有健康，美貌，诚信，机敏，才学，金钱，荣誉，7个背囊，渡船开始时风平浪静，可是不久就
10、刮起了大风，船夫说要扔掉一个背囊，你会扔掉那个背囊呢？最后你要扔掉哪一个？为什么呢?说说你的理由。 退出返回 解 的通解。 例2-3 求一阶线性微分方程 故 凑微分法解一阶微分方程时， 只要可能，应坚持因变量按因变量凑， 自变量按自变量凑；然后再合并归总得通解。 解微分方程的过程，本质上是 求出的特解和通解又常常被分别称做 历经曲折求原函数的过程。因此，被 微分方程的积分曲线和积分曲线族（ 我们知道，同时含有因变量和自变量 的等式在解析几何中表示平面曲线） 在极理想的情况下，原方程有可能被 重组成因变量与自变量全都各居一侧的形式， 人们常称其为已分离变量的形式。 这种方程的解几乎显而易见： 一
11、个人拥有健康，美貌，诚信，机敏，才学，金钱，荣誉，7个背囊，渡船开始时风平浪静，可是不久就刮起了大风，船夫说要扔掉一个背囊，你会扔掉那个背囊呢？最后你要扔掉哪一个？为什么呢?说说你的理由。 退出返回 解 故原方程的通解为 或者 故原方程的通解为 或者 例2-4 解下列一阶线性齐次方程 方程两边同乘以 线性方程中不含未知函数及其导函数的项称为非齐次项。非齐次项为零的方程称为线性齐次方程 一个人拥有健康，美貌，诚信，机敏，才学，金钱，荣誉，7个背囊，渡船开始时风平浪静，可是不久就刮起了大风，船夫说要扔掉一个背囊，你会扔掉那个背囊呢？最后你要扔掉哪一个？为什么呢?说说你的理由。 的特解。 退出返回
12、满足初始条件 解 故方程的通解为 亦即 又 故欲求的特解为 或者 例2-5 求一阶线性微分方程 亦即 一个人拥有健康，美貌，诚信，机敏，才学，金钱，荣誉，7个背囊，渡船开始时风平浪静，可是不久就刮起了大风，船夫说要扔掉一个背囊，你会扔掉那个背囊呢？最后你要扔掉哪一个？为什么呢?说说你的理由。 退出返回 解 故方程的通解为 或者 又即 故原方程欲求的特解为 或者 的特解。 满足初始条件例2-6 求一阶线性微分方程 一个人拥有健康，美貌，诚信，机敏，才学，金钱，荣誉，7个背囊，渡船开始时风平浪静，可是不久就刮起了大风，船夫说要扔掉一个背囊，你会扔掉那个背囊呢？最后你要扔掉哪一个？为什么呢?说说你的
13、理由。 *例2-7 求一阶线性微分方程 与 退出返回 解 故方程的通解为 即 的通解。 故方程的通解为 即 一个人拥有健康，美貌，诚信，机敏，才学，金钱，荣誉，7个背囊，渡船开始时风平浪静，可是不久就刮起了大风，船夫说要扔掉一个背囊，你会扔掉那个背囊呢？最后你要扔掉哪一个？为什么呢?说说你的理由。 退出返回 解 得 x 的连续函数。 所得等式的两边同乘以 参考课本P237公式(6) 故方程的通解为 可见 *例2-8 求一阶线性微分方程的通解，其中P，Q 都是 一个人拥有健康，美貌，诚信，机敏，才学，金钱，荣誉，7个背囊，渡船开始时风平浪静，可是不久就刮起了大风，船夫说要扔掉一个背囊，你会扔掉那
14、个背囊呢？最后你要扔掉哪一个？为什么呢?说说你的理由。 但应强调指出的是，其中的不定积分 仅用以特指 P ( x ) 的某一 积函数的某个原函数而非全体原函数。 而非全体原函数。 该公式在教材的P237的公式(6)中借不定积分的形式表述为 的通解求算公式： *例2-8的求解结果实际上给出了一阶线性微分方程 类似地，不定积分 也仅用以特指被 显然，使用变积分上限的函数表示某指定函数的原函数，较之上述 采取将全体原函数声明混用于单个原函数的过于简单的做法要严谨。 退出返回 一个人拥有健康，美貌，诚信，机敏，才学，金钱，荣誉，7个背囊，渡船开始时风平浪静，可是不久就刮起了大风，船夫说要扔掉一个背囊，
15、你会扔掉那个背囊呢？最后你要扔掉哪一个？为什么呢?说说你的理由。 退出返回 的通解。 解 故原方程的通解为 *例2-9 求一阶线性微分方程 用凑微分法解常微方程， 除应纯熟地掌握凑微分的四则运算技巧、 特别是商的运算法则之外， 对已经选凑成形的微分间的相互关联性， 尤其应保持住丰富的联想空间。 何谓规律？不就是相互关联性吗？ “想象力比知识更重要”，本例即为又一 值得体味的佐例 （请与教材P236之例4相比对 ） 可见， 一个人拥有健康，美貌，诚信，机敏，才学，金钱，荣誉，7个背囊，渡船开始时风平浪静，可是不久就刮起了大风，船夫说要扔掉一个背囊，你会扔掉那个背囊呢？最后你要扔掉哪一个？为什么呢?说说你的理由。 退出返回 1. 分离变量法 2. 公式法 已分离变量的方程。对可分离变量 若一阶常微方程已被改写成关于 通解表达式，把未知函数的系数和 若一阶常微方程已被改写成等号 两边各自分别是同一变量疑似为某 全微分的方程，则这种方程就称为 所求得的一阶任意线性微分方程的 非齐次项的信息直接代入计算，而 一举得出通解的解法称为公式法。 这种奠基性的解法一旦与微分方程的具体构形特征挂上钩之后， 凑微分法是微分方程求解的奠基性解法。 还能衍生出许多其它的经典解法
