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1、n注意对学生综合素质的培养(冰 冻三尺,非一日之寒,功夫在平 时) (观察与发现能力),如: (例1)数字的黑洞现象 任取一个能被3整除的数,如213 按如下运算: 猜测自然也有可能猜错,例如欧拉方,费马数 (3,5,17,257,65537)等被猜错-猜测须证明 (例2) 某人平时下班总是按预定时间到达某处,然 然后他妻子开车接他回家。有一天,他比平时提早 了三十分钟到达该处,于是此人就沿着妻子来接他 的方向步行回去并在途中遇到了妻子,这一天,他 比平时提前了十分钟到家,问此人共步行了多长时 间? 发散性思维能力的培养发散性思维能力的培养 似乎条件不够哦 。 换一种想法,问题就迎刃而 解了。
2、假如他的妻子遇到他后仍 载着他开往会合地点,那么这一 天他就不会提前回家了。提前的 十分钟时间从何而来? 显然是由于节省了从相遇点到 会合点,又从会合点返回相遇点这一 段路的缘故,故由相遇点到会合点需 开5分钟。而此人提前了三十分钟到 达会合点,故相遇时他已步行了二十 五分钟。 请思考一下,本题解答中隐含了哪些假设请思考一下,本题解答中隐含了哪些假设 ? 例3 交通灯在绿灯转换成红灯时,有 一个过渡状态亮一段时间的黄灯 。请分析黄灯应当亮多久。 设想一下黄灯的作用是什么,不难看 出,黄灯起的是警告的作用,意思是 马上要转红灯了,假如你能停住,请 立即停车。停车是需要时间的,在这 段时间内,车辆
3、仍将向前行驶一段距 离 L。这就是说,在离街口距离为 L处 存在着一条停车线(尽管它没被画在 地上),见图1-4。对于那些黄灯亮时 已过线的车辆,则应当保证它们仍能 穿过马路。 马路的宽度 D是容易测得 的,问题的关键在 于L 的确定。为确定 L,还应当将 L划分为两段:L1 和L2,其中 L1是司机在发现黄灯亮及判断应当 刹车的反应时间内驶过的路程 ,L2为刹车制动 后车辆驶过的路程。L1较容易计算,交通部门对 司机的平均反应时间 t1早有测算,反应时间过 长将考不出驾照),而此街道的行驶速度 v 也 是交管部门早已定好的,目的是使交通流量最大 ,可另建模型研究,从而 L1=v*t1。刹车距
4、离 L2既可用曲线拟合方法得出,也可利用牛顿第二 定律计算出来 ( 留作习题)。 黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。第 一步,先计算出 L应多大才能使看见黄灯的司机 停得住车。第二步,黄灯亮的时间应当让已过线 的车顺利穿过马路,即T 至少应当达到 (L+D )/v。 D L 例4 将形状质量相同的砖块一一向右往外 叠放,欲尽可能地延伸到远方,问最远可 以延伸多大距离。 设砖块是均质的,长度与重量均 为1,其 重 心在中点1/2砖长处,现用归纳法推导。 Zn (n 1) n (n 1) 由第 n块砖受到的两个力的力矩相等,有: 1/2-Zn= (n1) Zn 故Zn =1/(2n),从而上
5、面 n块砖向右推出 的总距离为 , 故砖块向右可叠至故砖块向右可叠至 任意远任意远 ,这一结果多少,这一结果多少 有点出人意料。有点出人意料。 学科知识的应用有时是意想不到的。 (例5)循环图的连通性与gcd(a,n)=1之 间的关系)。举例gcd(2,7)=1, gcd(2,6)=2 希尔密码设计 古典密码不能改变字母出现的频率 利用矩阵与向量相乘运算 困难:逆矩阵不能用于解密 想办法克服困难。 (实例)取A = 则 (具体求法见 后),用A加密THANK YOU,再用 对密文解密 用矩阵A左乘各向量加密(关 于26取余)得 得到密文 JXCPI WEK 解:(希尔密码加 密)用相应数字代替
