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1、第九章 常微分方程初值问题的数值解法在自然科学的工程技术的许多领域中，常会遇到常微分方程初值问题，但这种问题大多数情况下不存在初等形式的解析解，只能用近似方法来求解。近似解法主要有两类：一类叫做近似解析方法，它能给出解得近似表达式，例如熟知的级数解法和逐次逼近法等；另一类近似解法称为数值解法，它可以给出解在一些离散点上的近似值。数值方法便于电子计算机求解微分方程。本章讨论初值问题常用的数值解法，并介绍有关的基本理论。假设给定一阶常微分方程的初值问题： （9.1）（9.2）其中f为x, y的已知函数，为给定的初始值。由微分方程的理论可知，如果f (x,y)在区域，内连续，且关于y满足李普希兹(L
2、ipschitz)条件，即存在常数L，使 对所有的及任何，均成立，则初值问题（9.1），（9.2）有连续可微的解y(x)存在且唯一。所谓初值问题的数值解，则是问题的解y(x)在一系列点处的值的近似值(n=0,1,N)。这里相邻两个节点之间的距离通常称为步长，通常将步长取为常数h。9.1 欧拉方法与改进的欧拉方法欧拉(Euler)方法是最简单的数值方法，由于它的精确程度较差，已不常用于实际计算。但构造这个方法的基本原理，对于构造一般的数值方法具有普遍意义，因此首先对它进行讨论。9.1-1 欧拉方法的构造将方程（9.1）中点处的导数用差商近似地表示为即在该点有近似等式用近似值代替，由上式可以导出其
3、近似值满足的差分方程： （9.3）（9.3）式称为欧拉方法的计算公式或称为欧拉公式。当初始值给定时，利用欧拉公式就可以逐次计算出初值问题的数值解。9.1-2 后退的欧拉公式如果在点处用向后差商近似(9.1)式中的导数 即有 再用近似值代替 ，则可导出近似值满足的差分方程 （9.6）（9.6）式称为后退的欧拉公式。这是一个两端含有未知数的方程，这样的方法称为隐式方法。相应地，称右端不隐含的欧拉公式（9.3）是一个显式方法。隐式方法求时需解方程，当关于y为非线性时，就需要解非线性方程，通常用迭代法求解。可以证明，隐式的后退欧拉公式（9.6）的局部截断误差为 （9.7）事实上，设时，由（9.6）式有
4、 （9.8）由中值定理得 （9.9）将(9.9)式代入（9.8）式，并利用微分方程（9.1），得 （9.10）由微分方程解的泰勒展式（9.4）与（9.10）式相减，得以代入上式，得移项整理得注意当h充分小，使时，有即得 9.1-3 改进的欧拉方法用与分别表示用欧拉公式与后退的欧拉公式求得的数值解，由式（9.5）与（9.7）可知，欧拉方法与后退的欧拉方法的局部截断误差的主部只是符号相反，于是显然有由此可以构造如下的计算公式 （9.11）（9.11）式称为梯形方法，其局部截断误差为，因此它是一个二阶方法，梯形方法也是隐式的，在实际应用中时常与显式的欧拉公式联合使用，构成如下的计算格式： （9.12
5、）即先用欧拉方法算出初始近似值，然后用（9.12）的第二式进行迭代，反复改进这个近似值，直到（为所允许的误差）为止。而把取作的近似值，类似地计算，显然，如果上述迭代序列，收敛，其极限便满足方程即序列的极限是梯形方法所得到的解，容易证明，只要h取得充分小，上述迭代过程必定收敛，事实上，将（9.11）式与（9.12）第二式相减，得由于f满足李普希兹条件，故有因此只要h充分小，使，迭代过程就是收敛的，但计算时需要迭代多少次，一般无法估计，故在实用时，在h取得较小的条件下，常常让计算迭代一次就结束，将其一次迭代值取作。这时计算公式为 （9.13）或直接写成(9.14)(9.13)式或(9.14)式被称
