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1、二次函数的几种解析 及求法 练习1 练习2 思想方法思想方法 应用举例 一般式一般式 顶点式顶点式 交点式交点式 例例2 2 应用应用 例例1 1 尝试练习尝试练习 二次函数的几种解析式及求法二次函数的几种解析式及求法 前 言前 言 二次二次函数解析式函数解析式 练习3 小 结小 结 一般式一般式顶点式顶点式交点式交点式 平移式平移式 例例3 3 平移式平移式 练习4 二次函数是初中代数的重要内 容之一,也是历年中考的重点。这 部分知识命题形式比较灵活,既有 填空题、选择题,又有解答题,而 且常与方程、几何、三角等综合在 一起,出现在压轴题之中。 因此, 熟练掌握二次函数的相关知识,会 灵活运
2、用一般式、顶点式、交点式 求二次函数的解析式是解决综合应 用题的基础和关键。 一、二次函数常用的几种解析式的确定 已知抛物线上三点的坐标,通常选择一般式 。 已知抛物线上顶点坐标(对称轴或最值)和另一点,通常选 择顶点式。 已知抛物线与x轴的交点坐标,选择选择 交点式。 1、一般式 2、顶点式 3、交点式 4、平移式 将抛物线平移,函数解析式中发生变化的只有顶点坐 标, 可将原函数先化为顶点式,再根据“左加右减,上 加下减”的法则,即可得出所求新函数的解析式。 二、求二次函数解析式的思想方法 1、 求二次函数解析式的常用方法 : 2、求二次函数解析式的 常用思想: 3、二次函数解析式的最终形式
3、 : 待定系数法、配方法、数形结合等。 转化思想 : 解方程或方程组 无论采用哪一种解析式求解,最后 结果最好化为一般式。 例1、已知二次函数 的图像如图所示, 求其解析式。 解法一: 一般式 设解析式为 顶点C(1,4), 对称轴 x=1. A(-1,0)与 B关于 x=1对称, B(3,0)。 A(-1,0)、B(3,0)和 C(1,4)在抛物线上, 即 : 三、应用举例 例1、已知二次函数 的图像如图所示, 求其解析式。 解法二:顶点式 设解析式为 顶点C(1,4) 又A(-1,0)在抛物线上, a = -1 即 : h=1, k=4. 三、应用举例 解法三:交点式 设解析式为 抛物线与
4、x 轴的两个交点坐标 为 A (-1,0)、B(3,0) y = a (x+1) (x- 3) 又 C(1,4)在抛物线上 4 = a (1+1) (1-3) a = -1 y = - ( x+1) (x-3) 即 : 例1、已知二次函数 的图像如图所示, 求其解析式。 三、应用举例 评析: 刚才采用一般式、顶点式和交点式求解 ,通过对比可发现用顶点式和交点式求解比 用一般式求解简便。同时也培养学生一题多 思、一题多解的能力,从不同角度进行思维 开放、解题方法开放的培养。注重解题技巧 的养成训练,可事半功倍。 2007年中考数学命题趋势,贴近 学生生活,联系实际,把实际问题转化 为数学模型,培
5、养学生分析问题、解决 问题的能力,增强学以致用的意识。 例2、已知:如图,是某一抛物线形拱形桥,拱桥底面宽度 OB是12米,当水位是2米时,测得水面宽度AC是8米。 (1)求拱桥所在抛物线的解析式;(2)当水位是2.5米时 ,高1.4米的船能否通过拱桥?请说明理由(不考虑船的宽 度。船的高度指船在水面上的高度)。 三、应用举例 即 : E F a = -0.1 解:(1)、由图可知:四边形ACBO是等腰梯形 过A、C作OB的垂线,垂足为E、F点。 OE = BF =(12-8)2 = 2。 O(0,0),B(-12,0),A(-2,2)。 设解析式为 又 A(-2,2)点在图像上, 三、应用举
6、例 例2、已知:如图,是某一抛物线形拱形桥,拱桥底面宽度 OB是12米,当水位是2米时,测得水面宽度AC是8米。 (1)求拱桥所在抛物线的解析式;(2)当水位是2.5米时 ,高1.4米的船能否通过拱桥?请说明理由(不考虑船的宽 度。船的高度指船在水面上的高度)。 P Q (2)、分析:船能否通过,只要看船在拱桥正中间时, 船及水位的高度是否超过拱桥顶点的纵坐标。 y = 水位+船高 =2.5+1.4 =3.9 3.6 解: 顶点(-6,3.6), 当水位为2.5米时, 船不能通过拱桥。 PQ是对称轴。 例3、将抛物线 向左平移4个单位 ,再向下平移3个单位,求平移后所得抛物线的解析 式。 解法
7、:将二次函数的解析式 转化为顶点式得: (1)、由 向左平移4个单位得: (左加右减) (2)、再将 向下平移3个单位得 (上加下减) 即:所求的解析式为 三、应用举例 1、已知二次函数的图像过原点,当x=1时,y有最小值为 -1,求其解析式。 四、尝试练习 解:设二次函数的解析式为 x = 1, y= -1 , 顶点(1,-1)。 又(0,0)在抛物线上, a = 1 即: 2、已知二次函数与x 轴的交点坐标为(-1,0),( 1,0),点(0,1)在图像上,求其解析式。 解:设所求的解析式为 抛物线与x轴的交点坐标为(-1,0)、(1,0) 又点(0,1)在图像上, a = -1 即: 四
