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1、1 cae tcy cae tcy 建模建模 建模建模 分析分析 分析分析 设计设计 设计设计 状态空间 表达式 状态空间 表达式 状态反馈状态反馈 状态观测器状态观测器 最优控制最优控制 可控性可控性 可观性可观性 稳定性稳定性 求解求解 建立建立 转换转换 现代控制理论提纲现代控制理论提纲 线性连续系统线性连续系统 线性离散系统线性离散系统 返回返回 cae tcy cae tcy 第六章第六章第六章第六章 李雅普诺夫稳定性分析李雅普诺夫稳定性分析李雅普诺夫稳定性分析李雅普诺夫稳定性分析 1 李雅普诺夫意义下的稳定性1 李雅普诺夫意义下的稳定性 2 李雅普诺夫第一法(间接法)李雅普诺夫第一
2、法(间接法) 3 李雅普诺夫第二法(直接法)李雅普诺夫第二法(直接法) 4 应用李雅普诺夫方法分析线性 定常系统的稳定性 应用李雅普诺夫方法分析线性 定常系统的稳定性 2 cae tcy cae tcy 第六章第六章第六章第六章 李雅普诺夫稳定性分析李雅普诺夫稳定性分析李雅普诺夫稳定性分析李雅普诺夫稳定性分析 1 李雅普诺夫意义下的稳定性1 李雅普诺夫意义下的稳定性 2 李雅普诺夫第一法(间接法) 李雅普诺夫第一法(间接法) 3 李雅普诺夫第二法(直接法) 李雅普诺夫第二法(直接法) 4 应用李雅普诺夫方法分析线性 定常系统的稳定性 应用李雅普诺夫方法分析线性 定常系统的稳定性 cae tcy
3、 cae tcy 控制系统原处于平衡状态。受到扰动，产生偏差。 扰动消失以后，偏差渐小，能恢复到原来平衡状 态，则 控制系统原处于平衡状态。受到扰动，产生偏差。 扰动消失以后，偏差渐小，能恢复到原来平衡状 态，则稳定稳定。偏差渐大，不能恢复到原来平衡状 态，则 。偏差渐大，不能恢复到原来平衡状 态，则不稳定不稳定。 控制系统的重要性质! 正常工作的首要条件!控制系统的重要性质! 正常工作的首要条件! 系统在初始偏差作用下，过渡过程的收敛性！系统在初始偏差作用下，过渡过程的收敛性！ 一、概述一、概述一、概述一、概述 稳定性是系统性能研究的首要问题稳定性是系统性能研究的首要问题 3 cae tcy
4、 cae tcy 经典控制理论经典控制理论 对稳定性描述的对稳定性描述的局限性局限性 (1) 局限于描述局限于描述线性定常线性定常系统；系统； (2) 局限于研究系统的局限于研究系统的外部稳定性外部稳定性。 ? 劳斯劳斯 (Routh) 判据；判据； ? 奈氏奈氏 (Nyquist) 判据；判据； 稳定性判据稳定性判据 返回 前页 返回 前页 cae tcy cae tcy ? 李雅普诺夫李雅普诺夫 (Lyapunov) 稳定性理论；稳定性理论； 现代控制理论现代控制理论 对稳定性描述的对稳定性描述的特点特点 (1) 稳定判据可用于稳定判据可用于线性线性/非线性非线性，定常定常/时变时变系统；
5、系统； (2) 研究系统研究系统外部稳定性外部稳定性和和内部稳定性内部稳定性； (3) 能够反映系统稳定的本质特征。能够反映系统稳定的本质特征。 稳定性判据稳定性判据 返回 前页 返回 前页 4 cae tcy cae tcy ( )() () AI BAIC BAICG = s s ss * 1 零初始条件零初始条件下，对于任意一个下，对于任意一个有界输入有界输入，若 系统所产生的相应 ，若 系统所产生的相应输出输出也是也是有界有界的，称该系统是的，称该系统是 外部稳定外部稳定的，简称的，简称 BIBO稳定BIBO稳定。 系统外部稳定的 。 系统外部稳定的充分必要条件充分必要条件： 传递函数
