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1、07 塑性本构关系 土木工程学院土木工程学院 工程力学学科组工程力学学科组 HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY 弹塑性力学 1 哈工大 土木工程学院 07 塑性本构关系 弹性变形时的应力应变关系的特点 应力与应变完全成线性 关系，即应力主轴与全 量应变主轴重合； 弹性变形是可逆的，与 应变历史（加载过程无 关），应力与应变之间 存在统一的单值关系； 弹性变形时，应力张量 使物体产生体积变化， 泊松比小于0.5。 2 哈工大 土木工程学院 07 塑性本构关系 体积不变，泊松比=0.5 应力、应变为非线性关系 全量应变与应力主轴不一 定重合； 塑性变化不可逆（无单值 一一
2、对应关系），与加载 路径有关 ； 对于应变硬化材料，卸载 后的屈服应力比初始屈服 应力高。 弹塑性变形时的应力应变关系的特点 3 哈工大 土木工程学院 07 塑性本构关系 几种简化模型 4 哈工大 土木工程学院 07 塑性本构关系 第1节 弹性本构关系 在直角坐标系里，对各向同性材料，有： E：弹性模量 ：泊松比 G：剪切模量 当应力状态处于屈服曲面内部时，材料处于弹性状态，本 构关系就是广义虎克(Hooke)定律 5 哈工大 土木工程学院 07 塑性本构关系 用张量形式表示： 平均应力 平均应变 体积模量 6 哈工大 土木工程学院 07 塑性本构关系 用偏张量形式表示： 由于skk=0，所以
3、该方程组中只有5个是 独立的，需要补充上面的平均方程才 能与原张量方程等价。 比例及差比形式 7 哈工大 土木工程学院 07 塑性本构关系 偏张量形式自乘： 应变偏量 不变量 应力偏量 不变量 8 哈工大 土木工程学院 07 塑性本构关系 也可通过偏张量关系式代入第二不变量得到该关系式 9 哈工大 土木工程学院 07 塑性本构关系 按等效应变和等效应力的定义： 10 哈工大 土木工程学院 07 塑性本构关系 当应力从后继屈服面（加载面）卸载时，应力与应变的全量间 不再满足广义虎克定律，但应力增量与应变增量间满足广义虎 克定律： 弹性应变比能可以分解为体积应变比能和形状应变比能： 11 哈工大
4、土木工程学院 07 塑性本构关系 12 哈工大 土木工程学院 07 塑性本构关系 第2节 Drucker公设 Drucker公设的本质是说明塑性功具有不可逆的性质。 问题：什么是塑性功? 如何计算塑性功？ 1952年，Drucker根据热力学第一定律，对一般应力状态 的加载过程提出以下公设： 对处于某一状态的材料质点，借助一个外部作用在其 原有的应力状态上，缓慢地施加并卸除一组附加应力 ，在此应力循环中，外部作用所作的功是非负的。 13 哈工大 土木工程学院 07 塑性本构关系 根据一定条件下对某些材料的试验结果可以对材料的塑性 行为作一些假设，以简化计算 1、材料的塑性行为与时间、温度无关；
5、 2、应变可以分解为弹性应变和塑性应变； 3、材料的弹性变形规律不因塑性变形而改变。 在此假设下，内变量 就可以通过外变量 ， 求出来。 描述连续介质物体的力学量有两类： 1、外变量：能直接从外部观测得到的量（如总应变 、总变形、荷载、温度等）。 2、内变量：不能直接测量到的量，表征材料内部 的变化（如塑性应变、塑性功等）。 14 哈工大 土木工程学院 07 塑性本构关系 考虑各向同性材料 可恢复的弹性功和不可恢复的塑性功 15 哈工大 土木工程学院 07 塑性本构关系 施加附加应力至发生塑性变形 继续加载至 并产生塑性应变 卸载至 原有应力状态 满足 Drucker要求在这一应力循环过程和中