8、、尝试练习 3、如图;有一个抛物线形的隧道桥拱,这个桥拱的最大 高度为3.6m,跨度为7.2m一辆卡车车高3米,宽1.6米, 它能否通过隧道? 四、尝试练习 即当x= OC=1.62=0.8米时 ,过C点作CDAB交抛物线于D点 ,若y=CD3米,则卡车可以通过 。 分析:卡车能否通过,只要看卡 车在隧道正中间时,其车高3米是否 超过其位置的拱高。 四、尝试练习 3、如图;有一个抛物线形的隧道桥拱,这个桥拱的最大 高度为3.6m,跨度为7.2m一辆卡车车高3米,宽1.6米, 它能否通过隧道? 解:由图知:AB=7.2米,OP=3.6米,A(-3.6,0) , B(3.6,0),P(0,3.6)
9、。 又P(0,3.6)在图像上, 当x=OC=0.8时, 卡车能通过这个隧道。 四、尝试练习 4、将二次函数 的图像向右平移1个单位, 再向上平移4个单位,求其解析式。 解: 二次函数解析式为 (1)、由 向右平移1个单位得: (左加右减) (2)、再把 向上平移4个单位得: (上加下减) 即:所求的解析式为 刘炜跳投 5. 刘炜在距离篮下4米处跳 起投篮,篮球运行的路线是抛 物线,当球运行的水平距离为 2.5米时,达到最高度3.5米,然 后准确落入蓝筐.已知蓝筐中 心到地面距离为3.05米.如果 刘炜的身高为1.9米,在这次 跳投中,球在头顶上方0.15米 处出手,问求出手时,他跳离 地面的
10、高度是多少? c 分析:要求出他跳离地面的高度,关键是 1.首先要求出该抛物线的函数关系式 2.由函数关系式求出C点的坐标,即求 出点C 离地面的高度h, h-0.15米-刘炜的身高即,他跳离地面的 高度. h 如图,刘炜在距离篮下4米处跳起投篮,篮球运行 的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5米时, 达到最高度3.5米,然后准确落入蓝筐.已知蓝筐中 心到地面距离为3.05米.如果刘炜的身高为1.9米, 在这次跳投中,球在头顶上方0.15米处出手,问求 出手时,他跳离地面的高度是多少? 探索: C y x o h 解:建立如图所示的直角坐标系,则抛物线的顶 点A(0,3.5),蓝筐中心点B
11、(1.5,3.05) 所以,设所求的抛物线为y=ax3.5 又 抛物线经过点B(1.5,3.05),得 a=-0.2 即所求抛物线为y=-0.2x3.5 当x=-2.5时,代入得y=2.25 又2.25-1.9-0.15=0.2m 所以,他跳离地面的高度 为0.2m 6:有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面A B的宽为20m,如 果水位上升3米时,水面CD的宽为10m (2)求此抛物线的解析式; A B CD O x y (1)建立如图直角坐标系, 求点B、D的坐标。 (3)现有一辆载有救援物质的货车,从甲出发需经此桥开往乙, 已知甲距此桥 280km(桥长忽略不计)货车以 40kmh的速度开
12、 往乙;当行驶1小时,忽然接到通知,前方连降暴雨,造成水位以 每小时025m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处, 当水位到达最高点E时,禁止车辆通行)试问:如果货车按原速 行驶,能否安全通过此桥?若能,请说明理由,若不能,要使货 车安全通过此桥,速度应不小于每小时多少千米? 6:有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面A B的宽为20m,如 果水位上升3米时,水面CD的宽为10m A B CD O x y E F 解:(1)B(10,0),D(5,3) (2)设抛物线的函数解析式为 由题意可得 : 解得 : 抛物线的函数解析式为 : A B CD O x y A B CD O x y E
13、F (3)解: E(0,4) 抛物线的函数解析式 为 : 又有题意可得:F(0,3 ) EF1 水位有CD上升到点E所用的时间为4小时。 设货车从接到通知到到达桥所用的时间为 t . 则40(t1)280解得:t64 故货车按原速行驶,不能安全通过此桥。 设货车速度为x kmh,能安全通过此桥. 则4x+40280 解得x60 故速度不小于60kmh,货车能安全通过此桥。 (4)现有一艘载有救援物质的货船,从甲出发需经此桥开往乙, 已知甲距此桥 280km,货船以 40kmh的速度开往乙;当行驶1 小时,忽然接到通知,前方连降暴雨,造成水位以每小时025m 的速度持续上涨(货车接到通知时水位在
14、AB处,当水位到达CD 时,禁止船只通行)试问:如果货船按原速行驶,能否安全通过 此桥?若能,请说明理由,若不能,要使货船安全通过此桥,速 度应不小于每小时多少千米? 6:有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面A B的宽为20m,如 果水位上升3米时,水面CD的宽为10m A B CD O x y 五、小结 1、二次函数常用解析式 .已知图象上三点坐标,通常选择一般式。 .已知图象的顶点坐标(对称轴或最值),通常选择顶点式。 .已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2, 通常选择交点式 。 3. 确定二次函数的解析式的关键是根据条件的 特点,恰当地选择一种函数表达式,灵活应用。 一般式一般式 顶点式顶点式 交点式交点式 2、求二次函数解析式的一般方法: 已知图象中发生变化的只有顶点坐标,通常选择平移式。 平移式平移式 谢谢!