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1、秦飞 编著材料力学PPT 讲义 第第3 3章章 轴向拉压变形轴向拉压变形 Axial Deformation 秦飞 编著材料力学 第3章 轴向拉压变形2 本章主要内容本章主要内容 o 3.1拉压杆的轴向变形与横向变形 o 3.2 变形计算的叠加原理 o 3.3 桁架的节点位移 o 3.4 拉压杆静不定问题 o *3.5 热应力与预应力 秦飞 编著材料力学 第3章 轴向拉压变形3 3.13.1拉压杆的轴向变形与横向变形拉压杆的轴向变形与横向变形 EA为为拉压刚压刚 度，只与材料和横截面面积积有关。 轴向应变轴向应变: 胡克定律胡克定律： 所以得到： （拉压杆胡克定律） 秦飞 编著材料力学 第3章
2、 轴向拉压变形4 3.13.1拉压杆的轴向变形与横向变形拉压杆的轴向变形与横向变形 F 可见，拉压杆可类比于弹簧常数为k的弹簧 。 弹簧常数 刚度系数 秦飞 编著材料力学 第3章 轴向拉压变形5 3.13.1拉压杆的轴向变形与横向变形拉压杆的轴向变形与横向变形 变轴力、变截面直杆的轴向变形变轴力、变截面直杆的轴向变形 轴轴力FN和横截面积积A沿轴线变轴线变 化情况 可在杆轴线轴线 坐标为标为 x 处处截取微段dx，该该微段可看作轴轴力 为为FN(x)的等截面(A(x)直杆，其变变形量为为： 积分： 秦飞 编著材料力学 第3章 轴向拉压变形6 3.13.1拉压杆的轴向变形与横向变形拉压杆的轴向变
3、形与横向变形 横向变形与泊松比 在弹性变形范围内，横向应变 与轴向应变 之间存在 以下关系： 拉压杆发生轴向变形的同时，横向上也发生变形 由a变变成a1, 横向变形量为 横向正应变为: 为材料常数，称为泊松比(Poissons ratio)，一般 =(00.5) （负号什么意思？） 秦飞 编著材料力学 第3章 轴向拉压变形7 3.13.1拉压杆的轴向变形与横向变形拉压杆的轴向变形与横向变形 例题例题3-13-1 图示等直杆,试计算下面三种情况下A截面 的位移： （1）不考虑杆的自重， 仅在A 端作用一集中力F； （2）仅考虑杆的自重 （设材料密度为，重力加速度为g）； （3）考虑杆的自重和A端
4、作用力F。 秦飞 编著材料力学 第3章 轴向拉压变形8 3.13.1拉压杆的轴向变形与横向变形拉压杆的轴向变形与横向变形 例题例题3-13-1 解：(1)不考虑杆的自重，仅在A端作用一集中力F （2）仅考虑杆的自重 根据平衡条件： 即： 秦飞 编著材料力学 第3章 轴向拉压变形9 3.13.1拉压杆的轴向变形与横向变形拉压杆的轴向变形与横向变形 例题例题3-13-1 积分得A截面的位移为 ： （3）考虑杆的自重和 F 共同作用， x 截面轴力为 ： （杆自重的一半） W/2 秦飞 编著材料力学 第3章 轴向拉压变形10 3.13.1拉压杆的轴向变形与横向变形拉压杆的轴向变形与横向变形 例题例题
5、3-23-2 高强钢钢制成的起重机圆圆形截面杆，主要承受轴轴向压压力，已 知直径 d=60 mm，E=200GPa，v=0.30。工作时时要求杆的直 径d60.02mm，试问允许的最大轴向压力是多少？ 解：（1）变形前后杆的直径改变量为： 杆的横向应变为： 秦飞 编著材料力学 第3章 轴向拉压变形11 3.13.1拉压杆的轴向变形与横向变形拉压杆的轴向变形与横向变形 例题例题3-23-2 （3）计算轴力 由胡克定律，得杆的轴力 所以，杆工作时的最大轴向压力不能超过627.37kN （2）计算杆的轴向应变 秦飞 编著材料力学 第3章 轴向拉压变形12 3.2 3.2 变形计算的叠加原理变形计算的
