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1、第5章 均匀平面波在无界空间中的传播 平面波：波阵面为平面的电磁波（等相位面为平面）。 均匀平面波：等相位面为平面，且在等相位面上，电、磁场 场量的振幅、方向、相位处处相等的电磁波。 几个重要概念 理想媒质：导电率为0的媒质，也称无耗媒质。 在实际应用中，纯粹的均匀平面波并不存在。但某些实际存在 的波型，在远离波源的一小部分波阵面，可近似看作均匀平面波。 亥姆霍兹方程的平面波解 在正弦稳态下，在均匀、各向同性理想媒质的无源区域中，电 场场量满足亥姆霍兹方程，即： 考虑一种简单情况，即电磁波电场指向x方向，波只沿z方向传播， 则由均匀平面波性质，知 只随z坐标变化。则方程可以简化为： 解一元二次
2、微分方程，可得亥姆霍兹方程平面波解为： 式中: 、 为待定常数（由边界条件确定）. 为通解的复数表达形式，通解 说明： 的实数表达形式为： 波动方程解的物理意义 电磁场的波动性 不同时刻 的波形 kz Ex 0 2 3 首先考察 。其实数形 式为： 在不同时刻，波形如右图。 从图可知，随时间t增加，波 形向+z方向平移。故： 同理可知： 表示向+z方向传播的均匀平面波； 表示电磁波电场振幅 表示向-z方向传播的均匀平面波； 表示电磁波电场振幅 亥姆霍兹方程平面波解的物理意义：表示沿z向(+z,-z)方向 传播的均匀平面波的合成波。 无界理想媒质中均匀平面波的传播特性 沿任意方向传播的电磁波的场
3、量表达式 电磁波的场量表达式揭示了均匀平面波的传播特性。 在无界媒质中，若均匀平面波向+z向传播，且电场方向指向 方向 ，则其电场场量表达式为： 式中： 表示电磁波中电场的幅度 的方向表示电磁波中电场的方向 表示电磁波动的角频率 关于平面波场量一般表达式的进一步讨论 均匀平面波电场场量的一般表达式 一般情况下，在直角坐标系下， 频率： 周期： 波数k: 长为 距离内包含的波长数。 波的频率和周期 波数k、波长与波矢量 表征波传播特性的矢量 表征波传播方向的矢量 如图所示电磁波向+z方向传播 ，从波形上可以认为是整个波形 随着时间变化向+z方向平移。 z Ex 0 2 3 相位： 两边对时间t去
4、导数，得： 相位速度（波速） 电磁波传播的相位速度仅与媒质特性相关。 真空中电磁波的相位速度： 关于波的相速的进一步说明 场量 ， 的关系 同理可以推得： 关于场量关系的进一步讨论 、 、 三者相互垂直，且满足右手螺旋关系 媒质本征阻抗（波阻抗） 从公式可知：均匀平面电磁波中电场幅度和磁场幅度之比为一定值。 定义电场幅度和磁场幅度比为媒质本征阻抗，用 表示，即： 媒质本征波阻抗 特殊地：真空（空气）的本振阻抗为： 结论：在自由空间中传播的电磁波，电场幅度与磁场幅度之比为377。 能量密度和能流密度 结论：理想媒质中均匀平面波的电场能量等于磁场能量。 电场能量密度： 磁场能量密度： 实数表达形式
5、 电磁波的能量密度： 电磁波的能流密度： k E H 无界理想媒质中均匀平面波的传播特性总结 电场与磁场的振幅相差一个因子 电场、磁场相位变化相同 电场、磁场的振幅不随传播距离增加而改变。 电场和磁场在空间相互垂直且都垂直于传播方向。 、 、 三者方 向满足右手螺旋关系为TEM波 例 频率为100MHz的正弦均匀平面波在各向同性的均匀理想介质中沿+Z 方向传播，介质的特性参数为 。设电场沿x方向，即 。已知：当t=0, z=1/8 m时，电场等于其振幅 。 试求:（1）波的传播速度、波长、波数；（2）电场和磁场的瞬时表达 式； （3）坡印廷矢量和平均坡印廷矢量。 解(1) 由已知条件，可得：
6、(2)设 (3) 另解： 解：电场的复数表示式为 磁场表示式为 垂直穿过半径R=2.5m的圆平面的平均功率为 例 已知自由空间中传播的均匀平面波的电场表示式为 ，试求在z=z0处垂直穿过半径为R=2.5m的圆平面的平均 功率。 5.2 波的极化 注意：电磁波的极化方式由辐射源(即天线)的性质决定。 极化的定义 波的极化：指空间某固定位置处电场强度矢量随时间变化的特性 极化的描述：用电场强度矢量 终端端点在空间形成的轨迹表示。 极化的分类： 线极化：电场仅在一个方向振动，即电场强度矢量端点的轨迹 是一条直线； 圆极化：电场强度矢量端点的轨迹是一个圆 椭圆极化：电场强度矢量端点的轨迹是一个椭圆 y
7、 zx o t=const y x o 观察平面，z=const 显然，电场的振动方向始终是沿x轴方向，所以这是一个沿x方向 的线极化波。 z E=excos(wt- kz) 波的线极化图形表示 极化合成 物理学中，相互垂直的同频振动可以合成，如一个粒子受两个垂 直方向的力的作用而振动，其位移是这两个振动位移的合成 电磁波的振动也是一种振动，也可以由两个相互正交的分量合成 讨论：相互垂直振动的同频波的合成 设由两个沿z传播、电场方向分别为沿x和y方向线的两个均匀 平面波 则合成波电场为： 结论：合成波的极化方式与合成该波的两个线极化波幅度及相位有关。 极化的判断 两个相互正交的线极化波叠加，可
