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1、第2讲函数的单调性与最值【2014年高考会这样考】1考查求函数单调性和最值的基本方法2利用函数的单调性求单调区间3利用函数的单调性求最值和参数的取值范围4函数的单调性和其它知识结合综合考查求函数最值、比较大小、解不等式等相关问题.考点梳理1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义若函数f(x)
2、在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间2函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)M.(3)对于任意xI，都有f(x)M；(4)存在x0I，使得f(x0)M.结论M为最大值M为最小值【助学微博】一个防范单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“”联结，也不能用“或”联结两种形式设任意x1，x2a，b且x10f(x)在a，b上是增函数；0f(x)在a，b上是增函数；(x1x2)f(x1)f(x2
3、)0f(x)在a，b上是减函数两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值考点自测1已知函数f(x)loga|x|在(0，)上单调递增，则()Af(3)f(2)f(1) Bf(1)f(2)f(3)Cf(2)f(1)f(3) Df(3)f(1)1，f(1)f(2)f(3)又函数f(x)loga|x|为偶函数，所以f(2)f(2)，所以f(1)f(2)0，则f(x1)f(x2)的值()A恒为正值 B恒等于零C恒为负值 D无法确定正负解析f(x)为奇函数且x0时f(x)为减函数，故f(x)在R上是减函数
4、，由x1x20，得x1x2，故f(x1)f(x2)，即f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)1，即a0，故0a1.答案D5(人教A教材习题改编)函数f(x)在1,2的最大值和最小值分别是_解析f(x)2在1,2上是增函数，f(x)maxf(2)，f(x)minf(1)1.答案，1考向一函数单调性的判断及应用【例1】试讨论函数f(x) (a0)在(1,1)上的单调性审题视点 可利用定义或导数法讨论函数的单调性解设1x1x20时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1,1)上递减；当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)0且f(x)在(1，)内单调递减，求
5、a的取值范围(1)证明任设x1x20，x1x20，f(x1)f(x2)，f(x)在(，2)内单调递增(2)解任设1x10，x2x10.要使f(x1)f(x2)0，只需(x1a)(x2a)0恒成立，a1.综上所知00，则x2.函数ylog(x23x2)的定义域为(，1)(2，)又ux23x2的对称轴x，且开口向上ux23x2在(，1)上是单调减函数，在(2，)上是单调增函数而ylogu在(0，)上是单调减函数，ylog(x23x2)的单调减区间为(2，)，单调增区间为(，1)考向三抽象函数的单调性及最值【例3】已知函数f(x)对于任意x，yR，总有f(x)f(y)f(xy)，且当x0时，f(x)
6、x2，则x1x20.f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1x2)又x0时，f(x)0，f(x1x2)0，即f(x1)x2，则f(x1)f(x2)f(x1x2x2)f(x2)f(x1x2)f(x2)f(x2)f(x1x2)又x0时，f(x)0，f(x1x2)0，即f(x1)1时，f(x)0，代入得f(1)f(x1)f(x1)0，故f(1)0.(2)任取x1，x2(0，)，且x1x2，则1，由于当x1时，f(x)0所以f0，即f(x1)f(x2)0，因此f(x1)0时，f(x)与f(x)的变化情况如下：x(，k)k(k，k)k(k，)f(x)00f(x)4k2e10所以f(x)的单调递增区间是(，k)和(k，)，单调递减区间是(k，k)(4分) 当k