6、矩阵中所有元素的极点全部 位于 ： 传递函数矩阵中所有元素的极点全部 位于s左半平面。左半平面。 = += Cxy BuAx x tt xx 初始状态向量初始状态向量初始时刻初始时刻 () 0000 , ;xxx=tt 不受外力不受外力 1. 基本概念基本概念 cae tcy cae tcy ()0,=t ee xf x tttt et xxx 则称系统的平衡状态则称系统的平衡状态xe在在李雅普诺夫意义下稳定李雅普诺夫意义下稳定。 稳定稳定 返回 前页 返回 前页 11 cae tcy cae tcy 几何意义：几何意义： 任给任给一个球域一个球域 S( )，若存在一个球域，若存在一个球域 S
7、( )，使 得当 ，使 得当 t 时，从时，从 S( )出发的轨迹不离开出发的轨迹不离开 S( )，则 称系统的平衡状态是 ，则 称系统的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定李雅普诺夫意义下稳定的。的。 e x ( )S ( )S 0 x 1 x 2 x 初始状态有界，随时 间推移，状态向量距平衡 点的距离可以维持在一个 确定的数值内，而到达不 了平衡点。 初始状态有界，随时 间推移，状态向量距平衡 点的距离可以维持在一个 确定的数值内，而到达不 了平衡点。 2=n3=n 圆圆 球球 返回 前页 返回 前页 cae tcy cae tcy 几何意义：几何意义： 任给任给一个球域一个球域 S( )，若
8、存在一个球域，若存在一个球域 S( )，使 得当 ，使 得当 t 时，从时，从 S( )出发的轨迹不离开出发的轨迹不离开 S( )，则 称系统的平衡状态是 ，则 称系统的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定李雅普诺夫意义下稳定的。的。 e x ( )S ( )S 0 x 1 x 2 x 返回 前页 返回 前页 时变系统时变系统 与与t0有关 定常系统 有关 定常系统 与与t0 无关无关 若若 与初始时刻与初始时刻t0无 关，则称系统的平衡状态 无 关，则称系统的平衡状态 xe是是一致稳定一致稳定的。的。 12 cae tcy cae tcy 几何意义：几何意义： 任给一个球域任给一个球域 S( )，
9、若存在一个球域，若存在一个球域 S( )，使 得当 ，使 得当 t 时，从时，从 S( )出发的轨迹不离开出发的轨迹不离开 S( )，则 称系统的平衡状态是 ，则 称系统的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定李雅普诺夫意义下稳定的。的。 e x ( )S ( )S 0 x 1 x 2 x 返回 前页 返回 前页 cae tcy cae tcy ( )S ( )S 0 x 当系统作当系统作不衰减 的振荡运动 不衰减 的振荡运动时，将描 绘出一条封闭曲线， 只要不超出 时，将描 绘出一条封闭曲线， 只要不超出 S( )，则 认为是 ，则 认为是稳定稳定的。的。 与与经典控制理论经典控制理论中线性定常系统
10、 稳定性的定义 中线性定常系统 稳定性的定义不同！不同！ 1 x 2 x 返回 前页 返回 前页 13 cae tcy cae tcy = = 12 21 xx xx lim 0 = et t ttxxx 则称此平衡状态是则称此平衡状态是渐近稳定渐近稳定的。的。 稳定稳定 若若 与初始时刻与初始时刻t0无关，则称系统的平衡状态无关，则称系统的平衡状态xe 是是一致渐近稳定一致渐近稳定的。的。 设系统初始状态位于以设系统初始状态位于以平衡状态平衡状态 xe为球心，为球心， 为半径的闭球域为半径的闭球域 S( )内，即内，即 00 tt e =xx 返回 前页 返回 前页 14 cae tcy c
