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1、第7章 采样 Sampling 本章主要内容 1.如何用连续时间信号的离散时间样本来表示连 续时间信号采样定理。 2.如何从采样所得到的样本重建连续时间信号。 3.欠采样导致的后果频谱混叠。 4.连续时间信号的离散时间处理。 5.离散时间信号的采样、抽取及内插。 6.频域采样。 7.0 引言:( Introduction ) 在日常生活中，常可以看到用离散时间信号表 示连续时间信号的例子。如传真的照片、电视屏幕 的画面、电影胶片等等，这些都表明连续时间信号 与离散时间信号之间存在着密切的联系。在一定条 件下，可以用离散时间信号代替连续时间信号而并 不丢失原来信号所包含的信息。 例1. 一幅新闻
2、照片 局部放大后的图片 例2. 另一幅新闻照片 局部放大后的图片 1. 在什么条件下，一个连续时间信号可以用它的离 散时间样本来代替而不致丢失原有的信息。 2. 如何从连续时间信号的离散时间样本不失真地恢 复成原来的连续时间信号。 3. 如何对一个连续时间信号进行离散时间处理。 4. 对离散时间信号如何进行采样、抽取，及内插。 研究连续时间信号与离散时间信号之间的关系 主要包括 : 7.1 用样本表示连续时间信号: 采样定理 一. 采样: Sampling Theorem of Sampling 在某些离散的时间点上提取连续时间信号值的 过程称为采样。 是否任何信号都可以由它的离散时间样本 来
3、表示？ 对一维连续时间信号采样的例子： 在没有任何条件限制的情况下，从连续时间信 号采样所得到的样本序列不能唯一地代表原来的 连续时间信号。 此外，对同一个连续时间信号，当采样间隔 不同时也会 得到不同的样本序列。 二.采样的数学模型： 在时域： 在频域: 三.冲激串采样(理想采样): 可见，在时域对连续时间信号进行冲激串采 样，就相当于在频域将连续时间信号的频谱以 为周期进行延拓。 在频域由于 说明：采样信号的频谱 由原信号的频谱 的无限个频移组成，幅值为原频谱 的 ，频移角频率为 （n0, 1, 2 ） if ，各相邻的频谱不会重叠，这 时能从采样信号的频谱中得到原信号的频谱， 即从采样信
4、号 中恢复原信号 。 if ，频移后的相邻频谱互相重叠， 无法恢复原信号。 四. Nyquist 采样定理（时域）: 一个截止频率为 的连续时间带限信号 , 如果以 的频率进行理想采样，则 可以 唯一的由其样本 来确定。 以冲激采样为例，研究如何从采样信号恢复原信号 在工程实际应用中， 理想滤波器是不可能实 现的。而非理想滤波器 一定有过渡带，因此， 实际采样时, 必须大 于 。 为了从已采样信号 中恢复原信号 ，需 满足如下两个条件: 1. 必须是带限的，最高频率分量为 。 2. 采样间隔(周期)不能是任意的，必须保证采样 频率 ；或采样间隔 。 其中 为采样频率。 Nyquist频率：最低
5、允许的采样频率 Nyquist间隔：最大允许的采样间隔 低通滤波器的截止频率必须满足: 为了补偿采样时频谱幅度的减小，滤波器应具 有 倍的通带增益。 例：确定下列信号的Nyquist率 1） 2） 3） 五. 零阶保持采样: 信号的样本经零阶保持后，所得到的信号是一个 阶梯形信号。 在一个给定的瞬时对 采样，并保持这一样 本值直到下一个样本被采到为止。 零阶保持采样在原理上可以用冲激串采样， 再级联一个零阶保持系统来实现。 为了从 能恢复 ，就要求零阶保持后再级 联一个系统 。 若 则 以 表示理想低通滤波器的特性，则: 内插：由样本值重建某一函数的过程。 一. 理想内插:（利用LP的单位冲激
