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1、湖南省湘东七校2019年下期高三联考理科数学总分:150分 时量:120分钟 考试时间2019年12月8日由株洲二中浏阳一中攸县一中株洲八中株洲四中九方中学醴陵一中联合命题 姓名_ 考号_ 第卷(共60分)一选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1 已知复数则z的共轭复数在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2已知,则( )A. B. C. D.3已知,则的大小关系为( ) A. B. C. D.4已知数列为等比数列,首项为,数列满足,且,则为( )A9 B27 C81 D2435函数的图象大致是( )
2、 A B C D6九章算术卷七盈不足中有如下问题:“今有共买羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三问人数、羊价各几何?”翻译为:”现有几个人一起买羊,若每人出五钱,还差四十五钱,若每人岀七钱,还差三钱,问人数、羊价分别是多少”为了研究该问题,设置了如图所示的程序框图,若要输出人数和羊价,则判断框中应该填( )Ak20Bk21Ck22Dk237. 已知平面向量满足,且,则向量与夹角的余弦值为( )A B C D8已知平面区域D1=,D2=,在区域D1内随机选取一点M,则点M恰好在区域D2内的概率为( )A B C D9已知函数(,),满足,将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象,若的图象关于直
3、线对称,则的取值可以为( )A1B2C3D410已知抛物线C:的焦点F到其准线的距离为4,圆M:,过F的直线l与抛物线C和圆M从上到下依次交于A,P,Q,B四点,则|AP|+4|BQ|的最小值为( )A9B11C13D1511已知函数,若方程有两个不同实根,则实数的取值范围为( )A(,)B(,1C(,1)(1,)D(,1)(1,112已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形,平面PBC平面ABCD, 于E,EC=1,BC=3, PE=2,则四棱锥P-ABCD外接球的表面积为( )A. B. C. D. 第卷(共90分)二填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13函数在处的切线方程是_1
4、4已知二项式 展开式中各项系数和为243,则 的展开式中含项的系数为_15. 数列通项公式为,若为数列的前项和,则_16已知双曲线C:右焦点为F,直线与双曲线C交于A,B两点,AF、BF的中点依次为M,N,若以线段MN为直径的圆经过原点,则双曲线的离心率为_ 三.解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(12分) 如图,ABC是等边三角形,D是BC边上的动点(含端点),记BAD,ADC(1)求的最大值;(2)若BD1,cos,求ABD的面积 18(12分)如图,在四棱锥中,底面是边长为2的菱形,平面平面,点为棱的中点(1)在棱上是否存在一点,使得平面
5、,并说明理由;(2)当二面角的余弦值为时,求直线与平面所成的角 19.(12分)有两种理财产品和,投资这两种理财产品一年后盈亏的情况如下(每种理财产品的不同投资结果之间相互独立):产品:投资结果获利不赔不赚亏损概率产品:投资结果获利不赔不赚亏损概率注:(1)若甲、乙两人分别选择了产品投资,一年后他们中至少有一人获利的概率大于,求实数的取值范围;(2)若丙要将20万元人民币投资其中一种产品,以一年后的投资收益的期望值为决策依据,则丙选择哪种产品投资较为理想. 20. (12分)已知椭圆:的左右焦点分别为,点是椭圆的左右顶点,点是椭圆上一动点,的周长为6,且直线的斜率之积为(1)求椭圆C的方程;(
6、2)若、为椭圆上位于轴同侧的两点,且,求四边形面积的取值范围 21.(12分)已知函数(是自然对数的底数),是函数的一个极值点(1)求函数的单调递增区间;(2)设,若,不等式恒成立,求的最大值 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.【选修44:坐标系与参数方程】(本小题满分10分)已知在平面直角坐标系中,圆的参数方程为(为参数)以原点为极点,轴的非负半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系(1)求圆的普通方程及其极坐标方程;(2)设直线的极坐标方程为,射线与圆的交点为(异于极点),与直线的交点为,求线段的长 23.【选修45:不等式选讲】(本小题满分10分