6、 ，附加应力 所做的功非负 此间应力在弹性应变上所做的功为零，所 以 1 2 3 16 哈工大 土木工程学院 07 塑性本构关系 分两种情况讨论： i 如果 处在加载面内部，即 在忽略小量时得出 若 ii 如果 处在加载面上，即 注意 和 是相伴发生的。 Drucker稳定性条件 当 dij 为小量时，积分出来 17 哈工大 土木工程学院 07 塑性本构关系 1 说明向量 和向量 的交角不大于90，加载载面必是外 凸的； 2 说明向量 的方向必与加载面 的外法线方向（ 的梯度方 向）重合 由两种情况可得出重要结论： 由Drucker要求： 首先将应力空间 与塑性应变空间 的坐标轴叠合，并 将
7、的起点放在位于加载面上的应力点 处。 O A A0 18 哈工大 土木工程学院 07 塑性本构关系 无论材料是稳定的还是不稳定的，反映塑性功的不可逆性 质的Drucker公设本身总是成立的；只不过当材料不稳定时 ，从Drucker公设不能得出Drucker稳定性条件。 有些材料（如岩石、土壤）当其应变超过一定数值时会呈现 弱化（软化）现象，弱化阶段，材料是不稳定的，在加载面 上不能保证Drucker公设（ ）成立： 1961年伊留申提出另一公设： 对处于某一状态的材料质点，缓慢地给予一组附加应 变，在此应变循环中，外部作用所作的功是非负的。 19 哈工大 土木工程学院 07 塑性本构关系 从伊
8、留申公设出发，不仅可以推论出在应变空间中加载面 的外凸性及塑性应力增量向量与加载面的正交性，而且对 于材料的弱化阶段（即材料的不稳定情形）也能从加载面 上的一点出发作出应变循环。所以它可统一地描述稳定的 与不稳定的材料，它比Drucker公设更具广泛的适用性 1 2 3 4 1 2 3 20 哈工大 土木工程学院 07 塑性本构关系 第3节 加载、卸载准则 加载是塑性加载的简称，指材料产生新的塑性变形，即从 一个塑性状态进入另一塑性状态的情形；卸载则指材料从 塑性状态回到弹性状态的情形。 理想弹塑性材料的加载、卸载准则 由于理想弹塑性材料的屈服面不能扩大，所以，当一点应 力达到屈服面上，应力增
9、量向量不能指向屈服面外，塑性 加载只能是应力点沿着屈服面移动。 21 哈工大 土木工程学院 07 塑性本构关系 数学表达： 弹性状态 等价于 加载状态 等价于 卸载状态 加载 卸载 图示表达： 22 哈工大 土木工程学院 07 塑性本构关系 对于由几个光滑屈服面构成的非正 则屈服面，在光滑接触面的交界处 加载、卸载应同时考虑相交的两个 侧面。 加载 卸载 加载 卸载 设应力点在 fl=0 和 fm=0 的交界处 满足 fl(ij ) = fm(ij )= 0。则有： 23 哈工大 土木工程学院 07 塑性本构关系 强化材料的加载、卸载准则 由于强化材料的屈服面可以不断向外扩张或移动，所以， 应
10、力增量向量可以指向屈服面 =0 以外。 加载 卸载 中性变载 加载 中性 变载 卸载 24 哈工大 土木工程学院 07 塑性本构关系 中性变载相当于应力点沿加载面切向变化，因而应力维持在 塑性状态，但加载面并不扩大情形。显然，对于非正则屈服 面也可同样定义中性变载，这时应力点将沿相交屈服面中的 某一个移动。 25 哈工大 土木工程学院 07 塑性本构关系 第4节 增量理论（流动理论） 在知道了弹性范围的本构关系及其适用范围（初始屈服条 件和后继屈服条件），现在要建立超过弹性范围的塑性阶 段的材料本构关系。两者的最大区别在于塑性阶段的应力 应变关系不在是一一对应的了，一般只能建立增量之间 的关系