6、叠加原理 杆AC同时承受轴向载荷F1与F2的作用，计算杆的总变形量 。 设设AB与BC段的轴轴力分别为别为 FN1与FN2，均为为拉力，则则由 截面法得: 秦飞 编著材料力学 第3章 轴向拉压变形13 3.2 3.2 变形计算的叠加原理变形计算的叠加原理 所以，杆AC 的总变总变 形为为: AB与BC段的轴轴向变变形分别别 为为: 秦飞 编著材料力学 第3章 轴向拉压变形14 3.2 3.2 变形计算的叠加原理变形计算的叠加原理 几个载荷同时作用产生的总变形，等于各载荷单独作用产 生的变形的代数和,这一规律称为叠加原理。(适用小变形并满 足胡克定律的杆件） F1单单独作用F2单单独作用 秦飞
7、编著材料力学 第3章 轴向拉压变形15 3.3 3.3 桁架的节点位移桁架的节点位移 桁架结结构，杆AB和BC拉压刚压刚 度EA 相同，如何计计算节节点B 的水平位移 和铅铅垂位移？ 解：（1）计算各杆的轴力 B点的静力平衡方程为 解得 秦飞 编著材料力学 第3章 轴向拉压变形16 3.3 3.3 桁架的节点位移桁架的节点位移 （2）计算各杆变形 AB杆变形： BC杆变形： （伸长） （伸长） B 1 2 秦飞 编著材料力学 第3章 轴向拉压变形17 3.3 3.3 桁架的节点位移桁架的节点位移 （3）求节点B的位移：确定变形后B的位置 B 以A 为圆心，变形后 1杆长为半径作圆弧 以C 为圆
8、心，变形后 2杆长为半径作圆弧 两圆弧交点即为变形 后B 的位置。 秦飞 编著材料力学 第3章 轴向拉压变形18 3.3 3.3 桁架的节点位移桁架的节点位移 B 1 2 （3）求节点B的位移：确定变形后B的位置的简便方法 -切线代替圆弧 B 过变形后1杆端点作 其垂线 两垂线交点即为变形 后B 的位置。 过变形后2杆端点作 其垂线 秦飞 编著材料力学 第3章 轴向拉压变形19 3.3 3.3 桁架的节点位移桁架的节点位移 B点铅垂位移： B点水平位移 ： （3）求节点B的位移： 切线代圆弧+辅助线 切线代圆 弧 秦飞 编著材料力学 第3章 轴向拉压变形20 图示托架，由横梁AB与斜撑杆CD所
9、组成，并承受集中载荷 F1与F2的作用。试求梁端A点的铅垂位移Ay。斜撑杆CD为 铝管,设横梁为刚体。 已知： F1=5 kN F2=10 kN l=1 m CD杆：E=70 GPa A=440mm2 3.3 3.3 桁架的节点位移桁架的节点位移 例例题题题题3-33-3 秦飞 编著材料力学 第3章 轴向拉压变形21 解：（1）计算CD 杆的轴向变形 （压缩 ） 3.3 3.3 桁架的节点位移桁架的节点位移 例例题题题题3-33-3 由静力平衡方程 秦飞 编著材料力学 第3章 轴向拉压变形22 3.3 3.3 桁架的节点位移桁架的节点位移 例例题题题题3-33-3 CD 杆的轴向变形为 （缩短
10、 ） A 点的铅垂位移 （2）计算C点的竖直位移 秦飞 编著材料力学 第3章 轴向拉压变形23 3.4 3.4 拉压杆静不定问题拉压杆静不定问题 静定问题静不定问题 秦飞 编著材料力学 第3章 轴向拉压变形24 o 概念 （1）静定问题问题 (statically determinate problem)仅仅用静力 平衡方程就能 求出全部未知力。 实质：未知力的数目等于静力平衡方程的数目。 （2）静不定问题问题 (statically indeterminate problem)仅仅用 静力平 衡方程不能求出全部未知力。（超静定问题问题 ） 实质：未知力的数目多于静力平衡方程的数目。 3.4
11、3.4 拉压杆静不定问题拉压杆静不定问题 秦飞 编著材料力学 第3章 轴向拉压变形25 o 基本步骤： 3.4 3.4 拉压杆静不定问题拉压杆静不定问题 解法解法 （1）静力平衡方程(static equilibrium equation ) (2)补补充方程-变变形协调协调 方程(compatibility equation) 秦飞 编著材料力学 第3章 轴向拉压变形26 3.4 3.4 拉压杆静不定问题拉压杆静不定问题 解法解法 （3）物性（物理）关系 （4）联联立求解 秦飞 编著材料力学 第3章 轴向拉压变形27 AD 段为钢杆， 解：（1）杆AB的静力平衡方程 （2）变形协调方程 3.