7、)已知函数(1)解不等式;(2)若函数最小值为,且,求的最小值. 湖南省湘东七校2019年下期高三联考理科数学参考答案及解析总分:150 时量:120 考试时间2019年12月8日一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。题号123456789101112选项BABCAACBBCDA9.解:f(0),sin,即f(x)2sin(x+),g(x)2sin(x)+,g(x)的图象关于直线x对称,()+k,kz,则+k,kz,令k1,得2故选:B11解:方程f(x)kx1有两个不同实根可化为函数f(x)与函数ykx+1有两个不同的交点,当x
8、1时,f(x)f(x1),周期性变化;函数ykx+1的图象恒过点(0,1);作函数f(x)与函数ykx+1的图象如下,C(0,1),B(2,e),A(1,e);故kACe1,kBC;在点C处的切线的斜率ke01;结合图象可得,实数k的取值范围为(,1)(1,e1;故选:D12.以为底面补成直三棱柱,由正弦定理可求得外接圆直径径为,外接球半径从而可求得外接球表面积为二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13. 14. 30 15. 16. 15.解数列且,当为奇数时,;当为偶数时,所以,故答案为16. 解 因为以线段MN为直径的圆经过原点,所以,设左焦点为,连接,则,因为,所以,
9、由双曲线定义得三、解答题 (本大题共6小题,共70分.)17.(1)由ABC是等边三角形,得+,0,故2cos cos 2cos cos(+)=,故当,即D为BC中点时,原式取最大值(6分)(2)由cos ,得sin ,故sin sin()sin cos cos sin ,(8分)由正弦定理,故ABBD,(10分)故SABDABBDsin B1(12分)18.解:()在棱AB上存在点E,使得AF平面PCE,点E为棱AB的中点理由如下:取PC的中点Q,连结EQ、FQ,由题意,FQDC且FQCD, 所以AECD且AECD,故AEFQ且AEFQ 所以,四边形AEQF为平行四边形. (3分)所以,AF
10、EQ,又EQ平面PEC,AF平面PEC,所以,AF平面PEC. (5分)(2)由题意知ABD为正三角形,所以EDAB,亦即EDCD,又ADP90,所以PDAD,且平面ADP平面ABCD,平面ADP平面ABCDAD,所以PD平面ABCD,故以D为坐标原点建立如图空间直角坐标系,(6分)设FDa,则由题意知D(0,0,0),F(0,0,a),C(0,2,0),B(,1,0),(0,2,a),(),设平面FBC的法向量为则由,令,所以取,平面DFC的法向量(1,0,0),(8分)因为二面角DFCB的余弦值为,所以由题意:,解得. (10分)由于PD平面ABCD,所以PB在平面ABCD内的射影为BD,
11、所以PBD为直线PB与平面ABCD所成的角,由题意知在RtPBD中,tanPBD,从而,所以直线PB与平面ABCD所成的角为. (12分)19.(1)记事件为“甲选择产品投资且获利”,记事件为“乙选择产品投资且获利”,记事件为“一年后甲、乙两人至少有一人投资获利”则, 又,且, (5分) (2)假设丙选择产品投资,且记为获利金额(单位:万元),则的分布列为:投资结果概率(7分)假设丙选择产品投资,且记为获利金额(单位:万元),则的分布列为:投资结果-6概率(9分)当时,丙可在产品和产品中任选一个投资;当时,丙应选产品投资;当时,丙应选产品投资. (12分)20.(1)AF1F2的周长为6,2a
12、+2c6,即a+c3,直线的斜率之积为可求得联立及a2b2+c2,解得a2,b,c1椭圆C的方程为;(4分)(2)AF1F2+BF2F1,AF1BF2,延长AF1 交椭圆C于点A,设A(x1,y1),A(x2,y2),由(1)知F1(1,0),F2(1,0),直线AA的方程为xty1,联立,得(3t2+4)y26ty90,(6分)由对称性可知,,设AF1 与BF2 的距离为d, 则四边形AF1F2B的面积SS(9分)令m,m1SS(m)在1,+)上单调递减,S(0,3故四边形AF1F2B面积的取值范围为(0,3(12分)21.(1)f(x)(x+2)exxa,是函数的一个极值点,解得a2(2分)则f(x)(x+2)(ex1)令f(x)0,解得x0或x2,故函数的单调递增区间为(,2)和(0,+)(4分)(2)不等式f(x)g(x),可化为ex2mxn,记h(x)ex2mx+n,h(x)ex2m,当m0时,h(x)0恒成立,则