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1、二次函数的几种解析 及求法 练习1 练习2 思想方法思想方法 应用举例 一般式一般式 顶点式顶点式 交点式交点式 例例2 2 应用应用 例例1 1 尝试练习尝试练习 二次函数的几种解析式及求法二次函数的几种解析式及求法 前 言前 言 二次二次函数解析式函数解析式 练习3 小 结小 结 一般式一般式顶点式顶点式交点式交点式 平移式平移式 例例3 3 平移式平移式 练习4 二次函数是初中代数的重要内 容之一，也是历年中考的重点。这 部分知识命题形式比较灵活，既有 填空题、选择题，又有解答题，而 且常与方程、几何、三角等综合在 一起，出现在压轴题之中。 因此， 熟练掌握二次函数的相关知识，会 灵活运
2、用一般式、顶点式、交点式 求二次函数的解析式是解决综合应 用题的基础和关键。 一、二次函数常用的几种解析式的确定 已知抛物线上三点的坐标，通常选择一般式 。 已知抛物线上顶点坐标（对称轴或最值）和另一点，通常选 择顶点式。 已知抛物线与x轴的交点坐标，选择选择 交点式。 1、一般式 2、顶点式 3、交点式 4、平移式 将抛物线平移，函数解析式中发生变化的只有顶点坐 标， 可将原函数先化为顶点式，再根据“左加右减，上 加下减”的法则，即可得出所求新函数的解析式。 二、求二次函数解析式的思想方法 1、 求二次函数解析式的常用方法 ： 2、求二次函数解析式的 常用思想： 3、二次函数解析式的最终形式
3、 ： 待定系数法、配方法、数形结合等。 转化思想 : 解方程或方程组 无论采用哪一种解析式求解，最后 结果最好化为一般式。 例1、已知二次函数 的图像如图所示， 求其解析式。 解法一： 一般式 设解析式为 顶点C（1，4）， 对称轴 x=1. A(-1,0)与 B关于 x=1对称， B（3，0）。 A(-1,0)、B（3，0）和 C（1，4）在抛物线上， 即 ： 三、应用举例 例1、已知二次函数 的图像如图所示， 求其解析式。 解法二：顶点式 设解析式为 顶点C（1，4） 又A(-1,0)在抛物线上， a = -1 即 ： h=1, k=4. 三、应用举例 解法三：交点式 设解析式为 抛物线与
4、x 轴的两个交点坐标 为 A (-1,0)、B（3，0） y = a (x+1) (x- 3) 又 C（1，4）在抛物线上 4 = a (1+1) (1-3) a = -1 y = - ( x+1) (x-3) 即 ： 例1、已知二次函数 的图像如图所示， 求其解析式。 三、应用举例 评析： 刚才采用一般式、顶点式和交点式求解 ，通过对比可发现用顶点式和交点式求解比 用一般式求解简便。同时也培养学生一题多 思、一题多解的能力，从不同角度进行思维 开放、解题方法开放的培养。注重解题技巧 的养成训练，可事半功倍。 2007年中考数学命题趋势，贴近 学生生活，联系实际，把实际问题转化 为数学模型，培
5、养学生分析问题、解决 问题的能力，增强学以致用的意识。 例2、已知：如图，是某一抛物线形拱形桥，拱桥底面宽度 OB是12米，当水位是2米时，测得水面宽度AC是8米。 （1）求拱桥所在抛物线的解析式；（2）当水位是2.5米时 ，高1.4米的船能否通过拱桥？请说明理由（不考虑船的宽 度。船的高度指船在水面上的高度）。 三、应用举例 即 ： E F a = -0.1 解：（1）、由图可知：四边形ACBO是等腰梯形 过A、C作OB的垂线，垂足为E、F点。 OE = BF =（12-8）2 = 2。 O（0，0），B（-12，0），A（-2，2）。 设解析式为 又 A（-2，2）点在图像上， 三、应用举
6、例 例2、已知：如图，是某一抛物线形拱形桥，拱桥底面宽度 OB是12米，当水位是2米时，测得水面宽度AC是8米。 （1）求拱桥所在抛物线的解析式；（2）当水位是2.5米时 ，高1.4米的船能否通过拱桥？请说明理由（不考虑船的宽 度。船的高度指船在水面上的高度）。 P Q (2)、分析：船能否通过，只要看船在拱桥正中间时， 船及水位的高度是否超过拱桥顶点的纵坐标。 y = 水位+船高 =2.5+1.4 =3.9 3.6 解： 顶点（-6，3.6）, 当水位为2.5米时， 船不能通过拱桥。 PQ是对称轴。 例3、将抛物线 向左平移4个单位 ，再向下平移3个单位，求平移后所得抛物线的解析 式。 解法
7、：将二次函数的解析式 转化为顶点式得： (1)、由 向左平移4个单位得： （左加右减） （2）、再将 向下平移3个单位得 （上加下减） 即：所求的解析式为 三、应用举例 1、已知二次函数的图像过原点，当x=1时，y有最小值为 -1，求其解析式。 四、尝试练习 解：设二次函数的解析式为 x = 1, y= -1 , 顶点（1，-1）。 又（0，0）在抛物线上， a = 1 即： 2、已知二次函数与x 轴的交点坐标为（-1，0）,（ 1，0），点（0，1）在图像上，求其解析式。 解：设所求的解析式为 抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0）、（1，0） 又点（0，1）在图像上， a = -1 即： 四