12、4 3.4 拉压杆静不定问题拉压杆静不定问题 例例题题题题3-43-4 DB 段为铜杆， 试求上、下端反力及各段横截面上的应力 。 F = 1000 kN 秦飞 编著材料力学 第3章 轴向拉压变形28 （3）由胡克定律 3.4 3.4 拉压杆静不定问题的解法拉压杆静不定问题的解法 例例题题题题3-43-4 代入变形协调方程 整理得 秦飞 编著材料力学 第3章 轴向拉压变形29 （4）联立求解 上端反力： 下端反力： （5）计算各段杆中的应力 (拉 ) (压 ) (拉) (压) (压) 3.4 3.4 拉压杆静不定问题的解法拉压杆静不定问题的解法 例例题题题题3-43-4 讨论：如果开始时设AC
13、 、CB段均为拉力，该如 何求解？ 秦飞 编著材料力学 第3章 轴向拉压变形30 3.4 3.4 拉压杆静不定问题的解法拉压杆静不定问题的解法 例题例题3-53-5 支架各杆材料相同 ， F=10kN ， 试求各杆的轴力。 秦飞 编著材料力学 第3章 轴向拉压变形31 3.4 3.4 拉压杆静不定问题的解法拉压杆静不定问题的解法 例题例题3-53-5 解: (1)静力平衡方程 (2) 变形协调方程 秦飞 编著材料力学 第3章 轴向拉压变形32 3.4 3.4 拉压杆静不定问题的解法拉压杆静不定问题的解法 例题例题3-53-5 (3) 利用物性关系，用力表示变形协调方程 代入变形协调方程 整理得
14、 秦飞 编著材料力学 第3章 轴向拉压变形33 3.4 3.4 拉压杆静不定问题的解法拉压杆静不定问题的解法 例题例题3-53-5 (拉) (拉) (压) (4) 联立求解 秦飞 编著材料力学 第3章 轴向拉压变形34 3.4 3.4 拉压杆静不定问题的解法拉压杆静不定问题的解法 例题例题3-63-6 刚刚性梁AB受均布载载荷q 作用， A端铰铰支，BD和 CE为钢为钢 杆。 试校核钢杆的强度。 秦飞 编著材料力学 第3章 轴向拉压变形35 3.4 3.4 拉压杆静不定问题的解法拉压杆静不定问题的解法 例题例题3-63-6 解：(1) 静力平衡方程 (2) 变形协调方程 (3) 用力表示变形协
15、调方程 秦飞 编著材料力学 第3章 轴向拉压变形36 3.4 3.4 拉压杆静不定问题的解法拉压杆静不定问题的解法 例题例题3-63-6 (4) 联立求解 (拉） （压） (5) 校核杆强度 杆CE、DB均满满足强度要求。 秦飞 编著材料力学 第3章 轴向拉压变形37 3.4 3.4 拉压杆静不定问题的解法拉压杆静不定问题的解法 例题例题3-73-7 高为l的圆柱体，放置在刚性基础上，中间为实心钢圆柱体 ，外圈为铜套筒。试计算：（1）钢柱和铜套筒中的应力； （2）组合圆柱体的变形。 秦飞 编著材料力学 第3章 轴向拉压变形38 3.4 3.4 拉压杆静不定问题的解法拉压杆静不定问题的解法 例题例题3-73-7 解:(1)静力平衡方程 (2)变形协调方程 (3)物性关系 秦飞 编著材料力学 第3章 轴向拉压变形39 3.4 3.4 拉压杆静不定问题的解法拉压杆静不定问题的解法 例题例题3-7