11、，称增量理论。 概述 材料进入塑性状态后，应变增量可分解成弹性应变增量和 塑性应变增量： 26 哈工大 土木工程学院 07 塑性本构关系 弹性应变增量满足广义Hooke定律 塑性应变增量由Drucker公设推出 塑性加载时 d 0 中性变载和卸载时 d = 0 称流动法则 27 哈工大 土木工程学院 07 塑性本构关系 对理想塑性材料，有： 理想塑性材料与Mises条件相关连的流动法则 采用Mises屈服条件时： 28 哈工大 土木工程学院 07 塑性本构关系 一般情况 所以 这就是理想塑性材料与Mises条件相关连的流动法则 29 哈工大 土木工程学院 07 塑性本构关系 按照广义hooke
12、定律求弹性应变增量，叠加塑性应变增量， 得到理想弹塑性材料的增量本构关系： （1）理想弹塑性材料 Prandtl-Reuss关系 当 当或 Prandtl先在1924年对平面应变的特殊情况提出，后来 Reuss在1930年对一般三维情形给出理想弹塑性材料的增量 本构关系，故称Prandtl-Reuss关系。 30 哈工大 土木工程学院 07 塑性本构关系 确定比例系数 d： 考虑单位体积塑性功的增量 31 哈工大 土木工程学院 07 塑性本构关系 利用Mises屈服条件： 所以： 因为塑性变形功是消耗功，所以 给定应力求不出应变增量，这正反映出理想塑性材料的特点。 当ij和dij给定时，可以确
13、定sij和deij，进而通过dWp = sijdeij确 定d，回代求出dsij和dij。就是说，给定应力和应变增量时从 Prandtl-Reuss关系可求出应力增量。但反过来，如给定的是 ij和dij当，则定不出d，也就求不出dij 。 材料屈服时： 32 哈工大 土木工程学院 07 塑性本构关系 当塑性应变增量比弹性应变增量大得多时，可忽略去弹性 应变增量，总应变增量即塑性应变增量 （2）理想刚塑性材料 Lvy-Mises关系 从而得适用于理想刚塑性材料的Lvy-Mises方程 应变增量与应力偏增量成正比。 d为瞬时的非负系数，加载 时为变值，卸载时为0 材料符合Mises屈服条件 每一加
14、载瞬时，应力主轴与应变主轴重合 塑性变形时体积不变 33 哈工大 土木工程学院 07 塑性本构关系 如果等式的后三个分式的分母为零，则分 子比须同时为零。这说明Lvy-Mises关系 要求应变增量张量的主轴与应力主轴重和 。向量（ dij ）和向量（ sij ）同在由坐标 原点发出的射线方向（同向共线）。 e2 e1e3 x y S 最早提出应变增量与应力主轴重和的是Saint-Venant(1870)， 一般关系则是Lvy(1871)和Mises(1913)先后得到。 Prandtl- Reuss关系可以看成是Lvy-Mises关系的推广。 34 哈工大 土木工程学院 07 塑性本构关系 根
15、据 dij=d sij，给定sij不能确定dij，因为 d 无法确定；但 给定 dij 却可能确定 sij。 由 根据刚塑性材料 dkk= 0， 所以有 deij = dij 35 哈工大 土木工程学院 07 塑性本构关系 由 利用Mises屈服条件： 从而可求 表明 sij 是 dij 的零齐次函数,当 dij 各分量按比例增大时, sij 不变。 36 哈工大 土木工程学院 07 塑性本构关系 由下面比较： 所以： 而且对刚塑性材料 当只给定 dij 时，根据 无法确定dWp，但可通过 如下法求解： 37 哈工大 土木工程学院 07 塑性本构关系 Tresca屈服条件在平面上是正六边形，在主应力空间是正 六角柱面，与Mises条件相关连的流动法则相比有如下显著 特点： 理想塑性材料与Tresca条件相关连的流动法则 1 Tresca同一屈服平面上法线方向一 致dp，因此不能唯一确定屈服应力 点S；而Mises屈服面，一当沿外法 线方向给定，S也就确定了。 2 在Tresca六角柱的棱线上，不存在唯一的外法线；但可 以证明在棱线两侧面的外法线方向