6、字符,划分为两个元素一 组并表示为向量: (希尔密码解密) 用A-1左乘求得的向量,即可还原为原来的向量。 (自行验证) 希尔密码是以矩阵 法为基础的,明文与密文的对 应由n阶矩 阵A确定。矩阵A的阶数是事先约定的,与明文分组时每组字 母的字母数量相同,如果明文所含字数 与n不匹配,则最后 几个分量可任意补足。 A-1的求法 方法1 利用公式 ,例如,若取 , 则 , , (mod26) ,即 方法2 利用高斯消去法。将矩 阵(A, E)中的矩阵A消为E, 则原先的E即被消成了A-1, n(例1)敏感问题的调查 因为需要,人们有时候会去调查一些敏感问题。 例如,学校领导可能想通过调查了解在校学
7、生中 究竟有多少人在考试中作弊过 ,或者究竟有多少 学生在谈恋爱,。卫生部门为了控制和预防艾 滋病,希望了解本地区大约有多少人是同性恋者 、有多少人在吸毒,等等。直截了当去问别人非 但了解不到真实情况,还很可能会引起别人的反 感,你能想出办法来解决这一困难吗?(分析: 不能只提一个问题) 分析问题的能力分析问题的能力 n方法一(随机回答法) n要调查敏感问题,所提问题必定要涉及到这一敏 感问题,但是,如果你直截了当地去提问,你又 成了在打听别人的隐私。有什么办法可以解决这 一困难呢?方法之一就是多提几个问题,采用所 谓的随机回答法(Randomized Response Method )。调查
8、者不是只提出敏感问题,而 是将此敏感问题包含在所提的问题之中,让被调 查者回答其中的一个问题。由于调查者并不知道 被调查者回答的是哪一个问题,只要被调查者知 道这一点并确信调查者不可能从自己的回答中了 解到他个人的隐私,也就没有必要再讲假话了。 例如调查者提出以下两个问题: 问题1)你曾经在考试中作弊过吗? 问题2)你从不在考试中作弊吗? 调查者又如何计算出作过弊的人所占的比 例呢?这里需要用到概率论中的条件概率 公式。用一个竹筒,里面装n根竹签,其 中有p根标有1,q根标有2(p+q=n)。 被调查者抽到1的概率为 p/p+q,抽到2 的概率为q/p+q 。假设回答“是”的人占被 调查者总数
9、的百分比为a。 n从未作弊过的学生所占的比例为(1- a, 由条件概率公式,回答是的比例为: k=(apn+(1-a)qn)/n,k可统计出来 a=(k-q)/(p-q),a即要求的数(近似值) 方法二(不相关问题模型) 问题1:你曾经作弊过吗? 问题2:你是上半年出生的吗? 则可得:a=(k-rq)/p,(r为上半年生比例) 例2 我方巡逻艇发现敌方潜水艇。与此同时敌方潜水艇也发现了 我方巡逻艇,并迅速下潜逃逸。设两艇间距离为60哩,潜水艇最 大航速为30节而巡逻艇最大航速为60节,问巡逻艇应如何追赶潜 水艇。 显然,这是一个对策问题,较为复杂。仅讨论以下简单情形: 敌潜艇发现自己目标已暴露
10、后,立即下潜,并沿着直 线方向全速逃逸,逃逸方向我方不知。 (追赶方案的设计) 设巡逻艇在A处发现位于B处的潜水艇,取极坐标,以B为极 点,BA为极轴,设巡逻艇追赶路径在此极坐标下的方程为 r=r(),见图3-2。 B A A1 dr ds d 图3-2 由题意, ,故ds=2dr 图3-2可看出, 故有: 即: (3.3) 解为: (3.4) 先使自己到极点的距离等于潜艇到极点的距离,然 后按(3.4)对数螺线航行,即可追上潜艇。 追赶方法如下: 观察猜测证明,科学研究的重要 途径之一 (例1)设有一个半径为 r 的圆形湖,圆心为 O。 A、B 位于湖的两侧,AB连线过O,见图。 现拟从A点
