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1、 一、微分的概念 5.5 微 分 若在有限增量公式 中删去高阶无穷小量项 关于 的一个线性近 似式, 这就是“微分”; 其中的线性因子 即为 四、微分在近似计算中的应用 三、高阶微分 二、微分的运算法则 导数.所以,微分和导数是一对相辅相成的概念. 微分从本质上讲是函数增量中关于自变量增量的 数. 如果给边长 x 一个增量 , 正方形面积的增量 的线性部分 和 的高阶部分( )2.因 此, 当边长 x 增加一个微小量 时, 可用 一、微分的概念 由两部分组成 : 设一边长为 x 的正方形, 它的面积 S = x 2 是 x 的函 线性部分, 请先看一个具体例子. 的线性部分来近似. 由此产生的
2、误差是一个关于 的高阶无穷小量 , 即以 为边长的小 正方形(如图). 可以表示成 定义 5 设函数 如果增量 可微, 并称 为 f 在点 处的微分, 记作 其中 A 是与 无关的常数, 则称函数 f 在点 由定义, 函数在点 处的微分与增量只相差一个 关于 的高阶无穷小量,而 是 的线性函数. 于是 定理 1 函数 在点 可微的充要条件是 在 点 可导, 且 证 (必要性) 如果 在点 可微, 据 (1) 式有 更通俗地说, 是 的线性近似. 即 在点 可导, 且 (充分性) 设 在点 处可导,则由 的有限增量 公式 说明函数增量 可 且 表示为 的线性部分 ,与关于 的高 阶无穷小量部分
3、之和.所以 在点 可微, 微分概念的几何解释, 示于下图: 它是点 P 处切线相 在点 的增量为 而微分是 应于 的增量. 当 很小时,两者之差 相比于 将是更小的量(高阶无穷小).更由于 故若 则得到 的高阶无穷小量. 若函数 在区间 上每一点都可微,则称 是 上 它既依赖于 , 也与 有关. 的可微函数. (4) 式的写法会带来不少好处, 首先可以把导数看 所以导数也称为微商. 更多的好处将体现在后面 习惯上喜欢把 写成 ,于是 (3) 式可改写成 这相当于 的情形, 此时显然有 (5) 积分学部分中. 成函数的微分与自变量的微分之商, 即 例1 由导数与微分的关系,可方便得出微分运算法则
4、: 故运算法则 4 又可以写成 二、微分的运算法则 解 它在形式上与(4)式完全一样, 不管 是自变量还 例2 求 的微分. 立. 这个性质称为“一阶微分形式不变性”. 是中间变量 ( 另一个变量的可微函数 ) , 上式都成 的计算中, 用了一阶微分形式不变性. 例3 求 的微分. 解 三、高阶微分 或写作称为 f 的二阶微分. 则当 f 二阶可导时, dy 关于 x 的微分为 若将一阶微分 仅看成是 的函数 , 注 由于 与 x 无关, 因此 x 的二阶微分 三者各不相同, 不可混淆. 当 x 是中间变量 时, 二阶微分 依次下去, 可由 阶微分求 n 阶微分: 对 的 n 阶微分均称为高阶
5、微分. 高阶微分不 具有形式不变性. 当 x 是自变量时, 的二 阶微分是 为 例4 解法一 不一定为 0, 而当 x 为自变量时, 它比 (6) 式多了一项当时, 由 (6) 得 解法二 依 (7) 式得 如果将漏掉就会产生错误. 四、微分在近似计算中的应用 1. 函数值的近似计算 (9) 式的几何意义是当 x 与 x0充分接近时, 可用点 故当 很小时, 有 由此得 记 , 即当 时，(8) 式可改写为 公式 (9) 分别用于sin x, tan x, ln(1+x), ex ( x0= 0 ), 例5 试求 sin 33o 的近似值 ( 保留三位有效数字 ). 解 由公式 (9) 得到
6、处的切线近似代替曲线, 这种线性近 可得近似计算公式 ( 试与等价无穷小相比较 ): 似的方法可以简化一些复杂的计算问题. 2. 误差的估计 设数 x 是由测量得到的, y 是由函数 经过 果已知测量值 x0 的误差限为 , 即 算得到的 y0= f (x0) 也是 y = f (x) 的一个近似值. 如 差, 实际测得的值只是 x 的某个近似值 x0 . 由 x0 计 计算得到. 由于测量工具精度等原因, 存在测量误 例6 设测得一球体直径为 42cm, 测量工具的精度 则当 很小时, 量 y0 的绝对误差估计式为: 相对误差限则为 而 的为 y0 的绝对误差限, 为 0.05cm. 试求以此直径计算球体体积时引起的 解 以 d0 = 42, 计算的球体体积和误差估 绝对误差限和相对误差限. 计分别为: .
