数学建模知识综合

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1、n注意对学生综合素质的培养（冰 冻三尺，非一日之寒，功夫在平 时） （观察与发现能力），如： （例1）数字的黑洞现象 任取一个能被3整除的数，如213 按如下运算： 猜测自然也有可能猜错，例如欧拉方，费马数 （3，5，17，257,65537）等被猜错-猜测须证明 （例2） 某人平时下班总是按预定时间到达某处，然 然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早 了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他 的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他 比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时 间？ 发散性思维能力的培养发散性思维能力的培养 似乎条件不够哦 。 换一种想法，问题就迎刃而 解了。

2、假如他的妻子遇到他后仍 载着他开往会合地点，那么这一 天他就不会提前回家了。提前的 十分钟时间从何而来？ 显然是由于节省了从相遇点到 会合点，又从会合点返回相遇点这一 段路的缘故，故由相遇点到会合点需 开5分钟。而此人提前了三十分钟到 达会合点，故相遇时他已步行了二十 五分钟。 请思考一下，本题解答中隐含了哪些假设请思考一下，本题解答中隐含了哪些假设 ？ 例3 交通灯在绿灯转换成红灯时，有 一个过渡状态亮一段时间的黄灯 。请分析黄灯应当亮多久。 设想一下黄灯的作用是什么，不难看 出，黄灯起的是警告的作用，意思是 马上要转红灯了，假如你能停住，请 立即停车。停车是需要时间的，在这 段时间内，车辆

3、仍将向前行驶一段距 离 L。这就是说，在离街口距离为 L处 存在着一条停车线（尽管它没被画在 地上），见图1-4。对于那些黄灯亮时 已过线的车辆，则应当保证它们仍能 穿过马路。 马路的宽度 D是容易测得 的，问题的关键在 于L 的确定。为确定 L，还应当将 L划分为两段：L1 和L2，其中 L1是司机在发现黄灯亮及判断应当 刹车的反应时间内驶过的路程 ，L2为刹车制动 后车辆驶过的路程。L1较容易计算，交通部门对 司机的平均反应时间 t1早有测算，反应时间过 长将考不出驾照），而此街道的行驶速度 v 也 是交管部门早已定好的，目的是使交通流量最大 ，可另建模型研究，从而 L1=v*t1。刹车距

4、离 L2既可用曲线拟合方法得出，也可利用牛顿第二 定律计算出来 （ 留作习题）。 黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。第 一步，先计算出 L应多大才能使看见黄灯的司机 停得住车。第二步，黄灯亮的时间应当让已过线 的车顺利穿过马路，即T 至少应当达到 （L+D ）/v。 D L 例4 将形状质量相同的砖块一一向右往外 叠放，欲尽可能地延伸到远方，问最远可 以延伸多大距离。 设砖块是均质的，长度与重量均 为1，其 重 心在中点1/2砖长处，现用归纳法推导。 Zn (n 1) n (n 1) 由第 n块砖受到的两个力的力矩相等，有： 1/2-Zn= (n1) Zn 故Zn =1/(2n)，从而上

5、面 n块砖向右推出 的总距离为 ， 故砖块向右可叠至故砖块向右可叠至 任意远任意远 ，这一结果多少，这一结果多少 有点出人意料。有点出人意料。 学科知识的应用有时是意想不到的。 （例5）循环图的连通性与gcd(a,n)=1之 间的关系）。举例gcd(2,7)=1， gcd(2,6)=2 希尔密码设计 古典密码不能改变字母出现的频率 利用矩阵与向量相乘运算 困难：逆矩阵不能用于解密 想办法克服困难。 （实例）取A = 则 (具体求法见 后),用A加密THANK YOU,再用 对密文解密 用矩阵A左乘各向量加密（关 于26取余）得 得到密文 JXCPI WEK 解:(希尔密码加 密)用相应数字代替