6、响应的内插） 7.2 利用内插从样本重建信号 Reconstruction of a Signal from Its Samples Using Interpolation 理想内插以理想低通滤波器的单位冲激响应作 为内插函数 这种内插称为时域中的带限内插。 二. 零阶保持内插: 零阶保持内插的内插函数是零阶保持系统的单 位冲激响应 。 三. 一阶保持内插(线性内插)： 其内插函数是三 角形脉冲。 一阶保持内插的结果（采样间隔为T/4） 对连续时间信号进行离散时间处理的系统可视 为三个环节的级连。 7.4 连续时间信号的离散时间处理 Discrete-Time Processing of Co
7、ntinuous-Time Signals 将一个连续时间信号转换为一个离散时间信号，以 及从信号的离散时间表示重建连续时间信号所依据的 理论基础：采样定理 用于实现C/D转换的器件称为模拟数字(A/D)转换器 用于实现D/C转换的器件称为数字模拟(D/A)转换器 一. C/D 转换: 时域分析： 样本的冲激串 样本的离散 时间序列 频域分析: 用 表示连续时间频率变量，用 表示离散时间频率变量 即从 到 的转换过程中，在频率轴上引入 了一个 倍的变化！ 可见，冲激串到序列的变换过程，在时域是一 个对时间归一化的过程；在频域是一个频率去归一 化的过程。 和 的频域关系可表示为： 以 为周期重复
8、线性频域尺度变换 二. D/C 转换： 三. 连续时间信号的离散时间处理: 分析： If 离散时间系统 是恒等系统； Then 连续时间系统 也是恒等系统。 图（a） 假定 ，有 ，在满足采 样定理时有 ， ，整个系统是 恒等系统，表明D/C是C/D的逆系统。 等效的连续时间滤波器的频率响应就是该离散时间滤 波器在一个周期内的特性，只是频率轴有一个线性尺 度变化（ ）。 由上图： 式（b） 对于带限输入信号，利用图（a）和式（b） 可实现利用离散时间滤波器处理连续信号。 例：数字微分器（连续时间带限微分器的离散实现） 带限微分器 0 0 由 可得：当 时有 一、脉冲串采样 7.6离散时间信号采
9、样 Sampling of Discrete-Time Signals 在时域，对离散时间信号以 为间隔采样，在 频域，信号的频谱就在一个周期内以 为间隔周 期性延拓。 要使 能恢复成 ，则频谱在周期性延拓 时不能发生混叠。为此要求： 1. 带限于 。 2. 。 此时可以通过离散时间理想低通滤波器实现对 信号 的恢复。截止频率满足： 恢复 的过程也是一种带限内插过程。其 内插函数为理想低通的单位脉冲响应 。 例：有一序列 ，其傅立叶变换 具有如下 特点： 求对 采样而不发生混叠的最低采样率。 二. 离散时间抽取与内插： Discrete-Time Decimation and Interpol
10、ation 在实际应用中，直接按图传输已采样序列 是 很不经济的。因为序列 在采样点之间是0。 因此，往往用一个新序列 来代替， 是由 中每隔 点上的序列值构成，即 抽取：提取每第 个点上的样本的过程。 时域 、 、 、 的关系如左图 抽取过程在频域的反映： 增 采 样 的 频 谱 这表明，在时域对带限序列进行抽取，相当于在频 域对采样序列的频谱进行尺度变换。 由上图，为了避免抽取过程中产生混叠，序列 的频谱 不能占满整个频带。 抽取的过程也称为减采样； 增采样：减采样的逆过程 由 增采样以得到 利用低通滤波器从 中得到 在 的每两个相邻 序列值之间插入 个幅度为0的序列值 例：考虑序列 ，其傅立叶变换 如图 该序列在脉冲串采样时不发生混叠的最低采样率？ 对 序列以4抽取，得 ，它的频谱图？ 将内插和抽取结合起来，如何使一个序列达到最大 可能的减采样？（即序列的频谱在一个周期内非零 部分填满 到 整个频带） 习题 7.2 7.22 7.15 7.4 7.23 7.17 7.5 7.31 7.27 7.6 7.7 7.10 7.21 知识回顾知识回顾 Knowledge Knowledge ReviewReview