8、合成得到不同极化方式的合成波 由电磁波电场场量或者磁场场量两个正交分量间的幅度和相位关系， 可以判断波的极化方式 设均匀平面电磁波向+z方向传播，则一般情况下其电场可以表示为 由于空间任意点处电场随时间的变化规律相同，故选取z=0点作为 分析点，即： 场量表达式中， 的取值将决定波的极化方式。 1、当 时 电场与x轴夹角为： 结论：当 时，电磁波为线极化波。 2、当 且 时 从上可知：合成电场矢量终端形成轨迹为一圆，电场矢量与x轴夹角 随时间变化而改变。 如图，当 时，可以判断出 ：电场矢量终端运动方向与电磁波传播方向 满足右手螺旋关系右旋极化波。 结论：当 且 时，合成波为右旋圆极化波 同理
9、：当 且 时，合成波为左旋圆极化波 说明：上述结论适用于向+z方向传播的均匀平面波。 结论：两个频率相同、传播方向相同的正交电场分量的振幅和相位 是任意的，则其合成波为椭圆极化波。 说明：圆极化波和线极化波可看作是椭圆极化波的特殊情况。 3、其他情形 例 判断下列电场表示式所表征的电磁波波的极化形式。 所以，合成波为线极化波。 解： 解： 故：合成波为左旋圆极化波。 解：合成波为右旋圆极化波。 故：合成波为右旋圆极化波。 解：合成波为椭圆极化波。 5.3均匀平面波在导电媒质中的传播 一、 导电媒质中的波动方程及其解 导电媒质中的波动方程 在无源的导电媒质区域中，麦克斯韦方程为 称为复介电 常数
10、或等效 介电常数 第一个方程可以改写为 n导电媒质的典型特征是电导率 0。 n电磁波在其中传播时，有传导电流J= E存在，同时伴随着电磁能 量的损耗，电磁波的传播特性与非导电媒质中传播特性有所不同。 式中： 称为复波数。 令 导电媒质中的波动方程的解 在损耗媒质中波动方程对应于沿+z方向传播的均匀平面波解为： 式中： ，为复数。 幅度因子和相位因子 只影响波的振幅，故称为幅度因子，即衰减因子；Np/m 只影响波的相位，故称为相位因子；其意义与k相同，即 为损耗媒质中的波数。rad/m 相位速度（波速） 在理想媒质中： 在损耗媒质中： 很明显：损耗媒质中波的相速与波的频率有关。 色散现象：波的传
11、播速度（相速）随频率改变而改变的现象。具 有色散效应的波称为色散波。 结论：导电媒质（损耗媒质）中的电磁波为色散波。 场量 ， 的关系 可以推知：在导电媒质中，场量 ， 之间关系与在理想介质中场 量间关系相同，即： 式中： 为波传播方向 为导电媒质本征阻抗 、 、 三者相互垂直，且满足右手螺旋关系 讨论：(1) (2) 在导电媒质中，电场和磁场在空间 中不同相。电场相位超前磁场相位 。 z Hy Ex z 为横电磁波（TEM波），、 、 三者满足右手螺旋关系 电磁场的幅度随传播距离的增加而呈指数规律减小； 电、磁场不同相，电场相位超前于磁场相位； 是色散波。波的相速与频率相关。 无界导电媒质中
12、均匀平面波的传播特性总结 平均能流密度 衰减快于场量 重要性质：在良导体中，电场相位超前磁场相位 在良导体中，衰减因子 。对于一般的高频电磁波(GHz)，当 媒质导电率较大时， 往往很大，电磁波在此导电媒质中传播很小的距离 后，电、磁场场量的振幅将衰减到很小。 因此：电磁波只能存在于良导体表层附近，其在良导体内激励的高频电 流也只存在于导体表层附近，这种现象成为趋肤效应。 我们用趋肤深度(穿透深度)来表征良导体中趋肤效应的强弱。 趋肤深度 ：电磁波穿入良导体中，当波的 幅度下降为表面处振幅的 时，波在良导体 中传播的距离，称为趋肤深度。 趋肤效应与趋肤深度 弱导体中的电磁波 在弱导体中， ，则
13、前面讨论得到的 ， 近似为 在弱导电媒质中，仍存在能量损耗，波的相位常数近似等于理想 媒质中波的相位常数， 5.4色散和群速 相速 相速：表示波的恒定相位点推进的速度，即为波传播的速度。 在理想媒质中： ,此时相速与频率无关的常数 群速 群速：合成信号包络传播的相速，它代表信号能量的传播速度。 在损耗媒质中： ,由于相位常数 为与频率相关的 函数，故此时相速为与频率相关的函数损耗媒质（导电媒质） 为色散媒质。 单一频率的电磁波不载有任何有用信息，只有由多个频率的正 弦波叠加而成的电磁波才能携带有用信息。 合成波振幅，包络为以频率 传播的低 频行波。 设两个振幅均为Am ，角频率分别为+和-的同向行波 在空间中合成形成一调制波。若：。 由于频率不同，则由 知两行波波数不同，设分别为 则行波表达式为： 合成波为： 行波因子，表向z向传 播的行波。 包络传播相位速度（群速）为： z 载波，速度vp 包络波，速度vg 在理想媒质中，相速等于群速，波无色散。 关于群速的讨论：