6、字符，划分为两个元素一 组并表示为向量： （希尔密码解密） 用A-1左乘求得的向量，即可还原为原来的向量。 (自行验证) 希尔密码是以矩阵 法为基础的，明文与密文的对 应由n阶矩 阵A确定。矩阵A的阶数是事先约定的，与明文分组时每组字 母的字母数量相同，如果明文所含字数 与n不匹配，则最后 几个分量可任意补足。 A-1的求法 方法1 利用公式 ，例如，若取 ， 则 , , (mod26) ，即 方法2 利用高斯消去法。将矩 阵(A, E)中的矩阵A消为E， 则原先的E即被消成了A-1， n（例1）敏感问题的调查 因为需要，人们有时候会去调查一些敏感问题。 例如，学校领导可能想通过调查了解在校学

7、生中 究竟有多少人在考试中作弊过 ，或者究竟有多少 学生在谈恋爱，。卫生部门为了控制和预防艾 滋病，希望了解本地区大约有多少人是同性恋者 、有多少人在吸毒，等等。直截了当去问别人非 但了解不到真实情况，还很可能会引起别人的反 感，你能想出办法来解决这一困难吗？（分析： 不能只提一个问题） 分析问题的能力分析问题的能力 n方法一（随机回答法） n要调查敏感问题，所提问题必定要涉及到这一敏 感问题，但是，如果你直截了当地去提问，你又 成了在打听别人的隐私。有什么办法可以解决这 一困难呢？方法之一就是多提几个问题，采用所 谓的随机回答法（Randomized Response Method ）。调查

8、者不是只提出敏感问题，而 是将此敏感问题包含在所提的问题之中，让被调 查者回答其中的一个问题。由于调查者并不知道 被调查者回答的是哪一个问题，只要被调查者知 道这一点并确信调查者不可能从自己的回答中了 解到他个人的隐私，也就没有必要再讲假话了。 例如调查者提出以下两个问题： 问题1）你曾经在考试中作弊过吗？ 问题2）你从不在考试中作弊吗？ 调查者又如何计算出作过弊的人所占的比 例呢？这里需要用到概率论中的条件概率 公式。用一个竹筒，里面装n根竹签，其 中有p根标有1，q根标有2（p+q=n）。 被调查者抽到1的概率为 p/p+q，抽到2 的概率为q/p+q 。假设回答“是”的人占被 调查者总数

9、的百分比为a。 n从未作弊过的学生所占的比例为（1- a， 由条件概率公式，回答是的比例为： k=(apn+(1-a)qn)/n，k可统计出来 a=(k-q)/(p-q)，a即要求的数（近似值） 方法二（不相关问题模型） 问题1：你曾经作弊过吗？ 问题2：你是上半年出生的吗？ 则可得：a=(k-rq)/p，(r为上半年生比例) 例2 我方巡逻艇发现敌方潜水艇。与此同时敌方潜水艇也发现了 我方巡逻艇，并迅速下潜逃逸。设两艇间距离为60哩，潜水艇最 大航速为30节而巡逻艇最大航速为60节，问巡逻艇应如何追赶潜 水艇。 显然，这是一个对策问题，较为复杂。仅讨论以下简单情形： 敌潜艇发现自己目标已暴露

10、后，立即下潜，并沿着直 线方向全速逃逸，逃逸方向我方不知。 （追赶方案的设计） 设巡逻艇在A处发现位于B处的潜水艇，取极坐标，以B为极 点，BA为极轴，设巡逻艇追赶路径在此极坐标下的方程为 r=r()，见图3-2。 B A A1 dr ds d 图3-2 由题意， ，故ds=2dr 图3-2可看出， 故有: 即: （3.3） 解为： （3.4） 先使自己到极点的距离等于潜艇到极点的距离,然 后按（3.4）对数螺线航行，即可追上潜艇。 追赶方法如下： 观察猜测证明，科学研究的重要 途径之一 （例1）设有一个半径为 r 的圆形湖，圆心为 O。 A、B 位于湖的两侧，AB连线过O，见图。 现拟从A点

