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1、第3章 线线 性 方 程 组组 3.1 高斯消元法解线性方程组 3.2 线性方程组的相容性 3.3 n维向量 3.4 向量组的极大无关组与向量组的秩 3.5 线性方程组解的结构 安庆电大 CLP 1 n元线性方程组的有关概念(第1讲) 1. n元线性方程组 由n个未知量，m个方程组成的线性方 程组称为n元线性方程组。 习惯上我们用xj表示这些未知量，用aij表 示它们的系数，用bj表示方程等号右边的 常数。 2 n元线性方程组的一般形式为 系数矩阵 未知变量 3 称 为方程组(1)的系数矩阵 为方程组(1)的增广矩阵 A= 4 如果常数项b1,b2,bm不全为0，则称n元线 性方程组为非齐次线
2、性方程。 即：AX=b 如果常数项b1,b2,bm全为0，则称此线性方 程组为齐次线性方程组。 即：AX=0 5 3.1高斯消元法解线性方程组 1.用增广矩阵 表示线性方程组AXB 2.把增广矩阵中的系数矩阵部分用初等行 变换化为阶梯形矩阵 3.求出最后一个未知量的解，然后逐个方 程地回代，求出其余的未知量 4.写出线性方程组的解 1.用增广矩阵 表示线性方程组AXB 2.把增广矩阵中的系数矩阵部分用初等行 变换化为阶梯形矩阵 3.求出最后一个未知量的解，然后逐个方 程地回代，求出其余的未知量 4.写出线性方程组的解 一、高斯消元法 6 （非齐次线性方程组） 7 8 3 2 -2 9 10 +
3、(-7) +(-5) 11 （-1） 12 阶梯形矩阵 13 14 例2.解下列线性方程组 +(-2) +(3) 15 (, ) +(-5) +(3) 16 17 +(5) 18 （逐步回代或继续 化为行简化阶梯阵） 19 自由变量 20 二、行简化阶梯形矩阵 定义:满足下列条件的阶梯形矩阵称为行 简化阶梯形矩阵 各非0行的第一个非0元素(首非0元)为1 ， 各首非0元所在列的其余元素均为0。 21 XX X 22 任意阶梯形矩阵都可用初等行变换化为 行简化阶梯形矩阵。 因此，我们可以把增广矩阵经过初等行 变换化为行简化阶梯形矩阵。进而求出 线性方程组的一般解。 (请同学们将例2继续化成行简化
4、阶梯形矩阵.) 23 行简化阶梯阵 一般解为： 24 例3.解线性方程组（自学） 25 (, ) +(2) +(3) +(4) 26 +(-1) +(-16) +(-43) 27 +(-3) +(-3) +(-7) 1 21 28 +(2) +(4) +(-7) (-1) 所以该齐次线性方程组只有零解 因为秩(A)=4=n 29 3.2、线性方程组解的相容性(第2讲) 1.非齐次线性方程组AX=B有非零解的充分必要条件 ： 2. 齐次线性方程组AX=0有非零解的充分必要条件： 秩（A）n (未知量的个数） 若秩（A）n 时，则只有零解。 30 4 +(-1) +(-1) +(-1) 31 A
5、秩为3 秩为4 所以方程组无解. 32 3.5、线性方程组解的结构 一、齐次线性方程组解的结构 二、非齐次线性方程组解的结构 33 （1）当A为mn阶矩阵且秩(A)r时， 则方程组有n-r个自由元 （2）当A为mn阶矩阵且秩(A)r n时， 则方程组每一个基础解系含有nr个解向量 ，若X1 ， ， Xn-r为基础解系， 则 k1X1 + + kn-r Xn-r 即为AX=0的全部解，称为通解 (其中k1 ， ， kn-r 为任意实数) 一、齐次线性方程组解的结构 1.关于AX=0的解 34 2.基础解系的解题步骤 （1）.把齐次线性方程组的系数写成矩A。 （2）.把A通过初等变换化为阶梯阵。
6、（3）.把阶梯阵中非主元列所对应的变量 作为自由元，共为nr个。 （4）.分别令自由元中一个为1其余全为0 的方法，求得nr个解向量，这nr个解 向量即构成基础解系。 35 例5.（练习3.5.1）求下列齐次线性方程组的 一个基础解系和通解： +(-1) +(-3) +(-1) 36 +(-1) +(-2)(2)+ 解中含有422个自由未知量， 基础解系由2个解向量构成. 37 38 例6. 求齐次线性方程组的解(自学） 解：对系数矩阵A作初等行变换，化为行简化阶梯形矩阵 （，） （2 ） （3 ） （4 ） +(-1) 39 +(-16) +(-43) +(-3) (-1) +(-4) +(
7、2) +(7) 因秩(A)n，所以齐次线性方程组有非零解。 由行简化阶梯形矩阵得一般解为： （ 为自由未知量） 40 （1）当秩(A) 秩(A) n 时， 若X0是AX=B 的一个特解，则X1 ， ， Xn-r为相应AX=0 的基础解系，则AX=B 的全部解为X= X0 + k1X1 + + kn-r Xn-r (其中k1 ， ， kn-r 为任意实数) 注：非齐次线性方程组的一个特解加上相应 齐次线性方程组的通解即为非齐次线性方程 组的通解(全部解)。 二、非齐次线性方程组解的结构 1.关于AX=B的解 (2).当秩(A)=秩(A)=n时,方程组有唯一解. 41 2.AX=B的解题步骤 (1