6、为改进的欧拉公式，将(9.14)式展开后与初值问题的解的泰勒展开式比较，可知其局部截断误差仍是，即改进的欧拉方法是二阶方法，且是显式方法。通常把(9.13)式中第一式得出的初始近似值称为预测值，第二式是对预测值进行一次校正，因此称这样构造的方法为预测-校正方法。例1用欧拉方法与改进的欧拉方法求初值问题在区间0,1上取的数值解。解欧拉方法的计算公式为改进的欧拉方法其计算公式为本题的精确解为，可用来检验数值解的精确度，列出计算结果。（请完成）。9.2 龙格库塔方法龙格-库塔（Runge-Kutta）方法，是间接利用泰勒展开的思想构造的一类数值方法。在讨论龙格库塔方法之前，我们先介绍泰勒方法。9.2
7、-1 泰勒方法假定初值问题(9.1)，(9.2)的解及函数是足够光滑的，利用阶泰勒公式得当充分小时，略去余项，则可导出近似值的计算公式： (9.18)算式中用到的各阶导数可以由微分方程的右端函数计算出来。例如（9.18）式称为阶泰勒方法。特别地，当时（9.18）式就是欧拉公式（9.3）；当时，得二阶泰勒方法 （9.19）例2用泰勒方法解分别用二阶、四阶泰勒方法计算点0.1, 0.2, , 1.0处的数值解，并与精确解进行比较。（请完成）9.2-2 龙格-库塔方法的基本思想与二阶公式的推导龙格-库塔方法的基本思想是利用在某些点处的值的线性组合，来构造一类计算公式，使其按泰勒展开后与初值问题的解的
8、泰勒展式比较，在尽可能多的项完全相同以确定其中的参数，从而保证算式有较高的精确度。由于避免了在算式中直接用到的导数，所以说龙格-库塔方法是基于间接利用泰勒展开的思想。一般龙格-库塔方法的形式为(9.20)其中，为常数。选取这些常数的原则，是要求(9.20)第一式右端在处作泰勒展开，且按h的幂次整理得与微分方程解的泰勒展式有尽可能多的项重合，即要求通常把（9.20）式叫做r级（或r段）的计算公式。如果，对成立，而对时不成立，则所得的公式称为m阶的。下面我们以二阶龙格-库塔公式为例，进行具体的推导说明。设想构造如下形式的公式：（9.21）要求适当选取系数，和，使当时，(9.21)式的局部截断误差为
9、。为此，将在展开，有将上式代入(9.21)式，整理得(9.22)在解的泰勒展式中，即有(9.23)将(9.22)式与(9.23)式比较，当时，只需取(9.24)则(9.21)式的局部截断误差为。(9.24)式中包含有四个未知数，只有三个方程，其中有一个未知数可以任意取值，且显然。(9.24)式的每一组解都使(9.21)式的局部截断误差为，即都使(9.21)式成为一个二阶方法。这些方法统称为二阶龙格-库塔方法。较常用的方法有两个，一个是取，这就是改进的欧拉方法(9.14)。另一个是取，得(9.25) (9.25)式通常称为中心点公式，二阶龙格-库塔方法每一步需要两次计算函数的值。高阶龙格-库塔方
10、法的推导过程很繁，这里不再一一论述。9.2-3 四阶龙格-库塔方法适当选取四个点处函数的值作线性组合，可以构造出四阶的计算公式。这些公式也有无穷多个，下面列出比较重要的两个公式。标准（又称古典的）四阶龙格-库塔公式：(9.26)基尔（Gill）公式：(9.27)标准四阶公式(9.26)是实际计算时最常用的一个龙格-库塔型公式，基尔公式具有减少舍入误差即稳定性好的优点。四阶以下的龙格-库塔公式，其阶数每前进一步所需计算函数值的次数是一致的，高于四阶的公式，所需计算的值的次数要大于公式的阶数，因而计算工作量也将大大增加。对于一般实际问题，四阶公式已经可以满足其精度要求了。例3用标准四阶RK方法求在区间0, 1上，的数值解以及在区间1, 10上，的数值解，并与精确解进行比较。（请完成）12