11、步行到B点，在不得进入湖中的限 制下，问怎样的路径最近。 A B O r EF E F 逻辑推理与证明能力逻辑推理与证明能力 猜测证明如下： （方法一）显然， 由AE、EF、FB及AE，EF，FB围成 的区域 R是一凸集。利用分离定理易证最短径不可能经过R 外的点，若不然，设 为最短路径，过R外的一点M，则 必存在直 线l分离M与R，由于路径是连续曲线，由A沿 到M，必交l于M1，由M沿到B又必交l于M2。这样，直线 段M1M2的长度必小于路 径M1MM2的长度，与是A到B的 最短路径矛盾，至此，我们已证明最短路径必在凸集R内。 不妨设路径经湖的上方到达B点，则弧EF必在路径F上，又 直线段A

12、E是由A至E的最短路径，直线FB是由F到B的最短 路径，猜测得证。 A B O r EF E F M1 M2 M l 例2 在每一次人数不少于6人的聚会中必可找 出这样的3人，他们或者彼此均认识或者彼此均 不认识 。 利用图的方法来描述该问题。将人看成顶 点，两人彼此都认识用实线连，否则虚线。 证明： 相识问题（拉姆齐问题） 问题转化为在一个6阶图中必存在实线三角 形或虚线三角形。 请大家一起画图证明 2 1 3 4 6 5 1 2 3 4 任取一顶点，不妨1 考察23、24和34 23、24和34只能是虚线 ，否则得证 但这样三角形234的三边均为虚线 不妨取1 2 、 1 3 、 1 4

13、实线 与1相连的边必然有： 实线条数不小于3或虚线条数不小于3 拉姆齐问题也可这样叙述： 6 阶2色完全图中必含有3阶单 色完全图。 其他类似可推出的结果 ： 命题1 任一6阶2色完全图中至少含有两个3阶单色完全图。 证明：前面证明必存在3阶单色完全图，不妨设123 为红色完全图 15、25、35中至少有两条黑色、故15 与25中至少有一条是黑色 若456也是红色三角形，命题已得证 故至少一边与123的边异色，不妨设45黑色 14、24、34至少应有两条黑色，不妨设 14 、24 黑色 所以存在第二个3阶单色完全图。 命题2 7阶双色完全图中至少含有 4个3阶单色完全图 2 1 3 4 6 5

14、 定义 ： 用m种颜色对 的边进行染色，如果要求必 存在一种颜色t（t= 1,m之一），在 中总可以找出该种颜色的 阶单色子图，具 有这种性质的最小正整数n记为 ， 这种数被称为拉姆塞数。根据前面的证明，我 们已经知道了 。（易见，由于数 学符号的引入，我们的叙述大大地简化了） 。 n经过许多人的努力，现已发现： 人们找到的拉姆塞数总共只有这10个，寻找 已经是常人无法想象地困难。由于计算量太大的原因，要找 到第十一个，例如 已经非常困难，即使利用计算机来 计算，也要花上几年甚至更长的时间。 实例 17位学者中每人都和其他人通信讨论3个方向的课题 。任意两人间只讨论其中一个方向的课题，则其中必

15、可找出 3位学者，他们之间讨论的是同一方向的课题。即 r(3,3,3)=17 （例3）（交换座位奇偶数校验 ） n（问题的提出）一位老师正在上英语课，教室里共 有九排座位，每排有7把椅子，座位上坐满了学生 。为了增加口语练习机会，老师要求学生变换一下 座位，但该老师要求每位同学在交换以后必须坐在 原先座位的前后左右4个座位之一上，问学生应当 怎样交换座位？ n（解答）这一问题是无解的，教室里共有63个座 位，如果你给座位编一下号（要连续编号），你会 发现原先坐在奇数号上的学生交换以后必定坐在偶 数位上，反之，原先坐在偶数位的同学交换后必定 坐在奇数位上，但奇数位椅子和偶数位椅子数量 不一样，所以无法交换。 （例4） 拟将一批尺寸为124的的商品装入尺寸为 6