8、、尝试练习 3、如图；有一个抛物线形的隧道桥拱，这个桥拱的最大 高度为3.6m，跨度为7.2m一辆卡车车高3米，宽1.6米， 它能否通过隧道？ 四、尝试练习 即当x= OC=1.62=0.8米时 ，过C点作CDAB交抛物线于D点 ，若y=CD3米，则卡车可以通过 。 分析：卡车能否通过，只要看卡 车在隧道正中间时，其车高3米是否 超过其位置的拱高。 四、尝试练习 3、如图；有一个抛物线形的隧道桥拱，这个桥拱的最大 高度为3.6m，跨度为7.2m一辆卡车车高3米，宽1.6米， 它能否通过隧道？ 解：由图知：AB=7.2米，OP=3.6米，A（-3.6，0） ， B（3.6，0），P（0，3.6）
9、。 又P（0，3.6）在图像上， 当x=OC=0.8时， 卡车能通过这个隧道。 四、尝试练习 4、将二次函数 的图像向右平移1个单位， 再向上平移4个单位，求其解析式。 解： 二次函数解析式为 （1）、由 向右平移1个单位得： （左加右减） （2）、再把 向上平移4个单位得： （上加下减） 即：所求的解析式为 刘炜跳投 5. 刘炜在距离篮下4米处跳 起投篮,篮球运行的路线是抛 物线,当球运行的水平距离为 2.5米时,达到最高度3.5米,然 后准确落入蓝筐.已知蓝筐中 心到地面距离为3.05米.如果 刘炜的身高为1.9米,在这次 跳投中,球在头顶上方0.15米 处出手,问求出手时,他跳离 地面的
10、高度是多少? c 分析：要求出他跳离地面的高度，关键是 1.首先要求出该抛物线的函数关系式 2.由函数关系式求出C点的坐标，即求 出点C 离地面的高度h， h-0.15米-刘炜的身高即,他跳离地面的 高度. h 如图，刘炜在距离篮下4米处跳起投篮,篮球运行 的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5米时, 达到最高度3.5米,然后准确落入蓝筐.已知蓝筐中 心到地面距离为3.05米.如果刘炜的身高为1.9米, 在这次跳投中,球在头顶上方0.15米处出手,问求 出手时,他跳离地面的高度是多少? 探索: C y x o h 解：建立如图所示的直角坐标系,则抛物线的顶 点A(0,3.5),蓝筐中心点B
11、(1.5,3.05) 所以，设所求的抛物线为y=ax3.5 又 抛物线经过点B（1.5，3.05），得 a=-0.2 即所求抛物线为y=-0.2x3.5 当x=-2.5时,代入得y=2.25 又2.25-1.9-0.15=0.2m 所以,他跳离地面的高度 为0.2m 6：有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面A B的宽为20m，如 果水位上升3米时，水面CD的宽为10m （2）求此抛物线的解析式； A B CD O x y （1）建立如图直角坐标系， 求点B、D的坐标。 （3）现有一辆载有救援物质的货车，从甲出发需经此桥开往乙， 已知甲距此桥 280km（桥长忽略不计）货车以 40kmh的速度开
12、 往乙；当行驶1小时，忽然接到通知，前方连降暴雨，造成水位以 每小时025m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处， 当水位到达最高点E时，禁止车辆通行）试问：如果货车按原速 行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由，若不能，要使货 车安全通过此桥，速度应不小于每小时多少千米？ 6：有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面A B的宽为20m，如 果水位上升3米时，水面CD的宽为10m A B CD O x y E F 解：（1）B（10，0），D（5，3） （2）设抛物线的函数解析式为 由题意可得 ： 解得 ： 抛物线的函数解析式为 ： A B CD O x y A B CD O x y E
13、F (3)解: E(0，4) 抛物线的函数解析式 为 ： 又有题意可得：F（0，3 ） EF1 水位有CD上升到点E所用的时间为4小时。 设货车从接到通知到到达桥所用的时间为 t . 则40（t1）280解得：t64 故货车按原速行驶，不能安全通过此桥。 设货车速度为x kmh，能安全通过此桥. 则4x+40280 解得x60 故速度不小于60kmh，货车能安全通过此桥。 （4）现有一艘载有救援物质的货船，从甲出发需经此桥开往乙， 已知甲距此桥 280km，货船以 40kmh的速度开往乙；当行驶1 小时，忽然接到通知，前方连降暴雨，造成水位以每小时025m 的速度持续上涨（货车接到通知时水位在
14、AB处，当水位到达CD 时，禁止船只通行）试问：如果货船按原速行驶，能否安全通过 此桥？若能，请说明理由，若不能，要使货船安全通过此桥，速 度应不小于每小时多少千米？ 6：有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面A B的宽为20m，如 果水位上升3米时，水面CD的宽为10m A B CD O x y 五、小结 1、二次函数常用解析式 .已知图象上三点坐标，通常选择一般式。 .已知图象的顶点坐标（对称轴或最值），通常选择顶点式。 .已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2， 通常选择交点式 。 3. 确定二次函数的解析式的关键是根据条件的 特点，恰当地选择一种函数表达式，灵活应用。 一般式一般式 顶点式顶点式 交点式交点式 2、求二次函数解析式的一般方法： 已知图象中发生变化的只有顶点坐标，通常选择平移式。 平移式平移式 谢谢！
