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1、4.3 公式法 导入新课讲授新课当堂练习课堂小结 八年级数学下（BS） 教学课件 第四章 因式分解 第2课时 完全平方公式 学习目标 1.理解并掌握用完全平方公式分解因式（重点） 2.灵活应用各种方法分解因式，并能利用因式分解 进行计算（难点） 导入新课 复习引入 1.因式分解： 把一个多项式转化为几个整式的积的形 式. 2.我们已经学过哪些因式分解的方法？ 1.提公因式法 2.平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b) 讲授新课 用完全平方公式分解因式一 你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼 成的图形的面积吗？ 同学们拼出图形为： a a b b a b a b aba b ab 这
2、个大正方形的面积可以怎么求？ a2+2ab+b2（a+b）2 = a a b a a b b aab abb （a+b）2 a2+2ab+b2= 将上面的等式倒过来看，能得到： a2+2ab+b2 a22ab+b2 我们把a+2ab+b和a-2ab+b这样的式子叫作完全 平方式. 观察这两个式子 ： （1）每个多项式有几项？ （3）中间项和第一项，第三项有什么关系？ （2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？ 三项 这两项都是数或式的平方，并且符号相同 是第一项和第三项底数的积的2倍 完全平方式的特点： 1.必须是三项式（或可以看成三项的） ； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底
3、数之积的2倍. 完全平方式: 简记口诀： 首平方，尾平方，首尾两倍在中央. 凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式， 将它写成完全平方形式，便实现了因式分解. 2ab+b2=(a b) a2 首2+尾2 2首 尾 (首尾)2 两个数的平方和加上( 或减去)这两个数的积 的2倍，等于这两个数 的和(或差)的平方. 3.a+4ab+4b=( )+2 ( ) ( )+( )=( ) 2.m-6m+9=( ) - 2 ( ) ( )+( ) =( ) 1. x+4x+4= ( ) +2( )( )+( ) =( )x2x + 2 aa 2ba + 2b2b 对照 a2ab+b=(ab)，填空： mm
4、- 33 x 2 m 3 下列各式是不是完全平方式？ （1）a24a+4; （2）1+4a; （3）4b2+4b-1; （4）a2+ab+b2; （5）x2+x+0.25. 是 （2）因为它只有两项； 不是 （3）4b与-1的符号不统一； 不是 分析： 不是 是 （4）因为ab不是a与b的积的2倍. 例1 如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是( ) A . 11 B. 9 C. -11 D. -9 B 解析：根据完全平方式的特征，中间项-6x=2x(-3),故 可知N=(-3)2=9. 变式训练 如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值 为_. 解析：16=(4)2，故-m=2
5、(4)，m=8. 8 典例精析 方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的结构特 征， 根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已 知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程 中，要注意积的2倍的符号，避免漏解 例2 分解因式： （1）16x2+24x+9； （2）-x2+4xy- 4y2. 分析：(1)中， 16x2=(4x)2, 9=3,24x=24x3, 所以16x2+24x +9是一个完全平方式，即16x2 + 24x +9= (4x)2+ 24x3 + (3)2. 2ab+b2a2 (2)中首项有负号，一 般先利用添括号法则 ，将其变形为-(x2-4xy +4y2),然后再利用公式 分
6、解因式. 解： (1)16x2+ 24x +9 = (4x + 3)2； = (4x)2 + 24x3 + (3)2 (2)-x2+ 4xy-4y2 =-(x2-4xy+4y2) =-(x-2y)2. 例3 把下列各式分解因式： (1)3ax2+6axy+3ay2 ；(2)(a+b)2-12(a+b)+36. 解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2） =3a（x+y）2； 分析：(1)中有公因式3a,应先提出公因式，再进 一步分解因式； (2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m,则原式化为m2 -12m+36. (2)原式=(a+b)2-2(a+b) 6+62 =(a+b-6)2. 利用
7、公式把某些具有特殊形式（如平方差式， 完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式 的方法叫做公式法. 概念学习 因式分解： (1)3a2x224a2x48a2； (2)(a24)216a2. 针对训练 (a244a)(a244a) 解：(1)原式3a2(x28x16) 3a2(x4)2； (2)原式(a24)2(4a)2 (a2)2(a2)2. 有公因式要先 提公因式 要检查每一个多项 式的因式，看能否 继续分解 例4 把下列完全平方公式分解因式： (1)1002210099+99； (2)3423432162. 解：(1)原式=（10099) (2)原式(3416)2 本题利用完全平方公
8、式分解因式，可以简 化计算， =1. 2500. 例5 已知x24xy210y290，求x2y22xy1 的值 112121. 解：x24xy210y290， (x2)2(y5)20. (x2)20，(y5)20， x20，y50， x2，y5， x2y22xy1(xy1)2 几个非负数的和为 0，则这几个非负 数都为0. 方法总结：此类问题一般情况是通过配方将原 式转化为非负数的和的形式，然后利用非负数 性质解答问题 例6 已知a，b，c分别是ABC三边的长，且a22b2 c22b(ac)0，请判断ABC的形状，并说明理由 ABC是等边三角形 解：由a22b2c22b(ac)0，得 a22a
9、bb2b22bcc20， 即(ab)2(bc)20， ab0，bc0，abc， 当堂练习 1.下列四个多项式中，能因式分解的是( ) Aa21 Ba26a9 Cx25y Dx25y 2.把多项式4x2y4xy2x3分解因式的结果是( ) A4xy(xy)x3 Bx(x2y)2 Cx(4xy4y2x2) Dx(4xy4y2x2) 3.若m2n1，则m24mn4n2的值是_ B B 1 4.若关于x的多项式x28xm2是完全平方式，则m的 值为_ 4 5.把下列多项式因式分解. （1）x212x+36; （2）4(2a+b)2-4(2a+b)+1; (3) y2+2y+1x2; (2)原式=2(2
10、a+b) 22(2a+b)1+(1) =(4a+2b 1)2; 解：(1)原式 =x22x6+(6)2 =(x6)2; (3)原式=(y+1) x =(y+1+x)(y+1x). (2)原式 6.计算：(1)38.92238.948.948.92. 解：(1)原式(38.948.9)2 100. 7.分解因式:(1)4x24x1；(2) 小聪和小明的解答过程如下： 他们做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来. x22x3. (2)原式 (x26x9) (x3)2 解:(1)原式(2x)222x11(2x+1)2 小聪: 小明: 8.(1)已知ab3，求a(a2b)b2的值； (2)已知ab2，ab5，求a3b2a2b2ab3的值 原式25250. 解：(1)原式a22abb2(ab)2. 当ab3时，原式329. (2)原式ab(a22abb2)ab(ab)2. 当ab2，ab5时， 课堂小结 完全平方 公式分解 因式 公式 a22ab+b2=(ab)2 特点 （1）要求多项式有三项. （2）其中两项同号，且都可以写 成某数或式的平方，另一项则是这 两数或式的乘积的2倍，符号可正 可负.