11、步行到B点,在不得进入湖中的限 制下,问怎样的路径最近。 A B O r EF E F 逻辑推理与证明能力逻辑推理与证明能力 猜测证明如下: (方法一)显然, 由AE、EF、FB及AE,EF,FB围成 的区域 R是一凸集。利用分离定理易证最短径不可能经过R 外的点,若不然,设 为最短路径,过R外的一点M,则 必存在直 线l分离M与R,由于路径是连续曲线,由A沿 到M,必交l于M1,由M沿到B又必交l于M2。这样,直线 段M1M2的长度必小于路 径M1MM2的长度,与是A到B的 最短路径矛盾,至此,我们已证明最短路径必在凸集R内。 不妨设路径经湖的上方到达B点,则弧EF必在路径F上,又 直线段A
12、E是由A至E的最短路径,直线FB是由F到B的最短 路径,猜测得证。 A B O r EF E F M1 M2 M l 例2 在每一次人数不少于6人的聚会中必可找 出这样的3人,他们或者彼此均认识或者彼此均 不认识 。 利用图的方法来描述该问题。将人看成顶 点,两人彼此都认识用实线连,否则虚线。 证明: 相识问题(拉姆齐问题) 问题转化为在一个6阶图中必存在实线三角 形或虚线三角形。 请大家一起画图证明 2 1 3 4 6 5 1 2 3 4 任取一顶点,不妨1 考察23、24和34 23、24和34只能是虚线 ,否则得证 但这样三角形234的三边均为虚线 不妨取1 2 、 1 3 、 1 4
13、实线 与1相连的边必然有: 实线条数不小于3或虚线条数不小于3 拉姆齐问题也可这样叙述: 6 阶2色完全图中必含有3阶单 色完全图。 其他类似可推出的结果 : 命题1 任一6阶2色完全图中至少含有两个3阶单色完全图。 证明:前面证明必存在3阶单色完全图,不妨设123 为红色完全图 15、25、35中至少有两条黑色、故15 与25中至少有一条是黑色 若456也是红色三角形,命题已得证 故至少一边与123的边异色,不妨设45黑色 14、24、34至少应有两条黑色,不妨设 14 、24 黑色 所以存在第二个3阶单色完全图。 命题2 7阶双色完全图中至少含有 4个3阶单色完全图 2 1 3 4 6 5
14、 定义 : 用m种颜色对 的边进行染色,如果要求必 存在一种颜色t(t= 1,m之一),在 中总可以找出该种颜色的 阶单色子图,具 有这种性质的最小正整数n记为 , 这种数被称为拉姆塞数。根据前面的证明,我 们已经知道了 。(易见,由于数 学符号的引入,我们的叙述大大地简化了) 。 n经过许多人的努力,现已发现: 人们找到的拉姆塞数总共只有这10个,寻找 已经是常人无法想象地困难。由于计算量太大的原因,要找 到第十一个,例如 已经非常困难,即使利用计算机来 计算,也要花上几年甚至更长的时间。 实例 17位学者中每人都和其他人通信讨论3个方向的课题 。任意两人间只讨论其中一个方向的课题,则其中必
15、可找出 3位学者,他们之间讨论的是同一方向的课题。即 r(3,3,3)=17 (例3)(交换座位奇偶数校验 ) n(问题的提出)一位老师正在上英语课,教室里共 有九排座位,每排有7把椅子,座位上坐满了学生 。为了增加口语练习机会,老师要求学生变换一下 座位,但该老师要求每位同学在交换以后必须坐在 原先座位的前后左右4个座位之一上,问学生应当 怎样交换座位? n(解答)这一问题是无解的,教室里共有63个座 位,如果你给座位编一下号(要连续编号),你会 发现原先坐在奇数号上的学生交换以后必定坐在偶 数位上,反之,原先坐在偶数位的同学交换后必定 坐在奇数位上,但奇数位椅子和偶数位椅子数量 不一样,所以无法交换。 (例4) 拟将一批尺寸为124的的商品装入尺寸为 6