11、ae tcy ( )S ( )S 0 x 与与经典控制理论经典控制理论中稳定性的定义中稳定性的定义相同！相同！ 1 x 2 x 几何意义：几何意义： 当当 t 时，从时，从 S( )出发的轨迹不仅不超出出发的轨迹不仅不超出 S( )，而且最终收敛于，而且最终收敛于xe，则称系统的平衡状态是，则称系统的平衡状态是 渐近稳定渐近稳定的。 初始状态有界，随时 间推移，状态向量距平衡 点可以无限接近，直至到 达平衡点后停止运动。 的。 初始状态有界，随时 间推移，状态向量距平衡 点可以无限接近，直至到 达平衡点后停止运动。 返回 前页 稳定 返回 前页 稳定 cae tcy cae tcy 几何意义：
12、几何意义： 当当 t 时，从时，从 S( )出发的轨迹不仅不超出出发的轨迹不仅不超出 S( )，而且最终收敛于，而且最终收敛于xe，则称系统的平衡状态是，则称系统的平衡状态是 渐近稳定渐近稳定的。的。 ( )S ( )S 0 x 1 x 2 x 返回前页 稳定 返回前页 稳定 15 cae tcy cae tcy = = 212 21 xxx xx & & 例：例： 平衡状态平衡状态 = 0 0 e x 返回前页 返回前页 cae tcy cae tcy 如果对于某个实数如果对于某个实数 0 0 和任一个实数和任一个实数 0 0， 不管这两个实数有多么小，在 ， 不管这两个实数有多么小，在S(
13、 ) 内总存在着一 个状态 内总存在着一 个状态x0，由这一状态出发的轨迹超出，由这一状态出发的轨迹超出S( )，则 称此平衡状态是 ，则 称此平衡状态是不稳定不稳定的。的。 e x ( )S ( )S 0 x 1 x 2 x 几何意义：几何意义： 初始状态有界，随 时间推移，状态向量距 平衡点越来越远。 初始状态有界，随 时间推移，状态向量距 平衡点越来越远。 稳定 渐稳 稳定 渐稳 16 cae tcy cae tcy 如果对于某个实数如果对于某个实数 0 0 和任一个实数和任一个实数 0 0， 不管这两个实数有多么小，在 ， 不管这两个实数有多么小，在S( ) 内总存在着一 个状态 内总
14、存在着一 个状态x0，由这一状态出发的轨迹超出，由这一状态出发的轨迹超出S( )，则 称此平衡状态是 ，则 称此平衡状态是不稳定不稳定的。的。 e x ( )S ( )S 0 x 1 x 2 x 稳定 渐稳 返回前页 稳定 渐稳 返回前页 cae tcy cae tcy = = 22 11 xx xx & & 例：例： 平衡状态平衡状态 = 0 0 e x 返回前页 返回前页 17 cae tcy cae tcy 当初始条件扩展到整个状态空间，且平衡状态当初始条件扩展到整个状态空间，且平衡状态 均均具有渐近稳定性时，称此平衡状态是具有渐近稳定性时，称此平衡状态是大范围（全 局）渐近稳定 大范围
15、（全 局）渐近稳定的。的。 e x 0 x 1 x 0 x ( )S 2 x 几何意义：几何意义： 当当 t 时，从时，从状态空间任 意一点 状态空间任 意一点出发的轨迹都收敛于出发的轨迹都收敛于xe。 3. 稳定的范围 初始状态在整个状态空间时， 系统状态都渐近稳定。 稳定的范围 初始状态在整个状态空间时， 系统状态都渐近稳定。 渐近稳定渐近稳定 cae tcy cae tcy 当初始条件扩展到整个状态空间，且平衡状态当初始条件扩展到整个状态空间，且平衡状态 均均具有渐近稳定性时，称此平衡状态是具有渐近稳定性时，称此平衡状态是大范围（全 局）渐近稳定 大范围（全 局）渐近稳定的。的。 e x 0 x 1 x 0 x ( )S 2 x 3. 稳定的范围稳定的范围 渐近稳定渐近稳定 18 cae tcy cae tcy 当初始条件扩展到整个状态空间，且平衡状态当初始条件扩展到整个状态空间，且平衡状态 均均具有渐近稳定性时，称此平衡状态是具有渐近稳定性时，称此平衡状态是大范围（全 局）渐近稳定 大范围（全 局）渐近稳定的。的。 e x 0 x 1 x 0 x ( )S 2 x 线性系统线性系统稳定性与初始 条件 稳定性与初始 条件无关无关，如果，如果渐近稳定渐近稳定， 则 ， 则必然必然大范围渐近稳定大范围渐近稳定。