8、).将增广矩阵A通过初等变换化为阶梯 阵. (2).当秩(A) 秩(A) r 时,把非主元列所 对应的nr个变量作为自由元. (3).令所有自由元为0,求得AX=B的一个 特解X0. (4).不计最后一列,分别令一个自由元为1, 其余自由元为0,得到AX=0的基础解系. (5).根据定理,将两解相加得通解. 42 (-1) (-3) 例7.当 为何值时,线性方程组有解?有解时 求出它的全部解. 43 秩(A)=秩(A)n 方程组有无穷多个解. 44 (-2) （行简化阶梯阵） 45 46 (-1)+ +(-3) +(-9) 例8.求下列线性方程组的全部解 47 +(-2) +(2) 行简化阶梯
9、阵 48 49 (去掉AX=B的一般解的常数项得AX=0一般解) 50 例9、设非齐次线性方程组AX=B的增广矩阵 经过初等变换，得 （1）a为何值时， AX=B有解 （2）在有解的情况下，求AX=B的通解 51 (-1) 52 53 一、n维向量定义 3.3、n维向量（第3讲） 54 (A中每一列由三个 顺序数组成,可视为一个 三维列向量,共有四个.) A的(四个)三维列向量： A的(三个)四维行向量： (A中每一行由四个 顺序数组成,可视为一个 四维列向量,共有三个.) 55 二、n维向量的线性组合： 56 三、向量组的线性相关性 定义3.3:对于向量组 若存在 一组不全为零的常数 使得
10、则称向量组 线性相关,否则 线性无关 注：1.包含零向量的向量组一定是 线性相关的. 57 四.几个重要定理及推论 定理1、对于向量组 齐次线性方程组有非零解 向量组线性相关. 齐次线性方程组只有零解 向量组线性无关. 定理2、关于向量组 令矩阵 若r（A） s,则向量组线性相关 若r（A）s,则向量组线性无关 58 定理3、向量组 线性相关 其中有一个向量可以由其余向量 线性表出. 推论：向量组 线性无关 其中每一个向量都不能由其余向量 线性表出. 推论:若n维向量的向量组其中向量个数 超过n,则该组向量一定线性相关。 59 例10.判别下列向量组的线性相关性 +(-1) +(-1) (2)
11、+ (-5) 60 + (2) + (-4) + (8) +(-1) +(-7) +(-5) 61 62 +(-1) +(-1) +(-1) 63 +(-1) +(-1) 64 注:若方程组有无穷多个解,则表出方式不唯一. 若方程组无解，则不能线性表出. (,) 65 66 1.辨别向量组线性相关性 （如例1） 五、总结解法 67 若方程组无解，则不能线性表出. 若方程组有唯一解，则表法唯一（如例2）； 若方程组有无穷多个解,则表法不唯一； 68 3.4、极大无关组与向量组的秩 1.极大无关组 定义3.4：若向量组S的一个部分向量组S0 如满足: S0线性无关； S向量组中的任一向量都可由其线
12、 性表出。 则称这个部分向量组S0为该向量组S的一 个极大无关组。 69 例如、设向量组（自学） 注：一个向量的极大无关组一般来说不唯一 ，但所包含向量的个数却是相同的。 70 定理1.对于一个向量组，其所有极大无关组所 含向量的个数都相同。 定理2.列向量组通过初等变换不改变线性相关性。 定理3.矩阵A的秩矩阵A列向量的秩矩阵A 行向量的秩。 有关定理： 2.向量组的秩 定义3.5：对于向量组S,其极大无关组所含向 量的个数称为向量组S的秩。 定理4.向量组中每一个向量由极大无关组线性 表出的表达式是惟一确定的。 71 将所给向量构成一个列矩阵； 用初等行变换将其化为阶梯阵，则非零行 的行数
13、为向量组的秩； 主元所在列对应的原来向量组即为极大 无关组. 3. 向量的秩与极大无关组的求法： 72 例12.求向量组 的秩和向量组的一个极大线性无关组。 故r（A）=4，且向量组的一个极大无关组为 73 例13、求向量组 的秩和向量组的一个极大线性无关组。 +(2) +(-4) + 74 + (7) + (-5) (,) (,) 故r（A）=3，且向量组的一个极大无关组为: 75 例14.求下列向量组的秩及其一个极大无组， 并将其余向量用极大无关组线性表出： +(-1) +(-1) +(-1) 76 (, ) 由此可知列向量组的秩为3，即秩(A)=3. 77 78 例1、设齐次线性方程组AX=0的系数矩阵经 过初等变换，得 求此齐次线性方程组解的一个基础解系和通解 ？ 79 解中含有422个自由元， 基础解系由2个解向量构成. 80 例4、当取何值时,线性方程组有解?在有解的情况下 求全部解。 81 当a=0,b=2时，方程组有无穷多个解 82 83
